GeoGebra可視化教學(xué)在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：本文采用案例分析方法，以圓錐曲線和橢圓中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題為例，分析了GeoGebra在解決具體數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)概念，把握解題思路，提升學(xué)生對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的理解，并利用其互動(dòng)性增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力.

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件；圓錐曲線；習(xí)題；幾何

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）03-0047-03

收稿日期：2024-10-25

作者簡(jiǎn)介：姚鵬，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在中等職業(yè)教育中，數(shù)學(xué)教學(xué)通常面臨諸多挑戰(zhàn)，特別是在介紹抽象概念與復(fù)雜理論時(shí)，如何提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與理解能力成為一個(gè)重要問題.GeoGebra作為一種集圖形、代數(shù)、微積分于一體的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，通過(guò)動(dòng)態(tài)可視化工具，學(xué)生可以直觀地看到數(shù)學(xué)公式與理論的圖形表示，提高教學(xué)的互動(dòng)性與學(xué)生的理解深度.在圓錐曲線等高級(jí)數(shù)學(xué)主題的教學(xué)中，GeoGebra的應(yīng)用能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)對(duì)象與運(yùn)算過(guò)程，通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)觀察圖形的變化，可促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握與應(yīng)用^[1].

1 GeoGebra在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.1 GeoGebra軟件的功能及特點(diǎn)

GeoGebra軟件作為一款集幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)、微積分等多功能于一體的數(shù)學(xué)教學(xué)工具，適用于中等職業(yè)教育中的數(shù)學(xué)教學(xué).該軟件能提供動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)建模環(huán)境，使學(xué)生能實(shí)時(shí)看到數(shù)學(xué)對(duì)象與運(yùn)算的圖形表達(dá)，從而直觀理解抽象的數(shù)學(xué)概念.GeoGebra的主要特點(diǎn)包括高度的交互性、靈活性，教師和學(xué)生可通過(guò)簡(jiǎn)單的操作來(lái)創(chuàng)建復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)探索.GeoGebra還支持腳本編程，允許用戶編寫自定義的命令和腳本，進(jìn)一步擴(kuò)展其功能.功能的多樣性與擴(kuò)展性可豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)的靈活性.通過(guò)GeoGebra，教師能設(shè)計(jì)出符合教學(xué)大綱與學(xué)生學(xué)習(xí)需求的個(gè)性化教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生則可通過(guò)互動(dòng)操作加深對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解應(yīng)用，在處理如圓錐曲線這類復(fù)雜幾何問題時(shí)，GeoGebra的視覺化工具顯得十分重要.因此，GeoGebra不僅是一個(gè)軟件工具，更是一種促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)創(chuàng)新的平臺(tái).

1.2 GeoGebra在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)——以圓錐曲線的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題為例

GeoGebra在中職數(shù)學(xué)圓錐曲線的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題教學(xué)中表現(xiàn)出多重優(yōu)勢(shì).

第一，動(dòng)態(tài)可視化功能可促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解.在圓錐曲線教學(xué)中，學(xué)生難以直觀理解拋物線、橢圓、雙曲線等幾何圖形的形成與性質(zhì)，GeoGebra通過(guò)動(dòng)態(tài)演示曲線的形成過(guò)程，使學(xué)生能直觀看到各參數(shù)變化對(duì)圖形的具體影響.

第二，GeoGebra的高級(jí)圖形與計(jì)算工具可為教師提供強(qiáng)大的教學(xué)支持.在圓錐曲線的教學(xué)中，教師可利用GeoGebra精確構(gòu)造、演示復(fù)雜的幾何關(guān)系和代數(shù)運(yùn)算.通過(guò)這種方式，教師不僅能提供形象的教學(xué)內(nèi)容，還能在課堂上實(shí)時(shí)解答學(xué)生關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的疑問，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓錐曲線深層次數(shù)學(xué)理論的理解.

第三，GeoGebra的互動(dòng)性可提供積極的學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探索欲望.學(xué)生可自行操作軟件，通過(guò)改變參數(shù)來(lái)觀察不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這種探索式學(xué)習(xí)方式能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力與主動(dòng)性^[2].實(shí)踐學(xué)習(xí)的方式不僅可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)趣味，還能提升學(xué)生的問題解決能力與創(chuàng)新思維.

2 GeoGebra在圓錐曲線的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題中的教學(xué)實(shí)踐與案例分析2.1 教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容設(shè)計(jì)

在使用GeoGebra軟件進(jìn)行圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容的設(shè)計(jì)旨在提高學(xué)生對(duì)圓錐曲線理論的深刻理解及應(yīng)用能力的培養(yǎng).教學(xué)內(nèi)容不僅包括圓錐曲線的定義和分類，還特別強(qiáng)調(diào)動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的解法與應(yīng)用.通過(guò)GeoGebra的動(dòng)態(tài)可視化工具，學(xué)生能直觀地觀察動(dòng)點(diǎn)在不同參數(shù)條件下的軌跡變化，深入理解圓錐曲線的幾何特性.教學(xué)中還特別設(shè)計(jì)了參數(shù)變化對(duì)軌跡形狀的影響，使學(xué)生能通過(guò)實(shí)際操作理解相關(guān)數(shù)學(xué)原理與解題技巧^[3].通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生不僅可以加深對(duì)圓錐曲線理論的認(rèn)識(shí)，還能提高解決實(shí)際問題的能力，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.2 教學(xué)實(shí)施過(guò)程

在實(shí)施GeoGebra在圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的教學(xué)過(guò)程中，首先由教師引入圓錐曲線的基本定義及分類，明確教學(xué)目標(biāo)與預(yù)期效果.教師可通過(guò)GeoGebra軟件展示不同圓錐曲線的基本形態(tài)，并引導(dǎo)學(xué)生探索通過(guò)改變方程中的參數(shù)來(lái)影響曲線的形狀.例如在討論拋物線時(shí)，教師將演示焦點(diǎn)、準(zhǔn)線如何決定曲線的開口方向和寬窄，學(xué)生通過(guò)調(diào)整相關(guān)參數(shù)，觀察記錄曲線形態(tài)的變化.其次，教師可結(jié)合具體的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，設(shè)計(jì)具體的問題情境，讓學(xué)生在GeoGebra中模擬解決數(shù)學(xué)問題.在解題過(guò)程中，學(xué)生要自行設(shè)定問題參數(shù)，使用GeoGebra繪制出動(dòng)點(diǎn)軌跡，并分析動(dòng)點(diǎn)位置與圓錐曲線性質(zhì)之間的關(guān)系.通過(guò)這一系列操作，學(xué)生能在實(shí)踐中深化對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的理解，增強(qiáng)自身解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的能力.

2.3 教學(xué)案例分析

2.3.1 拋物線中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

習(xí)題1（引導(dǎo)） 設(shè)拋物線y=x²上有一動(dòng)點(diǎn)P，該點(diǎn)從A（1，1）沿拋物線向左平滑移動(dòng)到B（-1，1），要求使用GeoGebra軟件模擬動(dòng)點(diǎn)P的移動(dòng)軌跡，觀察軌跡的特點(diǎn).

解析 啟動(dòng)GeoGebra并設(shè)置視圖，選擇“圖形視圖”工作區(qū)，在輸入欄中鍵入拋物線方程y=x²按回車，自動(dòng)繪制出拋物線.使用“點(diǎn)工具”，在拋物線上分別標(biāo)出點(diǎn)A（-1，1），B（-1，1），創(chuàng)建t的滑塊，設(shè)定范圍從-1到1.然后定義動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²），將該點(diǎn)與滑塊t關(guān)聯(lián)起來(lái).在激活動(dòng)點(diǎn)軌跡中選擇動(dòng)點(diǎn)P，啟用“軌跡”功能，使點(diǎn)P的移動(dòng)軌跡可視化顯示.移動(dòng)滑塊t從1到-1，觀察并記錄點(diǎn)P的軌跡變化.

設(shè)計(jì)意圖 習(xí)題1可引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作GeoGebra軟件來(lái)直觀理解拋物線上動(dòng)點(diǎn)的軌跡與速度變化，從而為接下來(lái)數(shù)學(xué)習(xí)題解題打下基礎(chǔ).

習(xí)題2（實(shí)踐） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-ax-6a與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及線段AB的長(zhǎng)；

（2）若agt;0，且在拋物線上存在點(diǎn)N，使∠ANB=90°，求a取值范圍.

解析 （1）令ax²-ax-6a=0，即a（x-3）（x+2）=0.因?yàn)閍≠0，所以（x-3）（x+2）=0，解得x=3，x=-2.所以AB=5，對(duì)稱軸為x=--a/2a=1/2.

（2）以AB為直徑作⊙H，利用GeoGebra軟件繪制圖1，則該圓的半徑為2/5.當(dāng)∠ANB=90°時(shí)，點(diǎn)N在以AB為直徑的⊙H上.

因?yàn)辄c(diǎn)N為拋物線與⊙H的交點(diǎn)，所以拋物線頂點(diǎn)P在圓上或點(diǎn)P在圓外，所以HP≥5/2.將x=1/2代入y=ax²-ax-6a=-25/4，得HP=25/4.

所以25/4≥5/2，解得a≥2/5.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)GeoGebra軟件實(shí)踐操作，學(xué)生可直觀地發(fā)現(xiàn)并理解拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的位置關(guān)系及對(duì)稱性質(zhì)，從而提升對(duì)拋物線性質(zhì)的理解深度.

2.3.2 橢圓中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

習(xí)題3 點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=25/4的距離的比為常數(shù)4/5，求M的軌跡.

解析 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=25/4的距離，通過(guò)GeoGebra軟件繪制圖2，得點(diǎn)M的軌跡就是集合P=|MF|/d=4/5.可得（x-4）²+y²/|25/4-x|=4/5.

將上式兩邊平方，進(jìn)行化簡(jiǎn)，得x²/25+y²/9=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10，6的橢圓.

習(xí)題4（進(jìn)階） 已知橢圓C：x²/a²+y²/b²=1（agt;bgt;0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且過(guò)點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)P，Q分別在C和直線x=4上，OQ∥AP，M為AP的中點(diǎn)，求證：直線OM與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

解析 設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則M（x₀-2/2，y₀/2）.

利用GeoGebra軟件繪制圖3，直線AP的斜率k=y₀/x₀+2.又OQ∥AP，所以直線OQ的方程為y=y₀/x₀+2x.令x=4，得Q（4，4y₀/x₀+2）.

所以O(shè)M=（x₀-2/2，y₀/2），F(xiàn)Q=（3，4y₀/x₀+2）.

所以O(shè)M·FQ=3（x²₀-4）=4y²₀/2（x₀+2）.（*）

借助GeoGebra軟件，可直觀發(fā)現(xiàn)OM⊥FQ.又點(diǎn)P在C上，所以x²₀/4+y²₀/3=1，即3x²₀+4y²₀=12.

代入（*）可得OM·FQ=0.所以O(shè)M⊥QF.

故直線OM與QF的交點(diǎn)在以O(shè)F為直徑的圓上，且該圓方程為（x-1/2）²+y²=1/4，即直線OM與直線QF的交點(diǎn)在定曲線（x-1/2）²+y²=1/4上.

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究深入探討了GeoGebra軟件在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以實(shí)際教學(xué)案例為例，分析了GeoGebra軟件在解決圓錐曲線和橢圓軌跡問題中的應(yīng)用.GeoGebra軟件的應(yīng)用不僅能夠幫助學(xué)生直觀地理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，還能引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成清晰的解題思維.這種互動(dòng)式和實(shí)踐導(dǎo)向的教學(xué)方法，能有效地提升中職數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，為學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］