角動(dòng)量守恒的儀器設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

摘""要：角動(dòng)量守恒定律是自然界中普遍適用的基本原理。但因角動(dòng)量的概念較為抽象，學(xué)生對(duì)角動(dòng)量守恒定律的學(xué)習(xí)與理解較為困難。為進(jìn)一步明晰該定律，設(shè)計(jì)了一種可用于定量驗(yàn)證角動(dòng)量守恒的便攜儀器裝置。該裝置通過改變物體質(zhì)量、物體到中心轉(zhuǎn)軸的距離等變量，定量探究轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的改變對(duì)角速度的影響，并驗(yàn)證角動(dòng)量守恒定律。

關(guān)鍵詞：角動(dòng)量守恒"定量"便攜儀器"角速度

Instrumental"Design"and"Verification"of"Conservation"of"Angular"Momentum

LU"Jingtong"LIN"Xulan"CHEN"Yanping"ZHENG"Xuying"HONG"Jinquan*

College"of"Physics"and"Electronic"Information"Engineering，"Minjiang"University，"Fuzhou，"Fujian"Province，"350121"China

Abstract："The"Law"of"Conservation"of"Angular"Momentum"is"a"fundamental"principle"that"is"universally"applicable"in"nature."However，"due"to"the"abstract"concept"of"angular"momentum，"it"is"difficult"for"students"to"learn"and"understand"the"Law"of"Conservation"of"Angular"Momentum."In"order"to"further"clarify"the"law，"this"paper"designs"a"portable"instrument"device"that"can"be"used"to"quantitatively"verify"the"Conservation"of"Angular"Momentum."By"changing"the"massnbsp;of"the"object"and"the"distance"from"the"object"to"the"central"axis，"the"device"can"quantitatively"investigate"the"effect"of"the"change"in"the"moment"of"inertia"on"the"angular"velocity"and"verify"the"Law"of"Conservation"of"Angular"Momentum.

Key"Words："Conservation"of"Angular"Momentum;"Quantification;"Portable"instruments;"Angular"velocity

角動(dòng)量守恒定律作為自然界普遍適用的基本原理，揭示了質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的守恒性，是大學(xué)物理課程中重要的物理定律[1]。然而，角動(dòng)量守恒定律的理論深度和抽象性導(dǎo)致學(xué)生不易理解[2]。因此，若在課堂中采用演示裝置對(duì)其動(dòng)態(tài)性與系統(tǒng)性進(jìn)行可視化展示，將顯著增強(qiáng)學(xué)生對(duì)該定律的直觀理解和感性認(rèn)識(shí)[3]。目前，用于展示守恒定律的教具，如手拉式伸縮演示儀、茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅等演示器，裝置笨重，安全性低，且市面上又少有多變量定量分析演示角動(dòng)量守恒的實(shí)驗(yàn)裝置[4]。為改進(jìn)此不足，根據(jù)角動(dòng)量守恒原理，設(shè)計(jì)并自制了一種用于定量驗(yàn)證角動(dòng)量守恒的新型實(shí)驗(yàn)裝置。該裝置可靈活調(diào)整物體的質(zhì)量和物體到中心轉(zhuǎn)軸的距離，通過測(cè)量系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)周期，以量化數(shù)據(jù)驗(yàn)證在不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量條件下角動(dòng)量守恒，提升了實(shí)驗(yàn)的精確性和可靠性[5]。本實(shí)驗(yàn)裝置操作簡(jiǎn)便，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)直觀，有助于學(xué)生知識(shí)內(nèi)化，并提升實(shí)驗(yàn)的實(shí)操能力[6]。

1實(shí)驗(yàn)原理

1.1相關(guān)物理概念

1.1.1"角動(dòng)量

角動(dòng)量是與物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的物理量，其度量了物體在旋轉(zhuǎn)時(shí)具有的動(dòng)量。對(duì)于繞定軸旋轉(zhuǎn)的物體，角動(dòng)量可以表示為

式（1）中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（依賴物體質(zhì)量分布和所選旋轉(zhuǎn)軸）；ω為角速度。

1.1.2"角動(dòng)量定理

描述物體角動(dòng)量變化與其所受外力矩之間的關(guān)系。

其微分形式為

式（2）表示物體角動(dòng)量的瞬時(shí)變化率等于作用在物體上的合外力矩。

1.1.3角動(dòng)量守恒

當(dāng)不受外力矩時(shí)，物體的角動(dòng)量將保持不變，稱為角動(dòng)量守恒。本文主要探究在共軸非剛體系下的角動(dòng)量守恒：在兩個(gè)物體繞同軸旋轉(zhuǎn)且系統(tǒng)受到合力外力矩矢量合為零時(shí)，系統(tǒng)的總角動(dòng)量將保持不變。

1.1.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，可以表示為

由式（3）可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，不僅取決于物體的總質(zhì)量，還與其質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置等因素有關(guān)。

由角動(dòng)量守恒定律可知：當(dāng)繞固定點(diǎn)或者固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體滿足角動(dòng)量守恒條件時(shí)，J、ω為常量。

1.2實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)裝置主要由轉(zhuǎn)動(dòng)桿、轉(zhuǎn)承座、光電門、周期測(cè)定儀、重物、滑軌等組成，具體裝置整體示意圖如圖1所示。1轉(zhuǎn)動(dòng)桿通過9轉(zhuǎn)承座可繞著10轉(zhuǎn)動(dòng)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。為減小摩擦力的影響，在12上層板與中層板的中軸對(duì)稱位置植入轉(zhuǎn)承座。轉(zhuǎn)動(dòng)桿旋轉(zhuǎn)動(dòng)能來源于2重物對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)桿的撞擊作用。實(shí)驗(yàn)過程中，6周期測(cè)定儀記錄每次轉(zhuǎn)動(dòng)桿通過5光電門的時(shí)間，從而計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)桿的角速度。為確保轉(zhuǎn)動(dòng)桿初始速度（初動(dòng)能）相同，采用3激光筆配合4量尺精確標(biāo)定重物空間下落的起始位置。轉(zhuǎn)動(dòng)桿下置8吊軌（位置可靈活調(diào)整），用于懸掛7物體，以此實(shí)現(xiàn)重物同轉(zhuǎn)動(dòng)桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.3實(shí)驗(yàn)計(jì)算原理

本實(shí)驗(yàn)將采取改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，即改變物體的質(zhì)量和對(duì)轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布（距離），用系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T來反映角速度ω的大小。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量采用平行軸定理計(jì)算，公式為

式（4）中：Jc代表物體對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m代表物體的質(zhì)量；d代表物體運(yùn)動(dòng)所繞的軸與質(zhì)心軸的垂直距離。

實(shí)驗(yàn)中2個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

由于木條也存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因此，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

由角動(dòng)量守恒：（常量）""""""（7）

設(shè)系統(tǒng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，將（8）

帶入式（7）可得："""""""""""""（9）

在改變物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布（距離）實(shí)驗(yàn)中：

在改變物體的質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)中：

式（10）、式（11）均為驗(yàn)證角動(dòng)量守恒定律的實(shí)驗(yàn)公式。

2"實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1測(cè)定不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期

通過改變物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布與物體的質(zhì)量進(jìn)而改變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，測(cè)定了物體與系統(tǒng)中心轉(zhuǎn)軸的距離d分別為0.10"m與0.15"m下物體質(zhì)量m分別為96.45′"kg、193.05′"kg、238.46′"kg所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J分別測(cè)量3次，并計(jì)算得不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下系統(tǒng)的角速度ω與角動(dòng)量L，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果，角速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成負(fù)相關(guān)關(guān)系，即隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期變大，角速度減小；反之，亦然。

2.2驗(yàn)證角動(dòng)量守恒定律與誤差分析

本研究理論上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變前后，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期比應(yīng)等于對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值，因此，繪制轉(zhuǎn)動(dòng)周期之比曲線與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比曲線進(jìn)行比較，驗(yàn)證系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比的變化，實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差也隨之變化，但總體上實(shí)驗(yàn)曲線接近理論曲線，在保證系統(tǒng)所受合外力矩為零的情況下，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)滿足角動(dòng)量守恒。

3結(jié)論

本研究通過自制既可用于課堂演示，又可定量測(cè)量的實(shí)驗(yàn)儀器，驗(yàn)證角動(dòng)量守恒定律。通過改變物體到轉(zhuǎn)軸的距離d和砝碼的質(zhì)量m，研究系統(tǒng)變化前后的角動(dòng)量，驗(yàn)證定量角動(dòng)量守恒定律。當(dāng)然，本實(shí)驗(yàn)裝置旋轉(zhuǎn)時(shí)所受摩擦力矩也無法完全消除，今后可通過儀器改進(jìn)，進(jìn)一步克服摩擦力的影響。

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