數(shù)的認(rèn)識(shí)及數(shù)的運(yùn)算一致性的思考

［摘 要］《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算兩個(gè)方面的內(nèi)容統(tǒng)整在“數(shù)與運(yùn)算”這一領(lǐng)域中，并指出要讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，感悟數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算以及四則運(yùn)算之間的關(guān)系，進(jìn)而感悟數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。文章先從整體分析四則運(yùn)算的本質(zhì)及關(guān)系，讓學(xué)生感悟數(shù)的概念的一致性，再探討整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)是如何實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的一致性的，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界到符號(hào)世界的數(shù)學(xué)化的過程，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］四則運(yùn)算；運(yùn)算一致性；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）02-0051-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（全文簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）描述的數(shù)的運(yùn)算一致性體現(xiàn)為，數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性及數(shù)的運(yùn)算的一致性。數(shù)的認(rèn)識(shí)是運(yùn)算的基礎(chǔ)，通過數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生能更好地認(rèn)識(shí)數(shù)。四則運(yùn)算本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)，加法和乘法是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加，減法和除法是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的細(xì)分。然而，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)數(shù)域不同，三者有各自的運(yùn)算法則，其一致性不能很好地體現(xiàn)?？紤]不同年齡段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平的差異，涉及數(shù)的認(rèn)識(shí)及運(yùn)算的內(nèi)容要求在教材中的分布如下（見表1）。然而，這樣的分布使得學(xué)生難以從整體上感受數(shù)的運(yùn)算的一致性。為打破這種隔閡，筆者設(shè)計(jì)了“四則運(yùn)算”復(fù)習(xí)課，并結(jié)合課例探討了數(shù)的認(rèn)識(shí)及數(shù)的運(yùn)算一致性教學(xué)方法。

一、數(shù)的認(rèn)識(shí)及數(shù)的運(yùn)算一致性的基本要求

（一）結(jié)合真實(shí)情境，感悟數(shù)的本質(zhì)

在教授數(shù)的概念時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)例，明確各種數(shù)的本質(zhì)。整數(shù)是對(duì)具體數(shù)量的抽象，分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，小數(shù)則表示更為精確的數(shù)量。雖然各種數(shù)所表示的意義不同，但數(shù)的表達(dá)形式都是計(jì)數(shù)單位的表達(dá)（有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位），表達(dá)內(nèi)容也相同（多個(gè)計(jì)數(shù)單位的累加）。

（二）溝通算法、算理、算律，掌握運(yùn)算技能

數(shù)的運(yùn)算需要明確三個(gè)概念：算理、算法和算律。學(xué)生先理解算法，然后歸納出算理，最后總結(jié)出算律。因此，數(shù)的運(yùn)算的基本原則就是“算律決定算理，算理決定算法”。根據(jù)這個(gè)原則，不難發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都是存在一致性的。

（三）逐步抽象，體會(huì)“數(shù)學(xué)化”的過程

基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的“三會(huì)”核心素養(yǎng)的指導(dǎo)原則，課程性質(zhì)這樣描述數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)逐步抽象，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考。

二、分析數(shù)的本質(zhì)意義，溝通加、減、乘、除法的關(guān)系

根據(jù)學(xué)生對(duì)加法、減法、乘法和除法的認(rèn)識(shí)，筆者于課前提出2個(gè)問題讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)的實(shí)際意義來表述。

問題1：什么是加法、減法、乘法、除法？

問題2：在什么情況下使用加法、減法、乘法、除法？

【加法和減法互逆、乘法和除法互逆教學(xué)】

加法是把若干個(gè)部分合并為一個(gè)整體（如A+B=C）；減法是從整體中分離出一部分，得到另一部分（如C-B=A）。因此，加法和減法構(gòu)成了互逆關(guān)系。教師可以應(yīng)用類似的方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟乘法和除法的互逆性：既然若干個(gè)相同的部分能夠組成一個(gè)整體（乘法），那反過來，從一個(gè)整體里逐個(gè)分離出若干個(gè)相同的部分，這個(gè)過程就是除法。

【加法和乘法的關(guān)系教學(xué)】

加法是將若干個(gè)部分合起來變成一個(gè)整體；乘法表面上是若干個(gè)數(shù)相乘，但實(shí)際上乘法也是加法的一種表達(dá)形式。加法與乘法之間的聯(lián)系在于，它們均表達(dá)了將若干個(gè)部分整合為一個(gè)整體的概念。只不過把若干個(gè)相同的部分合起來，既可以用加法，也可以用乘法，且乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

例如，筆者結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)分糖的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，并引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范、簡(jiǎn)潔的語言，包括符號(hào)、圖形等表示相關(guān)的數(shù)量關(guān)系（如圖1），以便學(xué)生理解乘法與加法之間的關(guān)系。

【減法和除法的關(guān)系教學(xué)】

減法和除法都表示從一個(gè)整體中分出若干個(gè)部分。教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究“為什么有了減法還要有除法”，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)減法是一份一份去掉，而除法是將其合起來一起去掉，除法比減法更加簡(jiǎn)便（如圖2）。

加法、減法、乘法、除法之間的關(guān)系：加法、減法互為逆運(yùn)算，乘法、除法互為逆運(yùn)算；乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。只有從數(shù)學(xué)化的角度深刻地剖析四則運(yùn)算，才能溝通數(shù)的運(yùn)算的一致性，體現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)意義。

三、明理得法，實(shí)現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的一致性

數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算的一致性都是以計(jì)數(shù)單位為基礎(chǔ)，數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性是從計(jì)數(shù)單位的角度審視數(shù)的構(gòu)成，建立自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的抽象聯(lián)系，從中抽象出的計(jì)數(shù)單位是認(rèn)識(shí)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)共同的基礎(chǔ)。在進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算時(shí)，首先需要統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，然后對(duì)相同計(jì)數(shù)單位上的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)的運(yùn)算，這個(gè)過程實(shí)則是對(duì)計(jì)算單位個(gè)數(shù)的分與合。在探究過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的算理、算法的一致性，溝通各種數(shù)之間的聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)有效遷移。然而這要求學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象概括能力，對(duì)此，筆者將這一內(nèi)容放在六年級(jí)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)和推理意識(shí)。

（一）加法、減法運(yùn)算的一致性

筆者以整數(shù)加法、減法中的豎式計(jì)算為橋梁，讓學(xué)生在計(jì)算過程中探究數(shù)位對(duì)齊的必要性。從低位算起，目的是引發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的思考：在進(jìn)行加法、減法運(yùn)算時(shí)，實(shí)際上是在相同計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行個(gè)數(shù)的加、減。對(duì)于小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加法、減法，可以讓學(xué)生從統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的角度探索運(yùn)算的一致性。整數(shù)加法、減法中，末尾對(duì)齊；小數(shù)加法、減法中，小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；分?jǐn)?shù)加法、減法中，異分母分?jǐn)?shù)先通分，再計(jì)算。這樣做都是為了統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，即只有當(dāng)計(jì)數(shù)單位相同時(shí)，才能直接進(jìn)行加、減運(yùn)算。

（二）乘法、除法運(yùn)算的一致性

在探究新知以及復(fù)習(xí)鞏固的教學(xué)中，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算一致性的角度去分析，便于學(xué)生在思考時(shí)有一個(gè)抓手。乘法與除法的算理較為復(fù)雜，可分開教學(xué)。

1.乘法運(yùn)算的一致性

在整數(shù)乘法的豎式計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算的過程：用第二個(gè)乘數(shù)的個(gè)位上的數(shù)依次與第一個(gè)乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相乘，乘得的數(shù)寫在相應(yīng)的數(shù)位上，求得幾個(gè)一；用第二個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)依次乘第一個(gè)乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，乘得的數(shù)寫在相應(yīng)的數(shù)位上，求得幾個(gè)十，以此類推。通過分析，學(xué)生能理解乘法計(jì)算與計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系：乘數(shù)的哪一位參與乘法運(yùn)算，其結(jié)果就與該位對(duì)齊，表示乘得的相應(yīng)計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。最后，將相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)值進(jìn)行累加，從而得出乘積。

豎式表示算法，橫式表示算理，教師要讓學(xué)生在理解乘法意義的基礎(chǔ)上去探索算理。如對(duì)于整數(shù)乘法算式20×6，直觀分析可得2個(gè)十乘6得12個(gè)十，即120。教師不妨在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用乘法交換律和乘法結(jié)合律作進(jìn)一步理解：20×6=（2×10）×（6×1）=（2×6）×（10×1）=12×10=120。

在整數(shù)乘法的基礎(chǔ)上可以類比得出分?jǐn)?shù)乘法的算法。分?jǐn)?shù)乘法的算法為分母相乘得到新分母，分子相乘得到新分子。那分?jǐn)?shù)乘法是如何統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的呢？以[34×12]為例，把一塊餅平均分成4份，取其中的3份，再把這3份平均分成2份，取其中的1份，這一過程就是求[34中的12]是多少。通過畫圖，出現(xiàn)了新的分?jǐn)?shù)單位[18]，這個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位就是分母乘分母得來的，而分子乘分子就是在算新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

在探究小數(shù)乘法時(shí)，就可以借用探究整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)正向遷移。在這個(gè)過程中，變化的是乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)。乘數(shù)變成小數(shù)，其計(jì)數(shù)單位就發(fā)生了相應(yīng)的變化。因此，只要用乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)來確定積的小數(shù)位數(shù)，并在計(jì)算最后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，就能得到表示得數(shù)的計(jì)數(shù)單位。如0.5×0.03=（5×0.1）×（3×0.01）=（5×3）×（0.1×0.01）=15×0.001=0.015。

可見，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算，均需先明確計(jì)數(shù)單位，再將計(jì)數(shù)單位的數(shù)量相乘。

2.除法運(yùn)算的一致性

除法的一致性體現(xiàn)在相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的關(guān)鍵就是要在相同計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行“包含除”或者“平均分”的運(yùn)算。學(xué)生對(duì)整數(shù)除法進(jìn)行理解相對(duì)容易，然而，當(dāng)除法運(yùn)算拓展至小數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生理解起來難度顯著增加。對(duì)此，筆者利用“商不變”原理設(shè)計(jì)題組，讓學(xué)生在對(duì)比練習(xí)中強(qiáng)化理解。

①12÷4，12表示12個(gè)一，4表示4個(gè)一，12÷4表示12里包含多少個(gè)4，也可以說把12個(gè)一平均分成4份，每份是3個(gè)一。

②120÷40，可以看作120個(gè)一除以40個(gè)一來算，也可以看作12個(gè)十除以4個(gè)十來算。

③1200÷400，可以看作12個(gè)百除以4個(gè)百來算。

上述三道整數(shù)除法算式的被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位相同，所以都可以轉(zhuǎn)化成12÷4來算。那小數(shù)除法呢？如12÷0.4，12表示12個(gè)一，而0.4表示4個(gè)0.1，被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位不同，所以要想辦法把它們變得相同。變成120個(gè)0.1除以4個(gè)0.1，即120÷4=30，如此就統(tǒng)一了計(jì)數(shù)單位，這也是要把小數(shù)除法變成整數(shù)除法算的原因。

基于以上的認(rèn)識(shí)，可以繼續(xù)讓學(xué)生分析小數(shù)除法。

474÷232=2……10，4.74÷2.32=（" " "）……（" " "）。

474個(gè)0.01除以232個(gè)0.01，計(jì)數(shù)單位相同，所以可以轉(zhuǎn)化成474÷232來算，商是2，余數(shù)不再是10，而是10個(gè)0.01，即0.1。

整數(shù)和小數(shù)都是以十進(jìn)制計(jì)數(shù)法為基礎(chǔ)，而分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)方法則是基于沒有明確倍數(shù)關(guān)系的“分?jǐn)?shù)單位”構(gòu)建的。如[34÷12]，可以表示為[34]里有幾個(gè)[12]。通過通分，將[34÷12]變成[34÷24]，計(jì)數(shù)單位就相同了，計(jì)算時(shí)只需要將分子相除，3÷2求得[32]，分?jǐn)?shù)的分子相除就是將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。在實(shí)際教學(xué)中，通過看圖、舉例歸納出分?jǐn)?shù)除法的經(jīng)驗(yàn)——除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這其實(shí)也是從“除法是乘法的逆運(yùn)算”中得來的，是一個(gè)數(shù)學(xué)化的思考過程。

可見，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算，其核心皆在于統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，并在此基礎(chǔ)上均分計(jì)算單位的個(gè)數(shù)。

綜上所述，本次復(fù)習(xí)課的內(nèi)容多，實(shí)際教學(xué)時(shí)要分課時(shí)來開展。第一節(jié)課，結(jié)合實(shí)際情況，讓學(xué)生感受加、減、乘、除的意義及其相互關(guān)系；第二節(jié)課，探究加法、減法運(yùn)算的一致性，并做相應(yīng)總結(jié)；第三節(jié)課，探究乘法、除法運(yùn)算的一致性，并做相應(yīng)總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)四則運(yùn)算的一致性，即先統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，再計(jì)算計(jì)數(shù)單位的分與合。這三個(gè)課時(shí)的復(fù)習(xí)需要教師把握教材相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，以整體視角去研究知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而進(jìn)行單元整體教學(xué)，幫助學(xué)生理解并感受數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性和數(shù)的運(yùn)算的一致性，提升其綜合素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 王平，任建波.依托主題大概念" 建構(gòu)單元大整體：“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2023（23）：6-8，12.

[2] 史寧中.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的修訂與核心素養(yǎng)[J].教師教育學(xué)報(bào)，2022，9（3）：92-96.

[3] 岳增成，林永偉.基于數(shù)學(xué)史的運(yùn)算一致性教學(xué)的思考[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（10）：12-16.

[4] 翟雪皎.踐行新課標(biāo)" 凸顯一致性：以“分?jǐn)?shù)乘除法”一課為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2023（26）：47-49.

（責(zé)編 覃小慧）