推理意識表現(xiàn)水平進(jìn)階的教學(xué)模式探析

［摘 要］“找規(guī)律”是小學(xué)階段的一種典型的數(shù)學(xué)探究活動，也是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的有效途徑。文章通過探討一節(jié)課例中學(xué)生的學(xué)習(xí)活動、表現(xiàn)水平，以及可為學(xué)生提供的支架等方面的設(shè)計思路，梳理蘇教版一至六年級“找規(guī)律”活動的內(nèi)容，形成“找規(guī)律”類課型中推理意識表現(xiàn)水平進(jìn)階的一般教學(xué)模式。

［關(guān)鍵詞］推理意識；找規(guī)律；教學(xué)策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0044-04

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，它是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出的小學(xué)階段的11個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。培養(yǎng)推理意識有助于學(xué)生養(yǎng)成講道理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

表現(xiàn)水平通常指的是個體在特定情境下或在某個領(lǐng)域內(nèi)的行為和舉止的水平。在心理學(xué)和社會學(xué)的研究中，表現(xiàn)水平還可以被看作是個體在生活中的態(tài)度和生活方式的表現(xiàn)。表現(xiàn)水平受到內(nèi)外環(huán)境因素的刺激，是個體對環(huán)境進(jìn)行能動反應(yīng)的結(jié)果。本文中的表現(xiàn)水平是指學(xué)生推理意識進(jìn)階中外顯的、可測的、可刻畫的水平。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》（以下簡稱《解讀》）中指出可以從兩個方面關(guān)注推理意識培養(yǎng)的教學(xué)，其中之一就是要“加強(qiáng)找規(guī)律活動”?！罢乙?guī)律”是小學(xué)階段的一種典型的數(shù)學(xué)探究活動，也是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的有效途徑之一。蘇教版四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”一課是“綜合與實踐”領(lǐng)域的內(nèi)容，屬于規(guī)律探索類課型。下面，筆者以這節(jié)課為例，探討學(xué)生的學(xué)習(xí)活動、表現(xiàn)水平，以及可為學(xué)生提供的支架等方面的設(shè)計思路。

一、聚焦中高年段“找規(guī)律”內(nèi)容的梳理

“找規(guī)律”課型作為重要的教學(xué)內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行歸納以及類比等推理意識的有效媒介。以蘇教版教材為例，低年段“找規(guī)律”類型的題目較為簡單，而中高年段“找規(guī)律”類型的題目則以單元例題、單元主題活動形式出現(xiàn)（見表1）。

二、指向猜想、說理、例證的教學(xué)設(shè)計

《解讀》中提到小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理有5個特點(diǎn)，其中第5個特點(diǎn)為“不同學(xué)生的推理水平有較大的差異，需要創(chuàng)設(shè)不同水平的推理活動”。這給筆者的教學(xué)活動設(shè)計提供了思路，即從學(xué)生推理能力的差異性出發(fā)。

猜想、說理、例證是推理意識表現(xiàn)水平的三大方面，同時也是推動學(xué)生推理意識進(jìn)階的三大抓手。對此，筆者圍繞猜想、說理、例證進(jìn)行教學(xué)活動設(shè)計，并形成相對應(yīng)的學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階描述?！岸噙呅蔚膬?nèi)角和”一課中含有不完全歸納推理的運(yùn)用，其所考查的對象多且全面，涉及從特殊到一般的推理。不完全歸納推理包括枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。枚舉歸納推理為通過舉例，歸納得出結(jié)論；科學(xué)歸納推理是指在考查某類事物部分對象的基礎(chǔ)上，通過分析找出本質(zhì)，以此為依據(jù)，由點(diǎn)及面推出結(jié)論，這樣的科學(xué)分析起到了演繹推理的作用。

下面，以“多邊形的內(nèi)角和”一課為例，介紹四大環(huán)節(jié)中的教學(xué)活動以及推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階設(shè)計。

【環(huán)節(jié)1】對“多邊形的內(nèi)角和”的猜想

師：今天我們研究的課題是“多邊形的內(nèi)角和”，看到這個課題，你有什么想問的？

生1：什么是多邊形？內(nèi)角和是什么？怎么計算內(nèi)角和……

師：三角形、四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和各是多少？多邊形的內(nèi)角和的大小與什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？同學(xué)們可以進(jìn)行大膽的猜想，把你的想法寫在學(xué)習(xí)單上（如圖1）。

【推理意識表現(xiàn)水平】

層次1：學(xué)生能對“多邊形的內(nèi)角和的大小與什么有關(guān)”作出猜想，但對“有怎樣的關(guān)系”認(rèn)識較模糊。

層次2：在層次1的基礎(chǔ)上能提出“邊數(shù)越多，內(nèi)角和越大”的猜想。

層次3：在以上兩個層次的基礎(chǔ)上，學(xué)生能對自己的猜想用寫一寫或說一說的方式給出理由。

【設(shè)計思考】

心理學(xué)的研究與數(shù)學(xué)教學(xué)實踐都告訴我們，學(xué)生對推理所涉及的知識的理解程度直接決定推理結(jié)果的正確與否。上述設(shè)計以開門見山的大問題直達(dá)學(xué)習(xí)研究對象的本質(zhì)，讓學(xué)生對多邊形及其內(nèi)角和的準(zhǔn)確認(rèn)知打下基石。兒童天生敢想、敢說、敢問，這是展開猜想活動的心理優(yōu)勢。通過設(shè)計猜想、說理環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)單，給予學(xué)生充足的時間展開推理活動。學(xué)習(xí)單用3個問題由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生展開猜想、說（寫）理、反思等活動，讓學(xué)生根據(jù)自身能力展開個性化的學(xué)習(xí)。

【環(huán)節(jié)2】對“多邊形的內(nèi)角和”與邊的關(guān)系的猜想

師：猜想是數(shù)學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要前提，有了正確的猜想，我們就朝目標(biāo)前進(jìn)了一大步。剛才我們通過觀察、對比，提出了“邊數(shù)越多，內(nèi)角和越大”的猜想，那具體有怎樣的關(guān)系呢？要找到多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系，接下來我們該怎么辦呢？

生2：舉一些多邊形的例子，看看它們的內(nèi)角和各是多少，再找出規(guī)律。

師：是的，要找到一類事物的規(guī)律，我們可以從舉例子入手，通過一個個例子的結(jié)論去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生3：舉例子的話，我們可以從最簡單的開始研究。

師：你真善于動腦。從最簡單的入手，才能又快又對。那最簡單的多邊形是什么？

生（齊）：三角形。

師：通過之前的學(xué)習(xí)，我們知道了三角形的內(nèi)角和為180°，且這個數(shù)值不會隨著三角形大小和形狀的改變而發(fā)生改變。那么接下來該研究哪個圖形呢？

生（齊）：四邊形。

【推理意識表現(xiàn)水平】

層次1：學(xué)生知道從特殊到一般的推理方法。

層次2：在層次1的基礎(chǔ)上，所舉的例子可以從簡單到復(fù)雜。

【設(shè)計思考】

喚醒學(xué)生將研究對象從特殊到一般的歸納推理方法以及從簡單到復(fù)雜的研究思路。在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生不能說出從特殊到一般的歸納推理方法的專有名詞，但是能用自己的語言表達(dá)出推理的過程，并能在一次次的練習(xí)中促使推理意識得到了激發(fā)和推進(jìn)。

【環(huán)節(jié)3】對“四邊形的內(nèi)角和”的猜想和例證

師：聽你們的，接下來我們研究四邊形的內(nèi)角和。先猜一猜四邊形的內(nèi)角和是多少度，再任意畫或剪一個四邊形，并完成學(xué)習(xí)單（如圖2）。

師：通過學(xué)習(xí)單，我們認(rèn)識了“量算法”“剪拼法”和“分算法”，那么用哪種方法求四邊形的內(nèi)角和最合適呢？

生4：用“分算法”最合適，因為“量算法”和“剪拼法”都不可避免出現(xiàn)誤差。

師：有的同學(xué)研究的是特殊的四邊形（長方形），有的同學(xué)研究了一般的四邊形。四邊形不止這兩種，還有其他模樣，那么是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？該怎么證明呢？先獨(dú)立思考，再與同桌交流，把你的想法記錄下來。

生5：因為任何一個四邊形都只能分成兩個三角形，所以四邊形的內(nèi)角和都是180°×2=360°。

【推理意識表現(xiàn)水平】

層次1：學(xué)生能通過“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論進(jìn)行類比推理，合理猜想四邊形的內(nèi)角和。

層次2：在層次1的基礎(chǔ)上，還能用分一分的方法研究四邊形的內(nèi)角和，能枚舉歸納得出四邊形的內(nèi)角和。

層次3：在以上兩個層次的基礎(chǔ)上，還能用科學(xué)歸納推理得出四邊形的內(nèi)角和。

【設(shè)計思考】

學(xué)生有研究三角形的內(nèi)角和的經(jīng)驗，可以通過類比推理得出求四邊形的內(nèi)角和的方法。從簡單的四邊形開始探究，讓學(xué)生經(jīng)歷從猜測到論證的過程，引領(lǐng)學(xué)生從多個角度進(jìn)行觀察和思考，從而建立四邊形與三角形之間的聯(lián)系，使學(xué)生體會類比推理、簡單枚舉推理以及科學(xué)歸納推理等多種推理方法，為探究其他多邊形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ)。

【環(huán)節(jié)4】對“多邊形的內(nèi)角和”的猜想和例證

師：我們知道了三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，那么五邊形、六邊形的內(nèi)角和又是多少度呢？通過找規(guī)律，探究多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系，填寫表格（見表2）后，觀察數(shù)據(jù)并與同桌交流你的發(fā)現(xiàn)。

生6：從一個頂點(diǎn)出發(fā)向相對的頂點(diǎn)連線，將五邊形分成一個三角形和一個四邊形，五邊形的內(nèi)角和是180°+360°=540°。

生7：還可以這樣算，從一個頂點(diǎn)出發(fā)向相對的頂點(diǎn)連線，將五邊形分成三個三角形，五邊形的內(nèi)角和是180°×3=540°。

生8：從一個頂點(diǎn)出發(fā)向相對的頂點(diǎn)連線，將六邊形分成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和就是180°×4=720°。

師（小結(jié)）：從一個頂點(diǎn)出發(fā)向相對的頂點(diǎn)連線，分成的所有三角形內(nèi)角和的總和等于多邊形的內(nèi)角和，這樣的分法比較簡便。為什么分成的三角形個數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2呢？

【推理意識表現(xiàn)水平】

層次1：學(xué)生能合理猜想五邊形、六邊形的內(nèi)角和，能根據(jù)研究四邊形內(nèi)角和的方法類比推理研究其他多邊形的內(nèi)角和，能簡單枚舉歸納推理出多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。

層次2：在層次1的基礎(chǔ)上，學(xué)生還能用科學(xué)歸納推理出多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。

【設(shè)計思考】

學(xué)生在獨(dú)立探究五邊形的內(nèi)角和時，呈現(xiàn)出豐富的思維方式，大多數(shù)學(xué)生都選擇采用“分算法”，但具體呈現(xiàn)方式不同，這些都是提升推理意識的機(jī)會和素材。引導(dǎo)學(xué)生對“多邊形的內(nèi)角和”進(jìn)行猜想和研究，并將猜想、聯(lián)系、推斷、歸納等推理活動滲透其中，使學(xué)生將多邊形的邊數(shù)（n）、分割的三角形個數(shù)（n-2）、多邊形的內(nèi)角和三者建立聯(lián)系：多邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）。

在上述課例的設(shè)計中，筆者充分挖掘促進(jìn)學(xué)生推理意識進(jìn)階的元素和內(nèi)容，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平進(jìn)階的不同層次，精心設(shè)計教學(xué)活動，有效助推學(xué)生推理意識的發(fā)展。教師可以通過一對一或一對幾的觀課，記錄并分析學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階情況，也可以設(shè)計學(xué)生課堂自我評價表，讓學(xué)生進(jìn)行自我評估，從而把握學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階狀況，多方面架構(gòu)起學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階評價體系，從而有效地指導(dǎo)教學(xué)活動的再設(shè)計。

三、為學(xué)生推理意識進(jìn)階提供支架的教學(xué)策略

在皮亞杰的教育理論中，激發(fā)認(rèn)知沖突以及教師為解決沖突而構(gòu)建腳手架是關(guān)鍵的教學(xué)策略。對此，教師可以通過提供范例、表達(dá)框架、直觀圖像促進(jìn)學(xué)生推理意識的進(jìn)階。

【策略1】提供范例，學(xué)會模仿推理過程

從模仿起步，給學(xué)生提供具體的范例，讓學(xué)生經(jīng)歷“模仿→說完整→說準(zhǔn)確→說清楚”的過程。在“多邊形的內(nèi)角和”一課中，學(xué)生有了“三角形的內(nèi)角和是180°”的推理活動經(jīng)驗（如圖3），為后面展開對四邊形、五邊形、六邊形等的內(nèi)角和的推理提供扶持。

【策略2】提供表達(dá)框架，學(xué)會表達(dá)推理語言

培養(yǎng)學(xué)生有理有據(jù)有序地推理的能力，主要是讓學(xué)生會用口頭語言和筆頭書寫這兩種方式進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。教師可以用“根據(jù)……和……，可以得出……，又根據(jù)……和……，可以得出……”的語言引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，還可以用“因為……和……，所以……”的語言幫助學(xué)生感受三段論的因果表述（如圖4）。

值得注意的是，如果一味地強(qiáng)求學(xué)生書寫完整的推理過程，會容易引起學(xué)生的逆反心理。因此，在實際教學(xué)中，教師要綜合考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)和個體差異，把握好推理過程的展開范圍和可縮略的點(diǎn)。

【策略3】提供直觀圖像，學(xué)會形成推理思路

小學(xué)生的思維以形象思維為主，并從形象思維向抽象思維過渡。因此，教師巧借直觀的圖像，可以幫助學(xué)生形成推理的思路。

在一些運(yùn)算律的學(xué)習(xí)中，加入幾何模型的真實情境，能讓學(xué)生從“直觀”中獲得對運(yùn)算實例以及算理的理解與支持，從而促進(jìn)推理能力與數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展。

在探究“多邊形的內(nèi)角和”中，引導(dǎo)學(xué)生將同一個四邊形分割成不同三角形的過程（如圖5），有助于學(xué)生直觀分析：（a）圖的分法中，四邊形的內(nèi)角和等于兩個三角形的內(nèi)角和；（b）圖的分法中，四邊形的內(nèi)角和等于三個三角形的內(nèi)角和減去180°；（c）圖的分法中，四邊形的內(nèi)角和等于四個三角形的內(nèi)角和減去360°。

綜上所述，在“找規(guī)律”活動中，學(xué)生推理意識表現(xiàn)水平的進(jìn)階需要一線教師不斷實踐、反思，從而助力學(xué)生養(yǎng)成講道理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)他們的交流能力，夯實他們推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4] 鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力[J].中國數(shù)學(xué)教育，2022（19）：3-11.

（責(zé)編 李琪琦）