凸顯直觀感知，巧妙簡化運算

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）的核心主干是六核、四基、四能，其中基礎(chǔ)知識和基本技能的過關(guān)是最為重要的一環(huán)，也是提升核心素養(yǎng)不可或缺的一步.下面，筆者從2024年高考數(shù)學(xué)新課程Ⅰ卷第12題的解法和研究入手，充分挖掘圖形和幾何性質(zhì)，引領(lǐng)解題，啟發(fā)備考.

一、問題的提出

（2024新高考Ⅰ卷12題）設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左右焦點分別為F1、F2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|=13，|AB|=10，則C的離心率為"""" ".

分析：本題以雙曲線特征三角形為背景，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義、幾何性質(zhì)、離心率等內(nèi)容，常規(guī)解法是由題意畫出雙曲線大致圖像，求出AF2，結(jié)合雙曲線第一定義求出AF1，即可得到a，b，c的值，從而求出離心率.

解析：由題可知A，B，F(xiàn)2三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入x2a2－y2b2=1，得y=±b2a，即Ac，b2a，Bc，－b2a，故AB=2b2a=10，AF2=b2a=5. 又AF1－AF2=2a，得AF1=AF2+2a=2a+5=13，解得a=4，代入b2a=5得b2=20，故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e=ca=64=32.故答案為：32.

實際上，寫出A、B的坐標(biāo)用a，b，c來表示，最后得到三者之間的關(guān)系，就能解出離心率.而該題的特征三角形是一個直角三角，大大降低了該題的計算量和思維量.

二、落實“四基”，類題強(qiáng)化

不妨將題目中的線段長換成直線的斜率、傾斜角等幾何關(guān)系，問題通過解三角形就能得到結(jié)果.

推廣一：橫向推廣，強(qiáng)化解題技能

變式1．已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左焦點為F，過點F的直線l：x+3y+m=0與y軸交于點B，與雙曲線C交于點A（A在y軸右側(cè)）．若B是線段AF的中點，則雙曲線C的離心率是（" ）

A．2"" B．2"" C．3"" D．3

分析：設(shè)雙曲線C的右焦點為F′（c，0）．因為直線l的斜率是－33，所以∠BFF′=30°，所以O(shè)F=c，OB=3c3，BF=BF′=23c3．因為B是線段AF的中點，所以AB=BF=BF′=23c3．因為∠ABF′=60°，所以AF′=23c3．

由雙曲線的定義可得2a=AF－AF′=23c3，則雙曲線C的離心率e=ca=3．

變式2．斜率為33的直線過雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左焦點F1與雙曲線的右支交于點P，且PF2與x軸垂直（F2為右焦點），則此雙曲線的離心率為"" .

分析：由斜率為33的直線過雙曲x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0的左焦點F1，可得直線方程為y=33x+c，可得P的縱坐標(biāo)為23c3，又因為PF2與x軸垂直（F2為右焦點），

∴23c3=b2a=c2－a2a，可得e2－233e－1=0，egt;1，解得e=3，則雙曲線的離心率為3.

變式3．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，cos∠MF2F1=223，則E的離心率為"" .

分析：由x2a2－y2b2=1，x=－c，解得y=±b2a，所以MF1=b2a，又根據(jù)題意知M在雙曲線左支上，所以MF2－MF1=2a，所以MF2=2a+b2a，因為cos∠MF2F1=F1F2MF2=2c2a+b2a=223，

即2ac2a2+b2=223，整理得3ac=2a2+2c2，同除a2得2e2－3e+2=0解得e=2或e=22（舍去），

變式4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點．若當(dāng)PF2與x軸垂直時，有∠PF1F2=45°，則雙曲線C的離心率為"" ．

分析：設(shè)F2c，0，得到PF2=b2a由題意知b2a=2c，即c2－a2=2ac，所以e2－2e－1=0，解得e=2+1，或e=－2+1（舍去）．

變式5．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2－y2b2=1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則E的離心率為"" .

分析：由題，因為MF1與x軸垂直且sin∠MF2F1=13，所以sin∠MF2F1=MF1MF2=13，即MF2=3MF1，由雙曲線的定義可知MF2－MF1=2a，則MF2=3a，MF1=a. 又因為F1F2=2c，則MF22=MF12+F1F22，即3a2=a2+2c2，則2a2=c2，所以e=ca=2.

不難發(fā)現(xiàn)，新高考對我們四基的要求很高，考查了雙曲線的定義等基礎(chǔ)知識，考查了畫圖、解方程等基本技能，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等基本思想，考查了焦點三角形求離心率的一般解法——基本活動經(jīng)驗.在平時的學(xué)習(xí)，甚至一輪復(fù)習(xí)中都要不斷地強(qiáng)化與落實.在解決這一類焦點有關(guān)的中心三角形問題，首先直觀感知圖形的特征，作出圖形，充分挖掘幾何性質(zhì)這幾個表示最后都轉(zhuǎn)化成雙曲線的定義結(jié)合離心率來解方程.

推廣二：縱向推廣，培育核心素養(yǎng)

變式1.（2016年全國理科Ⅲ卷）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（" ）

A．13" B．12" C．23" D．34

分析：本題考查橢圓及其性質(zhì)、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.

如圖取P與M重合，則由A（－a，0），M（－c，b2a）直線AM：y=b2a－c+a（x+a）E（0，b2a－c）.同理，由B（a，0），M（－c，b2a）G（0，b2a+c）b2a－c=2b2a+ca=3ce=13，故選A.

不妨在此基礎(chǔ)上設(shè)置更多的幾何量，有變式2：

變式2．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，點F為橢圓C的右焦點，Р為橢圓上一點，且PF垂直于x軸.過原點О作直線PA的垂線，垂足為M，過原點О作直線PB的垂線，垂足為N，記S1，S2分別為△MON，△PAB的面積.若S2S1=409，則橢圓C的離心率為""" ".

分析：本題的關(guān)鍵點在于由三角形的面積公式將S2S1=409化簡為PA2－PB2=409b4，再由勾股定理求出PA，PB，代入化簡即可.直角三角形身在何方不重要，最重要是如何借助特征簡化代數(shù)運算.

設(shè)∠PAO=α，∠PBO=β可得sin∠NOM=sin∠APB，再由三角形的面積公式將S2S1=409化簡為PAPBOMON=409①，再由S△PAO=S△PBO=b22可得OM=b2PA，ON=b2PB，代入①可得PA2PB2=409b4，化簡即可求出橢圓C的離心率.

設(shè)∠PAO=α，∠PBO=β，故∠AOM=π2－α，∠NOB=π2－β，則∠NOM=α+β，∠APB=π－α+β，所以sin∠NOM=sin∠APB，

S2S1=

12PAPBsin∠APB12OMONsin∠MON=PAPBOMON=409①，

令x2a2+y2b2=1agt;bgt;0中x=c，所以c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a.

故S△PAO=S△PBO=12a·b2a=b22，即12PAOM=12PBON=b22，

所以O(shè)M=b2PA，ON=b2PB.

所以代入①可得：

PAPBOMON=PAPBb2PA·b2PB=409，

所以PA2·PB2=409b4=

a+c2+b2a2×a－c2+b2a2，

則409=a+c2b2+b2a2×a－c2b2+b2a2，

即409=a+c2a2－c2+a2－c2a2×a－c2a2－c2+a2－c2a2，

即409=a+c2a2－c2+a2－c2a2×a－c2a2－c2+a2－c2a2，

即409=a+ca－c+1－c2a2×a－ca+c+1－c2a2，即409=1+e1－e+1－e2×1－e1+e+1－e2，

即409=1+（1+e）2+（1－e）2+（1－e2）2=e4+4，故e4=49，解得：e=63.

故答案為：63.

借助直觀，對問題中的模型特征、圖形特征進(jìn)行直觀感知，將抽象數(shù)學(xué)具體化，有效地簡化了運算，

凸顯了“直觀想象”在引領(lǐng)特征感知、簡化運算途徑上的重要作用，從而培養(yǎng)了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

【專項練習(xí)】

1.設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|＝10，|AB|＝12，|AB|＝12，則橢圓C的離心率為（" ）

A．12B．22C．13D．33

2.已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交雙曲線C左支于A，B兩點，若△ABF2為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（" ）

A．2+1"""" B．5－22

C．5－22D．2+1或5－22

3.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0的左右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過F2作垂直于x軸的直線l1交橢圓C于A，B兩點，且滿足|AF1|＝7|AF2|，則橢圓C的離心率為"""" ．

4.已知F1、F2分別為雙曲線C：x2a2－y22=1agt;0的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，交雙曲線與A、B兩點，若△F1AB是等邊三角形，則此雙曲線C的漸近線方程是""""" ．

【參考答案】

1.解析：∵AF2=12AB=6，F(xiàn)1A=10，∴2a=AF1+AF2=16，

由勾股定理得：F1F2=2c=8，所以e=ca=2c2a=816=12.選A.

2.解析：（1）當(dāng)AB與x垂直時，∠AF2F1=90°，令x=－c得A（－c，ba2），B（－c，－b2a），∴通徑AB=2b2a，AF1=b2a，又∵ΔABF2為等腰直角三角形，所以AF2=22AB=2ba2，根據(jù)雙曲線的定義：AF2－AF1=2b2a－b2a=2a，化簡得：b2a2=22+2，∴e=1+b2a2=3+22=2+1.

（2）當(dāng)AB與x不垂直時，不妨設(shè)ΔBAF2=90°，設(shè)AF2=AB=m，由雙曲線的定義得AF1=m－2a，∴BF1=AB－AF1=m－（m－2a）=2a，BF2=BF1+2a=2a+2a=4a.

在等腰直角三角形ΔABF2中AF2=AB=m=22BF2=22a，AF1=m－2a=（22－2）a.

在直角三角形ΔAF1F2中，（22a）2+［（22－2）a］2=（2c）2，化簡得e=c2a2=5－22，選D.

3.解析：由通徑的性質(zhì)得AF2=12AB=b2a，∵AF1=7AF2，由橢圓的定義得AF1+AF2=8·b2a=2a，∴b2a2=14，∴e=1－b2a2=1－14=32.

4.解析：由通徑的性質(zhì)得AF2=12AB=b2a，在等邊三角形ΔF1AB中，AF1=AB=2b2a，根據(jù)雙曲線的定義：AF1－AF2=2b2a－b2a=b2a=2a，所以b2a2=2，所以雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±2x.

答案：1.A 2.D 3.32 "4.y=±2x

【作者簡介：中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，曾獲評（聘）教育部“國培計劃”示范性教師，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員，華南師范大學(xué)、廣州大學(xué)碩士生兼職導(dǎo)師，首批粵派名師工作坊主持人，佛山市骨干教師，佛山市學(xué)科優(yōu)秀青年教師等，主持或參與省級以上課題8項，在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》《數(shù)學(xué)通訊》《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等省級以上雜志發(fā)表論文50多篇，其中1篇被人大復(fù)印報刊《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載】

責(zé)任編輯 徐國堅