簡支鋼-混組合梁撓度計算的附加剛臂約束法

摘要 ：鋼-混組合梁撓度計算的主要思路是折減截面剛度，再采用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計算，但組合梁剛度沿梁長變化，這與結(jié)構(gòu)力學(xué)中撓度計算剛度一致的假定矛盾，因而計算方法具有一定的經(jīng)驗近似性。假定在組合梁鋼梁頂部及剪力連接件上附加剛臂約束從而保持截面剛度不變，受彎后釋放剪力連接件上的約束使鋼梁頂部剛臂中產(chǎn)生附加彎矩，補償施加于組合梁上，獲得附加撓度并產(chǎn)生新的附加彎矩，重復(fù)以上過程，可得撓度為初始撓度與所有附加撓度之和，其值收斂。分析可見，附加彎矩之間相差較大，故撓度可簡化為初始撓度與第一附加撓度之和。推導(dǎo)出簡支梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的第一附加撓度統(tǒng)一計算公式，與文獻試驗數(shù)據(jù)及規(guī)范計算方法對比，其計算精度較高，簡單易用，避開了與剛度一致假定的矛盾。

關(guān)鍵詞 ：鋼-混組合梁;附加剛臂約束;撓度計算;附加撓度

中圖分類號：U44;TU398"" 文獻標(biāo)志碼：A"" 文章編號：1004-0366（2025）01-0054-06

鋼-混組合梁是一種廣泛使用的橋梁，通過剪力連接件保證砼翼板與鋼梁的共同工作，許多學(xué)者采用了數(shù)值法、 能量法^［1-2］、 有限元和理論分析^［3］等方法探討其性能^［4］。連接件的變形導(dǎo)致交界面滑移，降低了組合梁的剛度，使得撓度增大。關(guān)于組合梁撓度的計算方法相對較多，計算思路主要有4種：第1種為對組合梁換算截面（完全抗剪連接截面）剛度進行折減的方法，包括折減剛度法^［5-6］、附加曲率法^［7］、修正換算截面法^［8］、改進折減剛度法^［9］等，現(xiàn)行的《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》^［10］即采用了折減鋼度法；第2種為對疊合梁截面（無抗剪連接截面）剛度進行放大的方法，包括組合系數(shù)法^［10］、有效剛度法^［11］等;第3種為增大撓度的計算方法，有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法^［12］等;第4種為通過建立曲率與剪力連接程度的關(guān)系，再將曲率二次積分后求得撓曲線方程的方法，包括積分法^［13］等。以上方法總體而言都是從截面抗彎剛度的角度出發(fā)求解撓度，前3種方法借鑒了結(jié)構(gòu)力學(xué)中撓度計算的方法，概念上將剛度看做常量，忽略了結(jié)構(gòu)力學(xué)中撓度計算公式推導(dǎo)過程中隱含的截面剛度一致的條件，因而容易給人造成組合梁的剛度沿梁長方向一致的誤解^［14］，而實際情況是剛度隨彎矩情況變化。第4種方法考慮了剛度沿梁長變化的問題，但只針對均布荷載下的變化情況。本文提出一種組合梁撓度計算的新思路，即保持剛度不變，通過增大彎矩的方式考慮滑移對撓度的影響，建立滑移與增加彎矩的關(guān)系，求解增加彎矩產(chǎn)生的撓度（即考慮了滑移影響），以避免以上問題，稱為附加剛臂約束法，簡稱附加剛臂法。

1 基本假設(shè)及截面抵抗矩分解

1.1 基本假設(shè)

（1） 鋼與混凝土均為線彈性材料。

（2） 鋼與混凝土具有相同曲率，鋼與混凝土不發(fā)生豎直方向的相對位移。

（3） 鋼與混凝土各自符合平截面假定。

（4） 剪力鍵沿梁長方向均勻分布^［15］。

1.2 截面抵抗矩分解

設(shè)組合梁換算截面剛度（完全抗剪連接剛度）為I0，換算面積為A0，Ec、Ac分別為混凝土彈性模量、面積;Es、As分別為鋼梁的彈性模量、面積；yc為組合截面形心到砼翼板頂部的距離；bc、hc分別為砼翼板寬和高；hs為鋼梁的高度；hc0、hs0分別為砼翼板和鋼梁截面形心到各自頂部的距離。

在不考慮界面滑移時，梁受彎后橫截面保持平面，橫截面上的應(yīng)變分布為對頂三角形，將截面應(yīng)變圖形分解為矩形和2個對頂三角形^{［2，13，16］}，如圖1所示。

組合截面的抵抗矩可分為砼翼板、鋼梁的截面的抵抗矩，及二者對組合截面形心軸的力矩4個部分，其公式表示為

Mf（x）=Mc+Ms+EcAcε′c（yc-hc0）+EsAsε′s（ys-hs0），（1）

其中：Mf（x）為截面的抵抗矩;Mc、Ms分別為砼翼板及鋼梁承擔(dān)的彎矩，其值表示為

Mc=IcI0M，Ms=IsI0M，

Ic、Is分別為砼翼板和鋼梁對自身形心軸的慣性矩；ε′c、ε′s分別為砼翼板和鋼梁的矩形應(yīng)變，其值為砼翼板和鋼梁截面形心軸處的應(yīng)變值：

ε′c=MEcI0（yc-hc0），

ε′s=MEcI0（hc+hs0-yc）。

由于剪力連接件的變形，界面處產(chǎn)生滑移，組合梁各截面處微段上的相對滑移量用S表示，相對滑移應(yīng)變?yōu)镾′，若保持截面曲率不變，即ε″c、ε″s不變，則ε′c、ε′s相應(yīng)減小，由式（1）可知截面抵抗矩下降。

2 附加剛臂約束法

2.1 附加剛臂法基本思路

假定在界面處鋼梁頂部和剪力連接件上分別施加剛臂，在彎矩M0（x）作用下，剪力連接件受約束不變形，組合梁抗彎剛度為換算截面抗彎剛度EcI0，初始撓度為f0。然后去掉剪力連接件上的剛臂，剪力連接件自由變形，砼翼板回彈產(chǎn)生滑移S0（x），砼翼板中應(yīng)力減小，組合梁抵抗矩相應(yīng)減小，因鋼梁受約束撓度不變，則在剛臂中產(chǎn)生第一附加彎矩M1（x），其值為抵抗彎矩減小的值，即

M1（x）=EcS′0（x）Acy， （2）

其中：S′0（x）為彎矩M0（x）引起的滑移應(yīng)變；y為砼翼板形心至組合截面形心之距，即y=yc-hc0。記附加彎矩為Mn（x），滑移為Sn（x），滑移應(yīng)變?yōu)镾′n（x），撓度為fn，下標(biāo)n表示序號。

因剛臂分擔(dān)了彎矩M1（x），組合梁實際承受彎矩為M0（x）-M1（x），因此應(yīng)反向施加M1（x）到組合梁上進行補償，即施加-M1（x），同以上過程，在界面處施加剛臂，在-M1（x）作用下，界面處的滑移量為S1（x），滑移應(yīng)變?yōu)镾′1（x），剛臂中的附加彎矩為M2（x），第一附加撓度f1為

f1=∫l0-M1（x）EI0。 （3）

重復(fù)以上過程，可得最后施加在梁上的彎矩為初始彎矩和所有附加彎矩之和，即M0（x）+∑∞n=1-Mn（x），撓度為初始撓度與所有附加撓度之和：

f=f0+∑∞n=1fn。 （4）

因為由滑移產(chǎn)生的附加彎矩Mn+1（x）絕對值小于施加的彎矩Mn（x），故滑移量和附加彎矩逐步減小，撓度和是收斂的。

2.2 滑移量計算

將剪力連接件等效地用連續(xù)的彈性介質(zhì)代替，取剪力連接件的剛度為K，間距為p（假定等間距分布），平均剛度為K/p。取一微段 d x進行分析，組合梁受彎后，砼翼板受壓縮短，在附加剛臂作用下，界面無滑移，去掉剪力連接件上的剛臂后，砼翼板開始回彈產(chǎn)生相對于鋼梁的滑移，剪力連接件因此受壓變形，當(dāng)砼翼板的壓力F1與剪力連接件壓力F2相等時，達(dá)到新的平衡不再滑移，如圖2所示。

圖2中F1為無滑移時砼翼板內(nèi)壓力與因滑移損失的壓力的和，由于鋼梁頂面附加剛臂的約束，截面曲率未發(fā)生變化，僅產(chǎn)生軸向方向的滑移，故其值分別為截面抗壓剛度與相應(yīng)應(yīng)變的乘積;F2為微段上連接件剛度與滑移量S的乘積。依據(jù)假設(shè)及F1=F2可得方程：

EcAcM+ d M/2EcI0y+EcAcS′=KpSdx，（5）

其中：M+ d M/2為微段上彎矩的平均值;y為砼翼板截面中性軸到組合梁中性軸的距離，y=yc-hc0。

因 d M/2遠(yuǎn)小于M，為計算方便略去，令α=KEcAcp，β=yEcI0，則式（5）可簡化為

αSdx=βM+S′。 （6）

對式（6）兩邊求導(dǎo)得關(guān)于滑移量的微分方程為

S″+αS=βM′。 （7）

簡支梁在均布及集中荷載下的彎矩為多項式，當(dāng)M為n次多項式時，求解式（7）可得

S（x）=C1e^αx+C2e^-αx+Qn-1（x）。 （8）

為表達(dá)簡便，令λ=α，γ=-α，則式（8）為

S（x）=C1e^λx+C2e^γx+Qn-1（x）， （9）

C1、C2依據(jù)邊界條件確定，特解Qn-1（x）為n-1次多項式，其系數(shù)由βM′（x）的系數(shù)待定。

將式（9）求導(dǎo)并代入式（2）得附加彎矩M1（x）為

M1（x）=H［λ（C1e^λx-C2e^γx）+Q′n-1（x）］，（10）

其中：H=EcAcy。

重復(fù)以上過程，根據(jù)式（7）、式（9）、式（10），可求得Mn（x）（n≥2）及對應(yīng)的撓度fn。

2.3 簡支梁撓度計算的簡化

對于常見的均布荷載和集中荷載作用下的簡支梁，彎矩M0（x）可統(tǒng)一用二次多項式形式表示，即

M0（x）=ax2+bx+c，

M′0（x）=2ax+b。 （11）

由式（9）得

S0（x）=C1，0e^λx+C2，0e^γx+2βaαx+βbα。（12）

記Sn（x）的通解的系數(shù)為C1，n和C2，n，式（12）中C1，0和C2，0表示M0（x）作用下微分方程解的第1個系數(shù)和第2個系數(shù)。

式（12）求導(dǎo)后代入式（2）可得附加彎矩M1（x），再反向施加M1（x）于組合梁上，得式（7）等式右側(cè)為

βM′1（x）=-βHS″0=-βHα（C1，0e^λx+C2，0e^γx），（13）

其中：負(fù)號表示彎矩方向相反。將式（13）代入式（7）得

S1（x）=C1，1e^λx+C2，1e^γx+xA1e^λx+xB1e^γx，（14）

其中：A1、B1為待定多項式。

同理可得βM′2（x）=-βHS″1（x），由于βM′2（x）與式（13）右側(cè)形似，均為形如Pm（x）e^μx的和，故滑移量統(tǒng)一表示為

Sn（x）=C1，ne^λx+C2，ne^γx+x∑n-1i=0ai，nxie^λx+

x∑n-1i=0bi，nxie^γx， n≥1（15）

取d0，n=C1，n，f0，n=C2，n，di，n=ai-1，n，fi，n=bi-1，n，則式（15）可簡化為

Sn（x）=∑ni=0di，nxie^λx+∑ni=0fi，nxie^γx， （16）

Mn+1（x）=HS′n（x）。 （17）

對應(yīng)于Sn+1的微分方程為

S″n+1+αSn+1=-βM′n+1（x）， （18）

其中：

βM′n+1（x）=βH{∑ni=0［（i+1）（i+2）di+2，n+

2λ（i+1）di+1，n+λ2di，n］xi}e^λx+βH{∑ni=0［（i+1）（i+2）fi+2，n+

2λ（i+1）fi+1，n+λ2fi，n］xi}e^γx，

所有下標(biāo)大于n的系數(shù)不存在，可賦值為零，即

Sn+1（x）=C1，n+1e^λx+C2，n+1e^γx+x∑ni=0ai，n+1xie^λx+

x∑ni=0bi，n+1xie^γx。（19）

Sn+1的特解的多項式系數(shù)為

ai，n+1=βHλ2∑ni=i，j=0（-1）jλjdi，n=βHλ2·

1λ0di，n+1λ1di+1，n+1λ2di+2，n+

（-1）3λ3di+3，n+…+（-1）nλndn，n，

bi，n+1=βHγ2∑n+1i=i，j=0（-1）jγjfi，n=βHγ2·

1γ0fi，n+1γ1fi+1，n+1γ2fi+2，n+

（-1）3γ3fi+3，n+…+（-1）nγnfn，n，（20）

其中：當(dāng)j≤2時，令（-1）j=1。

由式（20）可見，特解的多項式的系數(shù)與等式右側(cè)彎矩多項式的系數(shù)相差一個βHλ2或βHγ2數(shù)量級，再結(jié)合di、di+1與ai-1的關(guān)系，其系數(shù)相差的數(shù)量級為βHα2，其值通常較小，在10^-9～10^-6之間，由此可推知滑移應(yīng)變和各級附加彎矩也相差一個βHα2的數(shù)量級，因此，附加彎矩取M1（x）即可滿足計算精度，從后文算例也可見M2（x）完全可以忽略，故取組合梁的撓度為初始撓度與第一附加撓度之和：

f=f0+f1。 （21）

2.4 簡單工況下的撓度計算

由式（11）表達(dá)的簡支梁在均布荷載作用下的彎矩系數(shù)為

a=-12q，b=12ql，c=0，

在跨中集中荷載作用下

a=0，b=12P，c=0，x≤l2或

a=0，b=-12P，c=12Pl，xgt;l2

將上述系數(shù)代入式（12）并求導(dǎo)，取邊界條件為x=l2，S0=0;x=0，S′0=0，得

C1，0=βα2aγe^γl/2-（al+b）/（e^λl/2+e^γl/2），

C2，0=βα2aλe^λl/2-（al+b）/（e^λl/2+e^γl/2）。（22）

由于荷載對稱，取一半梁進行附加撓度計算，將式（12）求導(dǎo)代入式（2）、式（3），得簡支梁在均布荷載和集中荷載作用下的第一附加撓度統(tǒng)一計算式為

f1=-HEI0βαal24+C1，0λλl2e^λl/2-e^λl/2+1+C2，0γγl2e^γl/2-e^γl/2+1。（23）

3 驗證分析

將本文推導(dǎo)的公式、規(guī)范公式與文獻［16］中的撓度試驗結(jié)果進行比較，結(jié)果如表1所列。表1中第二附加撓度 f2 與第一附加撓度 f1 相差較大，為10^-8數(shù)量級，完全可以忽略。本文公式計算的撓度與試驗數(shù)據(jù)相比誤差不大，比規(guī)范計算的撓度值更接近試驗值，誤差對比如圖3所示?？梢钥闯霰疚墓降挠嬎憔容^高，結(jié)果可靠，且簡單易用。

4 結(jié)論

本文提出了一種簡支鋼-混組合梁撓度計算的新方法——附加剛臂約束法，不同于以往文獻中折減剛度或放大撓度的思路，首次提出了通過增加彎矩的方式處理滑移對撓度的增大影響，研究主要得出以下結(jié)論：

（1） 通過附加剛臂保持截面剛度不變，松開剪力連接件上的剛臂后求得因滑移而損失的截面抵抗矩，反向施加于組合梁上，求得第一附加撓度，重復(fù)此過程，可得撓度為初始撓度與各級附加撓度之和。通過增大彎矩正向求解撓度，考慮了組合梁剛度沿梁長隨彎矩變化的特點，避免了剛度沿梁長一致的誤解，無需反推截面剛度，減小了折減剛度過程中的近似誤差。

（2） 各級附加撓度間相差較大，組合梁撓度簡化為初始撓度與第一附加撓度之和，進而推導(dǎo)了簡支梁在均布荷載和跨中集中荷載下的第一附加撓度統(tǒng)一計算公式，簡單易用。通過與文獻中試驗數(shù)據(jù)及規(guī)范中計算方法的對比可見，其結(jié)果可靠，精度較高。

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Rigid arm constraint method for deflection calculation of simply

supported steel-concrete composite girder

WANG Fuyi1，QIAN Ruolin1，F(xiàn)U Lijun2，WANG Ning^1，3

（1.College of Civil Engineering，Shaanxi Polytechnic Institute，Xianyang 712000，China;

2.Henan Yellow River Expressway Co.，Ltd.，Zhengzhou 450000，China;

3.Xianyang Key Laboratory for Digital City and Geospatial Big Data Technology，Xianyang 712000，China）

Abstract

The main idea for calculating the deflection of steel-concrete composite girder is to reduce the stiffness of the section and then using structural mechanics methods for calculation.However，the stiffness of the composite girder varies along the length of the girder，which contradicts the assumption in structural mechanics that the deflection calculation stiffness is consistent.Therefore，the calculation method has a certain degree of empirical approximation.Assuming that rigid arm constraints are added to the top of the composite girder and shear connectors to maintain the stiffness of the section，the constraints on the shear connectors are released after bending to generate additional bending moments in the rigid arm at the top of the steel girder.Compensation is applied to the composite girder to obtain additional deflection，while generating new additional bending moments.By repeating the above process，the deflection can be obtained as the sum of the initial deflection and all additional deflections，and its value converges.Analysis shows that there is a significant difference between the additional bending moments，so the deflection can be simplified as the sum of the initial deflection and the first additional deflection.The unified calculation formula for the first additional deflection of a simply supported girder under uniformly distributed loads and concentrated loads at the mid span are derived.Compared with literature experimental data and standard calculation methods，the calculation accuracy is high，which is simple and easy to use，and avoids the contradiction of assuming consistency with stiffness.

Key words

Steel-concrete composite girder;Rigid arm constraint;Deflection calculation;Additional deflection

（本文責(zé)編：毛鴻艷）