數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)概率教學(xué)研究

摘 要：根據(jù)新課改的修訂，數(shù)學(xué)建模思想的融入成為中學(xué)概率教學(xué)研究的重要方法，也是提升學(xué)生素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié).文章在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)概率教學(xué)的研究，對(duì)于融入的案例及過(guò)程，提供了“全概率公式”這個(gè)教學(xué)案例，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維具有重要意義.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；中學(xué)概率教學(xué)；全概率公式

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）03-0065-04

收稿日期：2024-10-25

作者簡(jiǎn)介：汪勇，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

陳哲，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

概率作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，以及中高考中的重要考點(diǎn)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決實(shí)際問(wèn)題的能力具有重要意義.然而，傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往側(cè)重于理論知識(shí)的傳授，學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往會(huì)感到無(wú)從下手.數(shù)學(xué)建模思想的融入為解決這一問(wèn)題提供了新的途徑.

1 數(shù)學(xué)建模思想

1.1 數(shù)學(xué)建模的定義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)^[1].此外，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)具體的活動(dòng)過(guò)程，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.

1.2 數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模思想是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法來(lái)描述、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式和指導(dǎo)理念.其核心在于將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬和預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過(guò)程.數(shù)學(xué)建模思想更加強(qiáng)調(diào)抽象化、量化、邏輯推理等多方面，并且有助于培養(yǎng)人們的問(wèn)題解決能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，使人們能夠更好地理解和應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的各種挑戰(zhàn).

1.3 數(shù)學(xué)建模思想的作用

數(shù)學(xué)建模思想為數(shù)學(xué)建模提供了方向和方法，指導(dǎo)其如何從實(shí)際問(wèn)題中提取關(guān)鍵信息，選擇合適的數(shù)學(xué)工具，建立有效的模型，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋和應(yīng)用.

2 研究意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以用學(xué)科思維特征為指引來(lái)培養(yǎng)學(xué)生.由此可見(jiàn)，在中學(xué)概率教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想是非常重要的.

數(shù)學(xué)建模對(duì)于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)具有非常大的用處.首先，可以鍛煉學(xué)生的抽象概括能力，即學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中對(duì)有效信息進(jìn)行抽象概括，并且用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).其次，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)過(guò)程中鍛煉豐富的想象力與分析問(wèn)題的能力.數(shù)學(xué)建模不僅能夠樹(shù)立學(xué)生的創(chuàng)新精神，還可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.最后，還可以培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作能力以及彼此之間的溝通協(xié)調(diào)能力，提高學(xué)生的語(yǔ)言組織和表達(dá)能力，使其溫故知新，更好地掌握學(xué)科的基礎(chǔ)理論知識(shí).

3 知識(shí)邏輯

高中階段全概率公式的知識(shí)邏輯主要包括以下幾個(gè)方面：

首先，需要理解基本的概率概念，如隨機(jī)事件、樣本空間、概率的定義和性質(zhì)等.在此基礎(chǔ)上，引入條件概率的概念，即已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率.

然后，通過(guò)具體的問(wèn)題情境引出全概率公式.全概率公式的核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的事件分解為多個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件，并利用條件概率和這些簡(jiǎn)單事件的概率來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件的概率.

具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)事件B要發(fā)生，而導(dǎo)致B發(fā)生的原因有多個(gè)互斥的事件A₁，A₂，…，A_n.則事件B發(fā)生的概率就可以表示為P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

在實(shí)際應(yīng)用中，關(guān)鍵在于正確確定導(dǎo)致目標(biāo)事件發(fā)生的各個(gè)事件，并準(zhǔn)確計(jì)算出每個(gè)事件的概率以及在該事件發(fā)生條件下目標(biāo)事件發(fā)生的條件概率.

總之，高中全概率公式的知識(shí)邏輯是從基礎(chǔ)概率概念出發(fā)，逐步引入條件概率，最終導(dǎo)出全概率公式，并通過(guò)實(shí)際應(yīng)用加深理解.

4 數(shù)學(xué)建模思想融入全概率公式的教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1 課題信息

課題名稱(chēng) 全概率公式.

課題時(shí)長(zhǎng) 1課時(shí).

教材分析 選自人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)全概率公式.

4.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解全概率公式的形式并掌握全概率公式解決問(wèn)題;

（2）通過(guò)對(duì)全概率公式的理解，發(fā)掘?qū)W生自身分析解決問(wèn)題的潛能;

（3）探究全概率公式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，提高學(xué)生探索觀察的能力.

4.3 核心素養(yǎng)

（1）數(shù)學(xué)抽象：從生活實(shí)際情境中抽象出全概率公式的概念；

（2）邏輯推理：從特殊到一般；

（3）數(shù)學(xué)運(yùn)算：能夠運(yùn)用全概率公式計(jì)算概率；

（4）數(shù)學(xué)建模：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)概率模型，培養(yǎng)學(xué)生搭建模型的能力.

4.4 教學(xué)重難點(diǎn)和教學(xué)方法

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用全概率公式計(jì)算概率；

教學(xué)難點(diǎn)：理解全概率公式；

教學(xué)方法：講授法、合作探究法、練習(xí)法.

4.5 教學(xué)過(guò)程

4.5.1 回顧舊知

師：法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)：“對(duì)于生活中的大部分，最重要的問(wèn)題實(shí)際上只是概率問(wèn)題.”在上節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么是條件概率，即在“已知事件B發(fā)生”的附加條件下，求A發(fā)生的概率，記作P（A|B），于是有P（A|B）=P（AB）/P（B）.

在條件概率的學(xué)習(xí)延伸中，我們又學(xué)習(xí)了概率的加法和乘法公式.本節(jié)課在此基礎(chǔ)上，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)復(fù)雜概率的求解問(wèn)題.

4.5.2 問(wèn)題引入

例1 某班級(jí)去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，需要買(mǎi)10本一捆的書(shū)，他的買(mǎi)書(shū)方法是從10本中隨機(jī)抽出3本，若這3本書(shū)都是全新的，他才買(mǎi)下這一捆．假定含有4本破損的捆數(shù)占30%，而其余捆中各有1本破損書(shū)籍，求該班級(jí)沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)的概率．

解析 設(shè)取到的是含有4本破損的捆為事件A₁，取到的是含有1本破損的捆為事件A₂，該班沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)為事件B，則B=A₁B+A₂B，且A₁B與A₂B互斥，P（A₁）=0.3，P（A₂）=0.7，P（B|A₁）=1-1/6=5/6，P（B|A₂）=1-7/10=3/10，利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（B）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）

=0.3×5/6+0.7×3/10=23/50.

例2 假設(shè)一個(gè)袋子里有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球.每次都從袋子里隨機(jī)拿出一個(gè)球，但不放回去.顯然第一次拿到紅球的概率為a/a+b，那第二次拿到紅球的概率是多少？這該怎樣計(jì)算呢？

這個(gè)事件可以用按初次拿到（紅球或黑球）（即用R_i表示事件“第i次拿到紅球”；B_i表示事件“第i次拿到黑球”，i=1，2.）的結(jié)果表示為這兩個(gè)互斥事件的并，用R₂表示，即R₂=R₁R₂∪B₁R₂.利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（R₂）=P（R₁R₂）+P（B₁R₂）

=P（R₁）P（R₂|R₁）+P（B₁）P（R₂|B₁）

=a/a+b×a-1/a+b-1+b/a+b×a/a+b-1

=a/a+b.

師：通過(guò)上面兩個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，它們的解題過(guò)程都是先將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并，然后用概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率^[2].

4.5.3 概念深化

全概率公式：一般地，設(shè)A₁，A₂，…，A_n是一組兩兩互斥的事件，A₁∪A₂∪…∪A_n=Ω，且P（A_i）gt;0，i=1，2，…，n.則對(duì)任意的事件BΩ，有P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

4.5.4 活動(dòng)探究

師：同學(xué)們，看老師今天帶來(lái)的這個(gè)箱子，箱子里總共有30個(gè)球，其中有18個(gè)黑球，有12個(gè)紅球.每個(gè)人都有兩次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，抽完第一次的球拿出來(lái)后，繼續(xù)抽第二次，當(dāng)同學(xué)們第二次抽出來(lái)的為紅球即為中獎(jiǎng).有沒(méi)有同學(xué)想要第一個(gè)上來(lái)抽獎(jiǎng)？

師：中了獎(jiǎng)的同學(xué)請(qǐng)舉手，同學(xué)們看看有多少人中獎(jiǎng)了.既然有的同學(xué)中獎(jiǎng)了有的同學(xué)沒(méi)有中獎(jiǎng)，同學(xué)們能算出中獎(jiǎng)的概率嗎？

經(jīng)過(guò)同學(xué)們的思考與討論，得到A₁=｛第一次抽出黑球｝=0.6，A₂=｛第一次抽出紅球｝=0.4，B={第二次抽出紅球｝.當(dāng)大部分同學(xué)提出了等量關(guān)系與解題方法時(shí)，教師再根據(jù)題目列出等量關(guān)系式：

P（A₁）=0.6，P（A₂）=0.4，A₁∪A₂=Ω且A₁，A₂互斥.

所以P（A₁）=6/10，P（A₂）=4/10，P（B|A₁）=5/9，P（B|A₂）=6/9.

因?yàn)锽=BA₁+BA₂，所以P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）=6/10×5/9+4/10×6/9=0.6

4.5.5 例題鞏固

例題 某工廠有4條流水線(xiàn)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這4條流水線(xiàn)的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，它們的產(chǎn)品不合格率依次為0.05，0.04，0.03和0.02.現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，問(wèn)恰好抽到不合格品的概率為多少？

解析 A_i={任取一件，恰好抽到不合格品}，B_i={任取一件，恰好抽到第i條流水線(xiàn)的產(chǎn)品}（i=1，2，3，4，），由全概率公式得

P（A）=∑4/i=1P（B_i）P（A|B_i）=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+0.35×0.02=0.031 5.

所以恰好抽到不合格品的概率是3.15%.

4.6 設(shè)計(jì)意圖

教師通過(guò)呈現(xiàn)實(shí)際生活中的問(wèn)題抽象出全概率公式，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考并踴躍發(fā)言，展示自身的解題思維過(guò)程；并且通過(guò)活動(dòng)探究，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，建立全概率公式所需的事件集合和概率分布，親身體會(huì)建模的過(guò)程.此過(guò)程不僅培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象能力，還培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

在概率課程中融入數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)建出全概率模型，教師應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生并對(duì)其進(jìn)行分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，最后求解模型與驗(yàn)證.當(dāng)然，此過(guò)程也可以進(jìn)行拓展與創(chuàng)新，教師可以給出一些變化的條件或類(lèi)似的實(shí)際情境，讓學(xué)生自己嘗試建立全概率模型并求解，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力.

4.7 課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié).總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)，建模過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和技巧，以及遇到的困難和解決方法，等等.

4.8 課后練習(xí)

鎮(zhèn)上有A，B兩家銀行，小明分別去兩家銀行存錢(qián).小明第一天隨機(jī)在某一家銀行存錢(qián)，如果小明第一天在A銀行存錢(qián)，則第二天在A銀行存錢(qián)的概率為0.6；如果小明第一天在B銀行存錢(qián)，則第二天在A銀行存錢(qián)的概率為0.8.求小明第二天在B銀行存錢(qián)的概率是多少？

5 教學(xué)策略

5.1 改編數(shù)學(xué)教材習(xí)題

在中學(xué)課本中，教師可通過(guò)對(duì)教材習(xí)題的改編，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想，將枯燥的數(shù)學(xué)習(xí)題結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行重新編撰，從而達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的作用.另外，改編的習(xí)題要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，還要能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程.

5.2 從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，用建立數(shù)學(xué)模型的方法我們可以解決生活中的許多問(wèn)題，比如面積問(wèn)題、中獎(jiǎng)概率問(wèn)題、盈利問(wèn)題等.教師結(jié)合與生活息息相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，并加以引導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力不僅可以大大地提高，而且還能夠增強(qiáng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

5.3 教師專(zhuān)業(yè)知識(shí)的發(fā)展

其一，教師要不斷探索，與社會(huì)一起進(jìn)步，逐步地發(fā)掘生活中有關(guān)數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題，提出數(shù)學(xué)建模思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不能只專(zhuān)注于基本概念與理論知識(shí)的傳授，還要學(xué)會(huì)“授之以漁”.其二，教師要學(xué)會(huì)多實(shí)踐，不能只是嘴上說(shuō)說(shuō)而不去實(shí)踐探索.只有教師自己對(duì)于各種數(shù)學(xué)建模類(lèi)型的題目熟練掌握，才能在教學(xué)中更好地傳授學(xué)生建模知識(shí)，幫助學(xué)生更好地樹(shù)立數(shù)學(xué)建模思想.

6 學(xué)習(xí)策略

6.1 培養(yǎng)閱讀能力與表達(dá)能力

有很多原因會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面感到吃力，閱讀能力薄弱就是其中一個(gè).這就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中多讀多練，在做數(shù)學(xué)題時(shí)多觀察題干要求，把題干中的條件與條件串聯(lián)起來(lái)，分析各種變量之間的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的表達(dá)轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)思想.強(qiáng)大的閱讀能力會(huì)幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).另外，還需要增強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)能力，通過(guò)語(yǔ)言闡述自己的解題思路，合理地在表達(dá)中運(yùn)用專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ).

6.2 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力還不夠優(yōu)秀，在尋求實(shí)際應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系時(shí)會(huì)感到困難.要想提升數(shù)據(jù)分析能力，最好的方式就是提取出問(wèn)題的基本框架和本質(zhì)關(guān)系，建立框架圖，再解決問(wèn)題.

7 結(jié)束語(yǔ)

盡管數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確地提出了在中學(xué)課程教學(xué)中要做到學(xué)與用的相互結(jié)合，還要提高探究活動(dòng)學(xué)習(xí)的頻率和數(shù)學(xué)建模思想.但是在實(shí)際學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生也能夠明顯地感受到這些要求并沒(méi)有得到很好的重視.因此，本文在研究中學(xué)概率教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想時(shí)，一直秉持著科學(xué)性以及合理性的要求，通過(guò)查閱資料文獻(xiàn)幫助教師更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，并以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體、教師為主要引導(dǎo)者來(lái)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］" 沈健.突出素養(yǎng)本位聚焦學(xué)科育人：以“全概率公式”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2024（01）：1-3，7.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］