地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址算法比較

摘 要：針對(duì)傳統(tǒng)算法解決復(fù)雜非線性規(guī)劃收斂速度慢、尋優(yōu)精確度低等問(wèn)題，文章介紹并設(shè)計(jì)了模擬退火算法、自適應(yīng)免疫遺傳算法以及Python調(diào)用COPT求解器三種算法對(duì)地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址問(wèn)題進(jìn)行求解。最后，以西安市地鐵網(wǎng)絡(luò)為例，分別運(yùn)用這三種算法對(duì)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址問(wèn)題進(jìn)行求解，并對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行比較分析。結(jié)果表明，Python調(diào)用COPT求解器的算法在解決地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址問(wèn)題時(shí)，相較于自適應(yīng)免疫遺傳算法和模擬退火算法有著卓越的計(jì)算效能和精確度。

關(guān)鍵詞：地鐵貨運(yùn)；選址問(wèn)題；COPT求解器；自適應(yīng)免疫遺傳算法；模擬退火算法

中圖分類(lèi)號(hào)：F572 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2025.02.006

Abstract： Aiming at problems such as slow convergence speed and low accuracy of optimization when using the traditional algorithms to solve the problems of complex nonlinear planning， this paper introduces and designs three algorithms， namely， simulated annealing algorithm， adaptive immune genetic algorithm， and Python calling the COPT solver， for solving the metro-truck intermodal transportation metro transfer station siting problem. Finally， taking Xi'an metro network as an example， these three algorithms are applied to solve the metro transfer station siting problem， and the results are compared and analyzed. The results show that the Python algorithm calling the COPT solver has superior computational efficiency and accuracy compared with the adaptive immune genetic algorithm and simulated annealing algorithm in solving the metro transfer station siting problem.

Key words： metro freight; siting problem; COPT solver; adaptive immune genetic algorithm; simulated annealing algorithm

0 " "引 " "言

隨著電子商務(wù)的快速發(fā)展，城市物流需求量激增，多頻次、小批量、高時(shí)效性的物流配送是現(xiàn)代物流業(yè)適應(yīng)現(xiàn)代市場(chǎng)需求的重要發(fā)展方向。傳統(tǒng)的貨車(chē)配送方式，有著占用道路交通資源比例大、周轉(zhuǎn)次數(shù)多和遭到限行等特點(diǎn)，不僅降低了配送的及時(shí)性，且更容易造成城市中心區(qū)的交通擁堵和環(huán)境污染。地鐵具有大運(yùn)量、高時(shí)效性、低污染和網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)的特點(diǎn)，滿足國(guó)家節(jié)能減排，綠色共享的物流發(fā)展趨勢(shì)。同時(shí)，開(kāi)展基于地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的城市物流新型配送模型，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)非高峰時(shí)段地鐵資源的充分利用，還能通過(guò)貨運(yùn)增加收入，彌補(bǔ)地鐵運(yùn)營(yíng)虧損，因此開(kāi)展基于地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的城市物流新型配送模式研究十分必要。

目前，在關(guān)于地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的研究中，地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的物流網(wǎng)絡(luò)選址布局和路徑優(yōu)化是探討最為廣泛且成果最為豐富的領(lǐng)域。周芳汀等[1]以成都市地鐵網(wǎng)絡(luò)為例，建立以總成本最小化為目標(biāo)函數(shù)的基于地鐵網(wǎng)絡(luò)的城市配送系統(tǒng)轉(zhuǎn)運(yùn)站選址模型，設(shè)計(jì)并改進(jìn)模擬植物生長(zhǎng)算法對(duì)模型進(jìn)行求解。米雪麗[2]建立總成本最小化的依托地鐵的城市物流網(wǎng)絡(luò)中轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)選址模型和線路優(yōu)化模型，并分別使用免疫遺傳算法和自適應(yīng)遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解。王寅[3]提出了引入軌道交通之后的城市物流配送中心的雙層規(guī)劃選址模型，并設(shè)計(jì)了遺傳算法對(duì)雙層規(guī)劃模型進(jìn)行求解。聶文聰?shù)萚4]研究依托地鐵的城市物流配送的可行性及其運(yùn)營(yíng)模式，提出了“灌溉”概念的城市單向軌道配送模式，建立雙層規(guī)劃選址模型，并用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解。張秋星[5]在對(duì)城市物流準(zhǔn)確分析和精準(zhǔn)預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，建立了基于地鐵的城市配送中心選址模型，并采用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解。然而，從現(xiàn)代物流的全局角度來(lái)看，該領(lǐng)域的研究仍然處于初級(jí)階段，許多先進(jìn)的優(yōu)化技術(shù)、算法尚未在地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的物流網(wǎng)絡(luò)選址布局和路徑優(yōu)化的研究中得到應(yīng)用和提及。

現(xiàn)有研究對(duì)地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址模型的求解方法，大多為遺傳算法、粒子群算法等啟發(fā)式算法。本文通過(guò)整合道路網(wǎng)絡(luò)和地鐵網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建總成本最小化的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址模型，分別采用MATLAB設(shè)計(jì)模擬退火算法、MATLAB設(shè)計(jì)自適應(yīng)免疫遺傳算法以及Python調(diào)用COPT求解器三種算法對(duì)該選址模型進(jìn)行求解，并進(jìn)行對(duì)比分析。最后，以西安市地鐵網(wǎng)絡(luò)為例驗(yàn)證算法和模型的可行性和有效性。

1 " "模型構(gòu)建

1.1 " "問(wèn)題描述

基于地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址問(wèn)題可描述如下：貨物通過(guò)貨車(chē)、飛機(jī)等大宗貨物運(yùn)輸方式運(yùn)輸至位于城市郊區(qū)的物流中心，再?gòu)奈锪髦行倪\(yùn)輸至地鐵始發(fā)站的地鐵配送站進(jìn)入地鐵系統(tǒng)，通過(guò)地鐵線路配送至各個(gè)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站，最后通過(guò)第三方物流公司，以小貨車(chē)、三輪車(chē)等配送方式配送至驛站再至客戶，地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的城市物流配送模式見(jiàn)圖1。

1.2 " "地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址模型構(gòu)建

1.2.1 " "問(wèn)題假設(shè)

備選的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站均為地鐵中轉(zhuǎn)站；

從任意一個(gè)地鐵配送站向需求點(diǎn)配送貨物，都必須經(jīng)過(guò)一個(gè)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站；

任意一個(gè)需求點(diǎn)只能由一個(gè)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站進(jìn)行配送；

單位貨物單位距離地鐵運(yùn)輸成本小于單位貨物單位距離貨車(chē)運(yùn)輸成本。

1.2.2 " "參數(shù)定義

DM、DN、DQ分別表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站集合、需求點(diǎn)集合以及地鐵配送站集合，表示地鐵配送站，表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站，表示需求點(diǎn)。表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站個(gè)數(shù)，表示需求點(diǎn)個(gè)數(shù)， 表示地鐵配送站個(gè)數(shù)；表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站最大覆蓋范圍；表示開(kāi)放地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的個(gè)數(shù)；表示地鐵配送站經(jīng)過(guò)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站至需求點(diǎn) j 的運(yùn)量；表示單位貨物單位距離地鐵運(yùn)輸成本；表示公路與地鐵的單位成本比值；表示單位貨物單位距離公路運(yùn)輸成本；表示單位貨物轉(zhuǎn)運(yùn)成本；表示單位貨物換線成本；表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站固定運(yùn)營(yíng)成本；表示地鐵配送站至地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的地鐵線路長(zhǎng)度；表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站至需求點(diǎn)的距離；表示從地鐵配送站至地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站所選地鐵線路的換線次數(shù)；表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的最大服務(wù)能力。

決策變量表示是否從地鐵配送站經(jīng)過(guò)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站至需求點(diǎn)，是為1，否為0；決策變量表示是否開(kāi)放地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站，是取1，否取0。

1.2.3 " "模型建立

a.目標(biāo)函數(shù)

所建模型為混合整數(shù)規(guī)劃模型，其中，式（1）為目標(biāo)函數(shù)，表示地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送總成本最小，第一項(xiàng)為地鐵運(yùn)輸成本和貨車(chē)運(yùn)輸成本，第二項(xiàng)為換線成本，第三項(xiàng)為轉(zhuǎn)運(yùn)成本，第四項(xiàng)為地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站點(diǎn)固定運(yùn)營(yíng)成本；式（2）表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的開(kāi)放個(gè)數(shù)限制；式（3）表示只有地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站開(kāi)放時(shí)，貨物才能通過(guò)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站進(jìn)行配送；式（4）表示地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的覆蓋范圍限制；式（5）表示地鐵配送站至客戶只能選擇一條線路進(jìn)行配送；式（6）表示備選地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的最大服務(wù)能力；式（7）表示決策變量的取值范圍；式（8）表示若地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站未開(kāi)放則地鐵配送站不通過(guò)該地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站向需求點(diǎn)配送貨物。

2 " "算法設(shè)計(jì)

基于地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址問(wèn)題，為選址分配問(wèn)題，屬于NP-hard問(wèn)題，本文將采用模擬退火算法、自適應(yīng)免疫遺傳算法以及Python調(diào)用COPT三種算法進(jìn)行地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站和客戶分配的優(yōu)化。

2.1 " "模擬退火算法

模擬退火算法是一種基于概率的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法，它模仿金屬退火過(guò)程中的物理現(xiàn)象，通過(guò)控制一個(gè)溫度參數(shù)來(lái)平衡解的接受概率，使得算法在高溫時(shí)能夠探索廣泛的解空間，其又因概率突跳特性能在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即在局部最優(yōu)解能概率性地跳出并隨著溫度參數(shù)的下降最終趨于全局最優(yōu)解[6-7]。模擬退火算法具體步驟如下。

Step1：生成初始解，并設(shè)定初始溫度參數(shù)、終止溫度、內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)、退火速率等。

Step2：進(jìn)行內(nèi)循環(huán)，即進(jìn)行Step3至Step5。

Step3：生成新解。

Step4：計(jì)算能量差，即新解的函數(shù)值與當(dāng)前解的函數(shù)值的差，并采用Metropolis準(zhǔn)則判斷是否接受新解。

Step5：如果達(dá)到內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)，則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解。

Step6：根據(jù)退火速率將溫度參數(shù)減小。

Step7：執(zhí)行外循環(huán)即返回Step2，直至溫度參數(shù)小于終止溫度。

2.2 " "自適應(yīng)免疫遺傳算法

自適應(yīng)免疫遺傳算法是一種結(jié)合了遺傳算法和免疫算法優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)化算法。在遺傳算法的基礎(chǔ)上，自適應(yīng)免疫遺傳算法增加了自適應(yīng)調(diào)整交叉和變異概率的能力以及免疫算法的記憶和多樣性維持機(jī)制，有效避免了早熟收斂現(xiàn)象，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力和局部搜索能力，使其在解決復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)更加高效和穩(wěn)定[8-11]。自適應(yīng)免疫遺傳算法具體步驟如下。

Step1：編碼。編碼是表示問(wèn)題的解空間的方法，自適應(yīng)免疫遺傳算法的編碼發(fā)生主要有二進(jìn)制編碼、實(shí)數(shù)編碼、浮點(diǎn)數(shù)編碼等。Step2：生成初始種群，根據(jù)使用編碼，確定種群的大小、記憶庫(kù)大小、迭代次數(shù)等。Step3：計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度、濃度以及激勵(lì)度。Step4：選擇激勵(lì)度最大的前指定個(gè)抗體，加入記憶庫(kù)，將記憶庫(kù)更新。Step5：進(jìn)行復(fù)制、交叉和變異。Step6：將復(fù)制、交叉和變異后得到的抗體與記憶庫(kù)中抗體結(jié)合形成新的抗體。Step7：返回步驟Step3，直至達(dá)到最大迭代次數(shù)。

2.3 " "Python調(diào)用COPT

杉數(shù)公司獨(dú)立研發(fā)了一款名為COPT（Cardinal Optimizer）的高效數(shù)學(xué)規(guī)劃求解器，專門(mén)用于處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。COPT具備解決多種復(fù)雜數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的能力，包括大規(guī)?；旌险麛?shù)規(guī)劃、線性規(guī)劃（采用單純形法和內(nèi)點(diǎn)法）、半定規(guī)劃、混合整數(shù)二階錐規(guī)劃、混合整數(shù)凸二次規(guī)劃以及混合整數(shù)凸二次約束規(guī)劃問(wèn)題。Python調(diào)用COPT求解器具體步驟如下。

Step1：導(dǎo)入COPT模塊。使用import coptpy as cp以及from coptpy import COPT將COPT模塊導(dǎo)入。

Step2：創(chuàng)建求解環(huán)境和模型。使用創(chuàng)建求解環(huán)境，使用創(chuàng)建模型。

Step3：定義優(yōu)化問(wèn)題。使用 COPT 提供的類(lèi)和方法來(lái)定義優(yōu)化問(wèn)題，主要包括問(wèn)題的決策變量、約束條件以及目標(biāo)函數(shù)。

Step4：求解優(yōu)化問(wèn)題。使用對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

3 " "案例分析

3.1 " "數(shù)據(jù)分析

以西安市地鐵網(wǎng)路為例，綜合考慮貨車(chē)-地鐵銜接便利性、地鐵線路通達(dá)度、地鐵站點(diǎn)規(guī)模以及客戶需求與分布等因素，選取常寧宮站、創(chuàng)新港站以及草灘站作為地鐵配送站，依次編號(hào)為1，2，3。選取西安市二環(huán)線內(nèi)的地鐵中轉(zhuǎn)站作為備選地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站，共計(jì)9個(gè)，依次編號(hào)為P1，P2，...，P9。再選取西安市二環(huán)內(nèi)的居住區(qū)、學(xué)校等地作為需求點(diǎn)，共32個(gè)，依次編號(hào)為1，2，...，32。地鐵配送站和備選地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站分布見(jiàn)圖2，并將二環(huán)線映射至圖2中，各備選地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站和需求點(diǎn)經(jīng)緯度見(jiàn)表1。

依據(jù)公鐵聯(lián)運(yùn)相關(guān)參數(shù)、地鐵票價(jià)、貨車(chē)油耗等進(jìn)行類(lèi)比估計(jì)，該選址分配模型的參數(shù)取值見(jiàn)表2，其中從地鐵配送站至地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站所選地鐵線路的換線次數(shù)Tik、地鐵配送站至地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站的地鐵線路長(zhǎng)度dik、地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站k至需求點(diǎn)j的距離dkj以及客戶需求量均已知，其中客戶總需求量為640件。

3.2 " "結(jié)果與分析

3.2.1 " "MATLAB設(shè)計(jì)模擬退火算法

使用MATLAB R2022a設(shè)計(jì)模擬退火算法對(duì)該案例進(jìn)行求解，設(shè)置初始溫度為100，終止溫度為0.01，內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)為100，降溫系數(shù)為0.95。算法迭代142次后最優(yōu)解不再發(fā)生改變，求得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為6 606.7，其中地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站固定運(yùn)營(yíng)成本占總成本的45.41%，模擬退火算法迭代曲線見(jiàn)圖3。

迭代總耗時(shí)35.6s，得到最終地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址方案為P2，P3，即五路口站和北大街站，各地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站與需求點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖4。

3.2.2 " "MATLAB設(shè)計(jì)自適應(yīng)免疫遺傳算法

使用MATLAB R2022a設(shè)計(jì)自適應(yīng)免疫遺傳算法對(duì)該案例進(jìn)行求解，設(shè)置種群規(guī)模為100，記憶庫(kù)容量為20，最大迭代次數(shù)為600。求得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為

6 460.8，其中地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站固定運(yùn)營(yíng)成本占總成本的46.43%。最優(yōu)迭代曲線見(jiàn)圖5。由圖5可知，算法迭代至182代后目標(biāo)函數(shù)值不再發(fā)生改變。

迭代總耗時(shí)422.4s，得到最終地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址方案為P2，P3，即五路口站和北大街站，各地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站與需求點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖6。

3.2.3 " "Python調(diào)用COPT求解器

使用Python調(diào)用版本為v7.0.2的COPT求解器，對(duì)該混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，求解時(shí)間為1.4s，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為6 120.3，其中轉(zhuǎn)運(yùn)站固定運(yùn)營(yíng)成本占總成本的49.02%，得最優(yōu)地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址結(jié)果為P3，P8，即北大街站和南稍門(mén)站，轉(zhuǎn)運(yùn)站與需求點(diǎn)關(guān)聯(lián)圖如圖7所示。

通過(guò)MATLAB設(shè)計(jì)模擬退火算法、MATLAB設(shè)計(jì)自適應(yīng)免疫遺傳算法和Python調(diào)用COPT求解器三種算法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，三種算法在單次總配送快遞件數(shù)為640件的情況下，迭代10次計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表3所示。

對(duì)比表3中最優(yōu)解可知，Python調(diào)用COPT求解器求得的最優(yōu)解相較于模擬退火算法和自適應(yīng)免疫遺傳算法求得的最優(yōu)解各優(yōu)化了5.27%和7.36%，這一結(jié)果表明，COPT求解器在處理該問(wèn)題時(shí)，不僅能夠找到更接近全局最優(yōu)解的解，而且優(yōu)化效率也相對(duì)較高。對(duì)比表3中平均值可知，Python調(diào)用COPT求解器的穩(wěn)定性相較于模擬退火算法和自適應(yīng)免疫遺傳算法更好。對(duì)比表3中算法運(yùn)行時(shí)間可知，Python調(diào)用COPT求解器的最優(yōu)運(yùn)行時(shí)間占模擬退火算法的最優(yōu)運(yùn)行時(shí)間的3.93%，僅占自適應(yīng)免疫遺傳算法的最優(yōu)運(yùn)行時(shí)間的0.33%，可見(jiàn)在計(jì)算效率上Python調(diào)用COPT求解器有著傳統(tǒng)啟發(fā)式算法無(wú)法媲美的求解效率。Python調(diào)用COPT求解器的高效率和優(yōu)化能力對(duì)于實(shí)際的物流和供應(yīng)鏈管理等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，能夠幫助企業(yè)降低成本、提高服務(wù)質(zhì)量，并在競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)中獲得優(yōu)勢(shì)。

綜上所述，三種算法均能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，其中模擬退火算法和自適應(yīng)免疫遺傳算法得到了相同的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站最優(yōu)選址結(jié)果，但因其地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站對(duì)應(yīng)配送的需求點(diǎn)不同，導(dǎo)致最優(yōu)解不同。綜合考慮三種算法的求解效率和精確性，三種算法中Python調(diào)用COPT求解器的算法遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于另外兩種算法，自適應(yīng)免疫遺傳算法次之，最后是模擬退火算法。

4 " " 結(jié) " "論

本文構(gòu)建了地鐵-貨車(chē)聯(lián)運(yùn)配送的地鐵轉(zhuǎn)運(yùn)站選址模型，通過(guò)MATLAB設(shè)計(jì)模擬退火算法、MATLAB設(shè)計(jì)自適應(yīng)免疫遺傳算法和Python調(diào)用COPT求解器三種算法對(duì)模型進(jìn)行求解。以西安市地鐵網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了案例分析，并對(duì)三種算法的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，不僅驗(yàn)證了三種算法的有效性，還證明了Python調(diào)用COPT求解器計(jì)算該選址分配問(wèn)題相較于其他算法有著絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。對(duì)其他更為復(fù)雜的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的求解，當(dāng)所求問(wèn)題擁有明確數(shù)學(xué)模型時(shí)，Python調(diào)用COPT求解器的算法相較于傳統(tǒng)啟發(fā)式算法有著更高的實(shí)用價(jià)值、求解效率以及精確性。

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