2024年新高考Ⅱ卷立體幾何試題的探究

一、試題呈現(xiàn)

【2024年新高考Ⅱ卷第17題】如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點(diǎn)E、F滿足AE=25AD，AF=12AB，將△AEF沿EF對(duì)折至△PEF，使得PC=43．

（1）證明：EF⊥PD；

（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．

二、試題分析

本題以平面四邊形ABCD翻折成的五棱錐P－EFBCD為背景，第（1）問(wèn)考查線線垂直的證明，第（2）考查二面角的正弦值，試題結(jié)構(gòu)熟悉，設(shè)問(wèn)自然，難度適中，把能力和素養(yǎng)的考查建立在基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的運(yùn)用上。主要考查的知識(shí)點(diǎn)有平面向量的運(yùn)算、余弦定理、線面垂直的判定定理、向量法求二面角等知識(shí).考查數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，突出邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.從題目條件呈現(xiàn)來(lái)看，翻折模型和五棱錐模型均是全國(guó)卷中比較少考的模型，用向量來(lái)呈現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合解三角形的知識(shí)，體現(xiàn)了試題的綜合性和創(chuàng)新性.這種多個(gè)模塊知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的命題方式在今年新的試題結(jié)構(gòu)下明顯增加，值得我們研究和關(guān)注.

三、解法探究

（1）由AB=8，AD=53，AE=25AD，AF=12AB，

得AE=23，AF=4，又∠BAD=30°，

在△AEF中，由余弦定理得EF=16+12－2×4×23×32=2，

所以AE2+EF2=AF2，則AE⊥EF，即EF⊥AD，

所以將△AEF沿EF對(duì)折至△PEF，

有EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE=E，PE、DE平面PDE，

所以EF⊥平面PDE，又PD平面PDE，

故EF⊥PD.

評(píng)注：本題的證明思路為先證明線線垂直，然后得到線面垂直，再得到線線垂直，體現(xiàn)了空間問(wèn)題和平面問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.要求考生熟練掌握立體幾何中的線線垂直、線面垂直的判定定理，掌握幾何證明方法，具備一定的邏輯推理的能力.在翻折問(wèn)題中，關(guān)鍵是抓住翻折過(guò)程中的變化性與規(guī)律性，特別是翻折過(guò)程中的不變量.如本題的∠PEF，∠DEF在翻折前后的不變性是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.在證明EF⊥AD時(shí)，用到了余弦定理及勾股定理，在立體幾何的問(wèn)題中考查解三角形的知識(shí)，體現(xiàn)了高考試題基礎(chǔ)性、綜合性的考查特點(diǎn).

（2）解法一：向量法

連接CE，由∠ADC=90°，ED=33，CD=3，則CE2=ED2+CD2=36.

在ΔPCE中，PC=43，PE=23，EC=6，得EC2+PE2=PC2，

所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF=E，EC、EF平面ABCD，

所以PE⊥平面ABCD.

如圖以EF、ED、EP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則E（0，0，0），P（0，0，23），D（0，33，0），C（3，33，0），F(xiàn)（2，0，0），A（0，－23，0），

由F是AB的中點(diǎn)，得B（4，23，0）.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n→=（x，y，z），

PD=（0，33，－23），DC=（3，0，0）

由n→·DC=0，n→·PD=0，得3x=0，33y－23z=0，令z=3得n→=（0，2，3）.

設(shè)平面PBF的一個(gè)法向量為m→=（x1，y1，z1），

PF=（2，0，－23），F(xiàn)B=（2，23，0），

由m→·PF=0，m→·FB=0，得2x1－23z1=0，2x1+23y1=0，令z1=1得m→=（3，－1，1）.

設(shè)平面PCD和平面PBF所成的二面角為θ，

所以cosθ=cos〈m→，n→〉=m→·n→m→n→=15·13=6565，

則sinθ=1－cos2θ=86565，

即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值為86565.

評(píng)注：本解法是利用向量法求解二面角相關(guān)問(wèn)題的通法，突出對(duì)通法通性和數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查.考生容易出錯(cuò)的地方有建系時(shí)要先證明線面垂直關(guān)系，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，求平面的法向量的規(guī)范解答，法向量夾角與二面角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化等問(wèn)題.

解法二：幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)G，連接PG，

所以二面角A－PG－D為面PCD與面PBF所成的二面角中的一個(gè).

因?yàn)樵赗tΔADG中，∠BAD=30°，AD=53，所以AG=10，DG=5，

過(guò)點(diǎn)A作AN⊥PD交DP延長(zhǎng)線于N，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PG交GP延長(zhǎng)線于M，連接MN.

因?yàn)镋F⊥平面PAD，又EF//DG，

所以DG⊥平面PAD，又AN平面PAD，

所以DG⊥AN，又DG∩PD=D，

所以AN⊥平面PDG，

所以AN⊥PG，又AM⊥PG，AM∩AN=A，

所以PG⊥平面AMN，

所以PG⊥MN，所以∠AMN為二面角A－PG－D的平面角或其補(bǔ)角.

在ΔADN中，AN=AD×sin∠PDA=AD×PEPD=53×213=10313=103913.

在ΔAPG中，AP=26，PG=8，AG=10，所以cos∠PGA=82+102－242×8×10=78，

所以sin∠PGA=1－782=158，

所以AM=AG×sin∠PGA=10×158=5154，

所以sin∠AMN=ANAM=103913×4515=86565，

所以平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值為86565.

評(píng)注：此解法首先是把平面PCD與平面PBF延展，找到二面角的棱，再利用三垂線法尋找二面角的平面角，從而得到問(wèn)題的解決，具有一定的靈活性，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，比較難想到.發(fā)現(xiàn)AN⊥平面PDG是利用三垂線尋找二面角的平面角的關(guān)鍵.相對(duì)而言，向量法更簡(jiǎn)潔，想法更自然，更容易得到問(wèn)題的答案，也體現(xiàn)了向量法在求解二面角問(wèn)題中的優(yōu)越性.

解法三：射影法

如圖所示，延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)G，連接PG，

所以二面角F－PG－D為面PCD與面PBF所成的二面角中的一個(gè).記二面角F－PG－D的平面角為θ，記點(diǎn)D到平面PFG的距離為h，點(diǎn)D到直線PG的距離為h1

在ΔPFG中，PF=4，PG=8，F(xiàn)G=6，所以cos∠PGF=82+62－162×8×6=78，

所以sin∠PGF=1－782=158，

所以ΔPFG的面積SΔPFG=12×6×8×158=315.

三棱錐P－DFG的體積V=13×12×33×5×23=15=13×SΔPFG×h，

所以h=15.

在ΔPDG中，PD=39，DG=5，PG=8，

所以cos∠PGD=82+52－392×8×5=58，sin∠PGD=1－582=398，

所以點(diǎn)D到直線PG的距離為h1=5×398=5398，

所以sinθ=hh1=155398=86565，

所以平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值為86565.

評(píng)注：此解法借助三棱錐的體積來(lái)求點(diǎn)到面的距離，三角形的面積求點(diǎn)到線的距離，避開(kāi)了幾何法尋找二面角的復(fù)雜幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化.借助方程的運(yùn)算化解了幾何推理的困難，此解法對(duì)于垂線不好找的問(wèn)題有一定的幫助，還可以進(jìn)一步進(jìn)行探究，得到三棱錐的體積與二面角之間的關(guān)系，從而形成新的解題方法.

四、模型提煉

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要借助長(zhǎng)方體這個(gè)模型，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.長(zhǎng)方體是最重要的體現(xiàn)線面關(guān)系、實(shí)現(xiàn)空間想象能力的基本模型.長(zhǎng)方體以及由長(zhǎng)方體截成的“陽(yáng)馬”（四棱錐），“鱉臑”（三棱錐），“墻角”模型都是高考中常見(jiàn)的模型.

本題的幾何體可以看成是下圖長(zhǎng)方體截成的一個(gè)五棱錐P－EFBCD，如果把這個(gè)圖形補(bǔ)成長(zhǎng)方體，空間點(diǎn)線面和位置關(guān)系將更加清晰的呈現(xiàn)在考生面前，那么在向量法求解第二問(wèn)就變得簡(jiǎn)單很多.圖中的三棱錐P－ECD是一個(gè)“鱉臑”模型，解法二的幾何法正是利用了這一模型中的CD⊥平面PDE，從而得到AN⊥平面PDG，再利用三垂線法進(jìn)行求解.

從近幾年新高考全國(guó)卷的立體幾何試題的分析中，我們不難發(fā)現(xiàn)，立體幾何的考查主要以熟悉的空間幾何體為載體.立體幾何問(wèn)題的求解中，對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)是考查的重點(diǎn)，高考命題中重視從基本圖形中截取部分來(lái)設(shè)計(jì)考題，求解中如果可以對(duì)題目圖形適當(dāng)進(jìn)行還原，得到基本圖形再進(jìn)行觀察，一定會(huì)對(duì)立體幾何問(wèn)題的理解和求解有很大的幫助.

五、備考建議

（一）回歸教材，構(gòu)建完整的知識(shí)體系

新高考命題以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù)，體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系的要求.教材是落實(shí)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，也是歷年高考命題的重要素材，在教材中往往能夠找到高考真題的影子.在高考備考中，應(yīng)從教材出發(fā)，系統(tǒng)回顧立體幾何的基本概念，基本定理和基本方法，確保對(duì)每一個(gè)定義、定理、性質(zhì)都有清晰的認(rèn)識(shí)，并能準(zhǔn)確表述，從而形成完整的立體幾何知識(shí)體系.本題考查的折疊模型、長(zhǎng)方體模型、“鱉臑”模型，在教材中均有大量的相關(guān)試題和研究，值得我們反復(fù)去回顧和研究.

（二）夯實(shí)基礎(chǔ)，提升應(yīng)對(duì)新高考的能力

立體幾何的學(xué)習(xí)不僅僅是記憶公式和簡(jiǎn)單模仿，更重要的是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.立體幾何試題主要考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.空間想象能力的培養(yǎng)需要通過(guò)多觀察、多動(dòng)手（如制作幾何模型）、多想象（在腦海中構(gòu)建空間圖形），培養(yǎng)和提高自己的空間想象能力.邏輯推理能力的培養(yǎng)需要從立體幾何基本定理的學(xué)習(xí)、表達(dá)、應(yīng)用等方面入手，在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，多關(guān)注邏輯推理的過(guò)程和解決問(wèn)題的思想方法，學(xué)會(huì)推理的基本方法，注意證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性等.不管高考試題的模型和設(shè)問(wèn)方式上如何發(fā)生變化和創(chuàng)新，在立體幾何的備考過(guò)程中，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力，才能在變化的高考中立于不敗之地.

六、專項(xiàng)訓(xùn)練

練習(xí)1.如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點(diǎn)E、F滿足AE=25AD，AF=12AB，將△AEF沿EF折起至△PEF．

（1）判斷直線EF、PD是否垂直，并證明.

（2）若面PDE與面PBF的夾角的余弦值為217，求點(diǎn)P到直線DE的距離．

練習(xí)2.如圖（1）所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=12，E，F(xiàn)分是BC，AC的中點(diǎn).將△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的平面角為60°，如圖（2）所示.

（1）求證：平面C′FA⊥平面ABC′；

（2）求平面C′FA與平面BEC′夾角的余弦值.

練習(xí)3．如圖甲，在四邊形PBCD中，PD//BC，PB=BC=CD=AD=PA=2，將△ABP沿AB折起得圖乙，點(diǎn)M是PD上的點(diǎn).

（1）若M為PD的中點(diǎn)，證明：PC⊥平面ABM；

（2）若PC=6，試確定M的位置，使二面角M－AB－C的正弦值等于255.

【參考答案】

1.（1）EF⊥PD，（2） 點(diǎn)P到直線DE的距離為3.

簡(jiǎn)析：本題在高考題的基礎(chǔ)上，改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，考查翻折過(guò)程中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題和探究性問(wèn)題.第（1）問(wèn)先證明EF⊥平面PDE，從而得到EF⊥PD，第（2）問(wèn)以EF，ED為x，y軸，過(guò)點(diǎn)E作平面ABCD的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P0，m，n，PE=m2+n2=23，求出平面PDE與面PBF的法向量，再進(jìn)行求解.

2.（1）略.（2）22.

簡(jiǎn)析：（1）先證明AB⊥平面BEC′，再分別以BE，BA所在直線為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，證明兩平面的法向量垂直即得證；

（2）利用向量法求平面C′FA與平面BEC′夾角的余弦值即得解.

3.（1）略.（2）點(diǎn)M在線段PD靠近P的三等分點(diǎn)處.

簡(jiǎn)析：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，先證明AB⊥平面PEC，得出AB⊥PC，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，易得BN⊥PC，由線面垂直判定定理即可證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABD，平面MAB的一個(gè)法向量，再根據(jù)二面角M－AB－C的正弦值等于255即可求出參數(shù)λ，從而確定M的位置.

【作者簡(jiǎn)介：高中數(shù)學(xué)高級(jí)教師，佛山市順德區(qū)北滘中學(xué)數(shù)學(xué)科組長(zhǎng)】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)