“一題一課”助力高效復(fù)習(xí)

摘 要：“一題一課”是對(duì)一個(gè)題干進(jìn)行多層次全方位的挖掘，這種課型要求教師具有較高的編題變式的能力.本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)給出一個(gè)抽象函數(shù)題干，經(jīng)過對(duì)一道題干深度挖掘后，最后“留白”讓學(xué)生自主探索，幫助學(xué)生構(gòu)建完整知識(shí)體系和培養(yǎng)高階思維.

關(guān)鍵詞：一題一課；抽象函數(shù)；課堂留白

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）03-0002-03

收稿日期：2024-10-25

作者簡(jiǎn)介：尹曉融，二級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

函數(shù)是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線，其抽象性讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感到困難，尤其是抽象函數(shù).抽象函數(shù)的性質(zhì)通常是利用符號(hào)運(yùn)算或代數(shù)方法來推導(dǎo)和證明的，教師講了不少抽象函數(shù)的題目，但學(xué)生遇到新題甚至舊題重做時(shí)，還是畏懼不知從何下手.究其原因，首先，學(xué)生沒有掌握對(duì)于函數(shù)的一般處理方法，沒有內(nèi)化教師的講解，所以他們的思維水平仍然停留在原有層次；其次，教師是遇到一題講一題，學(xué)生接收到的知識(shí)是碎片化的，沒有形成完整體系.為了系統(tǒng)地幫助學(xué)生學(xué)好抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，下面以“抽象函數(shù)的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)微專題”為例，探究如何通過“一題一課”模式進(jìn)行教學(xué).

1 一題一課

波利亞曾說：“一個(gè)專心的、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面.使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，我們可以深挖一道典型試題，通過拾級(jí)而上的設(shè)計(jì)和適時(shí)適度的引導(dǎo)，不斷地把學(xué)生的思維引向深入^[1].

“一題一課”模式就是對(duì)一道題或一個(gè)材料進(jìn)行深入研究，認(rèn)真琢磨其本質(zhì)，通過縱橫聯(lián)系，將孤立問題“串”起來；通過課外拓展，讓學(xué)生思維“飛”起來^[2].從學(xué)生的具體情況出發(fā)，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，使得一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)可以達(dá)成多維目標(biāo)的過程^[3].

2 課堂留白

數(shù)學(xué)課堂留白，指數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)的某些環(huán)節(jié)中，有意留出一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生自主思考、感悟，為學(xué)生構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從事數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解提供機(jī)會(huì).現(xiàn)在的課堂中，教師“一言堂”“滿堂灌”的情況不在少數(shù)，從頭講到尾的情況居多，不給學(xué)生思考喘息的時(shí)間，導(dǎo)致一些學(xué)生前面還沒有聽懂，教師已經(jīng)講到了后面，落下的越來越多.課堂中適當(dāng)?shù)亓舭?，給學(xué)生消化的時(shí)間，保證大部分學(xué)生能及時(shí)跟上教師進(jìn)度，同時(shí)對(duì)有點(diǎn)難度的問題，能讓學(xué)生充分地深度思考，更易產(chǎn)生思維火花，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率.

3 教學(xué)案例

本節(jié)課是在高一學(xué)生學(xué)完函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性兩大性質(zhì)后進(jìn)行的，故暫不涉及周期性和對(duì)稱性拓展.

題目 已知函數(shù)y=f（x），x∈R，且對(duì)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）gt;0.

（1）求f（0）的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；

（3）證明：當(dāng)xlt;0時(shí)，f（x）lt;0；

（4）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；

（5）若f（-1）=-2，求f（x）在［-2，1］上的值域；求在［-2，3/2］上的值域；

（6）你能把題干中的f（x+y）=f（x）+f（y）稍微變一變，看有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

本題題干簡(jiǎn)潔，綜合考查了抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、求值，同時(shí)考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、割補(bǔ)等思想方法，對(duì)學(xué)生的推理能力、創(chuàng)造能力要求較高，難度較大.在高考復(fù)習(xí)階段，筆者以本題為載體，通過設(shè)計(jì)層次性、開放性、拓展性的問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，發(fā)展其核心素養(yǎng).

教師：抽象函數(shù)是沒有具體表達(dá)式或具體值的一類函數(shù)，平時(shí)同學(xué)們遇到它們時(shí)常感到害怕，無從下手，今天我們就一起來研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，看看它們到底有什么神秘之處，請(qǐng)同學(xué)們先來思考這道例題.

學(xué)生1：對(duì)于第（1）問，可以令x=y=0，得f（0）=0.

學(xué)生2：還可以令y=0，得f（x）=f（x）+f（0），故f（0）=0.

教師：我們這兩位同學(xué)求函數(shù)值用的是——（放慢語(yǔ)氣，留給學(xué)生回答）賦值法，我們常用的賦值有0，±1.

學(xué)生3：對(duì)于第（2）問，由于定義域?yàn)镽，故對(duì)于x∈R，都有-x∈R.

令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）.由（1），得f（x）+f（-x）=0.即f（-x）=-f（x）.故f（x）為奇函數(shù).

教師：很好！這位同學(xué)的證明可以說是滴水不漏，找奇偶性先考慮了定義域，再尋找f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，這里它也是賦值法，巧用了第（1）問的f（0）=0.

學(xué)生4：第（3）問中，題干中已經(jīng)有xgt;0時(shí)，f（x）gt;0，所以設(shè)xlt;0，此時(shí)-xgt;0，則f（-x）gt;0.

由f（x）在R上為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x）.

所以f（x）=-f（-x）.即當(dāng)xlt;0時(shí)，f（x）lt;0.

教師：這位同學(xué)回答得非常棒！這也是一道證明題，要證什么就設(shè)什么，再往已知上靠，進(jìn)而基于第（2）問奇函數(shù)的基礎(chǔ)使用函數(shù)性質(zhì)證明.接下來的第（4）問有部分同學(xué)在變形判定符號(hào)時(shí)遇到了困難，我請(qǐng)三位做出來的同學(xué)先來展示講解一下.

學(xué)生5：我用的是拆項(xiàng)變形.

任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，

f（x₁）-f（x₂）=f［（x₁-x₂）+x₂］-f（x₂）

=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）

=f（x₁-x₂）.

因?yàn)閤₁lt;x₂，所以x₁-x₂lt;0.由（3）當(dāng)xlt;0時(shí)，f（x）lt;0.所以f（x₁-x₂）lt;0.即f（x₁）lt;f（x₂）.即f（x）在R上為增函數(shù).

學(xué)生6：我用的是奇函數(shù)性質(zhì)變形處理.

任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，

f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）.

下同學(xué)生5.

學(xué)生7：我是由題干中的式子直接變形的.

由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x+y）-f（y）=f（x）.任取x₁，x₂∈R，且x₁lt;x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）.下同學(xué)生5.

教師：這三位同學(xué)已經(jīng)把我的臺(tái)詞說完了！我們?cè)僖黄饋砜偨Y(jié)一下，本小問考查單調(diào)性證明，常規(guī)步驟后，難點(diǎn)在于變形判定符號(hào)，這里給出了三種解法，解法1的變形是通過拆項(xiàng)；解法2的變形是通過奇偶性把減法變成加法，正好對(duì)應(yīng)題干中的條件；解法3的出發(fā)點(diǎn)是直接將題干中的式子移項(xiàng)變形，找到一般規(guī)律，最終化為單個(gè)式子后根據(jù)第（3）問的結(jié)論判定符號(hào).如果沒有第（3）問的證明，在設(shè)定了x₁lt;x₂后遇到f（x₁-x₂）的符號(hào)判定該如何處理？

學(xué)生8：可以把前面設(shè)定的x₁lt;x₂改成x₁gt;x₂，再由題干中xgt;0，f（x）gt;0來判定符號(hào).

教師：很聰明！接下來還有兩問，請(qǐng)大家思考.

學(xué)生9：第（5）問因?yàn)閒（x）在R上為奇函數(shù)，所以f（1）=-f（-1）=2.令x=y=-1，則f（-2）=f（-1）+f（-1）=-4.因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞增，所以f（x）在［-2，1］上的值域?yàn)椋踗（-2），f（1）］.即［-4，2］.

教師：完成得很好！把-2拆成兩個(gè)-1相加.那［-2，3/2］上的值域又該如何處理呢？

學(xué)生10：令x=y=1/2，則2=f（1）=f（1/2+1/2）=f（1/2）+f（1/2）.則f（1/2）=1.

所以f（1/2+1）=f（1/2）+f（1）=1+2=3.

因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞增，所以f（x）在［-2，3/2］上的值域?yàn)椋踗（-2），f（3/2）］.即［-4，3］.

學(xué)生11：我猜測(cè)這道題的f（x）是一次函數(shù)，我用f（x）=2x，帶進(jìn)去求得的結(jié)果跟他們倆一樣.

教師：你的眼光非常好！你是怎么得到一定是一次函數(shù)而且f（x）=2x的呢？

學(xué)生11：我就用學(xué)過的幾個(gè)函數(shù)模型往里面套，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)正好符合，設(shè)f（x）=kx+b，由題干f（x+y）=f（x）+f（y）得到b=0，再代入數(shù)據(jù)得到k=2.

教師：答案是正確的，但作為解答題我們這樣作答是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，甚至有同學(xué)感覺是碰巧的，客觀題我們可以這樣快速得到答案，解答題這樣做不妥.

這道題的模型的確是一次函數(shù)，我們還有其他的基本初等函數(shù)，能不能仿照題目中的f（x+y）=f（x）+f（y），寫出表示其他你所熟悉的基本初等函數(shù)的抽象函數(shù)表達(dá)式？

學(xué)生12：我們組給出的是指數(shù)函數(shù)模型，f（x+y）=f（x）·f（y），

教師：你們是怎么想到的呢？

學(xué)生12：兩個(gè)同底指數(shù)式只能相乘，所以我們先寫出a^x·a^y=a^x+y，再將f（x）=a^x代入，所以得到f（x）·f（y）=f（x+y），反過來就是上面的式子.

學(xué)生13：我們組的方法跟他們一樣，不過我們用的是對(duì)數(shù)函數(shù)模型，根據(jù)對(duì)數(shù)的加法運(yùn)算法則，log_a（xy）=log_ax+log_ay，所以我們得到的式子是f（xy）=f（x）+f（y）.

學(xué)生14：我們組得到是f（xy）=f（x）·f（y），這是一個(gè)冪函數(shù)模型，比如我們?nèi)（x）=x^α，那么f（x）·f（y）=x^α·y^α=（xy）^α=f（xy）.

教師：剛才我們涉及的運(yùn)算都是加法和乘法，減法和除法是不是也是由加法乘法得來的呢？這樣我們又可以得到更多的式子，當(dāng)然它們跟前面的模型還是一樣的.

4 結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課從常見的抽象函數(shù)f（x+y）=f（x）+f（y）出發(fā)，全面考查分類討論、類比、歸納等思想方法，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、推理能力、創(chuàng)造能力有較高要求，難度較大.在本節(jié)課中，筆者通過設(shè)計(jì)層次性、拓展性、開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，發(fā)展其核心素養(yǎng).教學(xué)過程一直注重“放手等待”，給學(xué)生提供思考的“空白時(shí)間帶”，則可以調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性與積極性.在教師提問后沒有立即讓學(xué)生回答，而是等待學(xué)生思考，以便其清晰完整地表達(dá)出自己的觀點(diǎn)；在其他同學(xué)有新的思路時(shí)，不讓學(xué)生直接展示，而是提出方向先給其他學(xué)生時(shí)間思考，想不出來再進(jìn)行點(diǎn)撥，最后進(jìn)行展示.學(xué)生經(jīng)過探究學(xué)習(xí)后形成的觀點(diǎn)要及時(shí)分享，教師才能更恰當(dāng)?shù)貙?shí)施評(píng)價(jià)與指導(dǎo).最后的留白設(shè)置讓學(xué)生自主探尋更多的抽象函數(shù)模型，在探尋一般規(guī)律的過程中，類比具體函數(shù)的性質(zhì)特征，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維上的突破，學(xué)生的思維再次得到鞏固和發(fā)展，同時(shí)幫助學(xué)生克服心理上的恐懼，找到對(duì)抽象函數(shù)學(xué)習(xí)的信心.

參考文獻(xiàn)：

[1] 滕好波.開展“一題一課”提升復(fù)習(xí)質(zhì)量：以一道中考?jí)狠S題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（18）：31-33.

[2] 陳秋月.一題一課攻克難點(diǎn)：以一道高考題為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（12）：31-32，43.

[3] 張文海.“一題一課”：讓高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)走向素養(yǎng)落實(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（07）：30-34.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］