二次函數(shù)綜合題過程突破與解法探究

摘要：本文中以2024年江蘇蘇州數(shù)學(xué)中考和2024年四川巴中數(shù)學(xué)中考中部分該類型的題為例，通過對這類題目的深度剖析，深入探究，探討有關(guān)二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的平行及垂直等問題，讓學(xué)生熟知中考熱點(diǎn)題型，明確解題的策略和思路，掌握這類問題的求解策略，不斷提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)；解題策略

對于二次函數(shù)與幾何問題相結(jié)合的壓軸題，要注意根據(jù)題目給出的圖形，觀察題目中的點(diǎn)、線、圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)圖形，適當(dāng)?shù)亟柚o助線找到題目中隱藏的點(diǎn)、線及圖形之間的關(guān)系，分析出圖形之間的幾何性質(zhì)，在解答過程中可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解.當(dāng)然，也要熟練掌握二次函數(shù)表達(dá)式求解方法，同時熟知“開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)”對圖象的影響，學(xué)會根據(jù)的圖形的性質(zhì)，合理求解并運(yùn)用題目中的角度、線段相等或平行，以及直角三角形、矩形等之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立橋梁，找到合理的求解策略，不斷培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.

例1 （2024年江蘇蘇州中考數(shù)學(xué)＼527）如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象C1與開口向下的二次函數(shù)圖象C2均過點(diǎn)A（－1，0），B（3，0）.

（1）求圖象C1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥AD，交圖象C2于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥AD時，求圖象C2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

解析：（1）將A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c中，得1－b+c=0，9+3b+c=0.

解得b=－2，c=－3.

故C1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2－2x－3.

（2）連接DE，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FI⊥ED于點(diǎn)I，過點(diǎn)F作FJ⊥x軸于點(diǎn)J.

因?yàn)镕I⊥ED，F(xiàn)J⊥x軸，ED⊥x軸，

所以四邊形IGJF為矩形，則IF=GJ，IG=FJ.

設(shè)C2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+1）（x－3）（alt;0）.

因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點(diǎn)，

將x=1分別代入y=x2－2x－3，y=a（x+1）＼5（x－3）（alt;0）中，得yD=－4，yE=－4a，則點(diǎn)D（1，－4），E（1，－4a）.

所以DG=4，AG=2，EG=－4a.

故在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG=24=12.

因?yàn)锳F⊥AD，

所以∠FAB+∠DAB=90°.又因?yàn)椤螪AG+∠ADG=90°，所以∠ADG=∠FAB.

所以tan∠FAB=tan∠ADG=FJAJ=12.

設(shè)GJ=m（0lt;mlt;2），則FI=m，AJ=2+m.

所以FJ=2+m2，點(diǎn)Fm+1，2+m2.

因?yàn)镋F∥AD，所以∠FEI=∠ADG.

所以tan∠FEI=tan∠ADG=FIEI=12.

所以EI=2m.

又EG=EI+IG，

即2m+2+m2=－4a，則

a=－2+5m8.①

由點(diǎn)F在C2上，可得a（m+1+1）（m+1－3）=m+22，

即a（m+2）（m－2）=m+22.又m+2≠0，則

a（m－2）=12.②

由①和②，可得－2+5m8（m－2）=12.

解得m1=0（舍去），m2=85.

所以a=－54.

所以C2的函數(shù)表達(dá)式為y=－54（x+1）（x－3），即y=－54x2+52x+154.

例2 （2024年四川巴中數(shù)學(xué)中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在直線BC的上方.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）如圖3，連接AC，PC，AP，AP與BC交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.記△ACG，△PCG，△PGF的面積分別為S1，S2，S3.當(dāng)S3S2+S2S1取得最大值時，求sin∠BCP的值.

解析：（1）由拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），可得

a－b+3=0，9a+3b+3=0.

解得a=－1，b=2.

故拋物線的解析式為y=－x2+2x+3.

（2）因?yàn)镻F∥AC，所以△ACG∽△PFG，則ACPF=AGPG=CGFG.所以S3S2=GFCG=PFAC，S2S1=PGAG=PFAC，從而可得S3S2+S2S1=2PFAC.

作AN∥BC交y軸于點(diǎn)N，作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，如圖4.

因?yàn)橹本€BC的解析式為y=－x+3，AN∥BC，故可設(shè)直線AN的解析式為y=－x+b′.

將點(diǎn)A（－1，0）的坐標(biāo)代入y=－x+b′中，得0=－（－1）+b′，

解得b′=－1，所以直線AN的解析式為y=－x－1.

當(dāng)x=0時，yN=－1，從而可以得到點(diǎn)

N（0，－1），故ON=1，CN=ON+CO=4.

因?yàn)锳N∥BC，PQ∥y軸，

所以∠PQF=∠NCB=∠ANC.因?yàn)镻F∥AC，所以

∠PFC=∠ACF.

又∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，所以∠FPQ=∠ACN.

故△CAN∽△PFQ.

根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可得

PFAC=PQCN.

設(shè)點(diǎn)P（n，－n2+2n+3），則點(diǎn)Q（n，－n+3），

所以PQ=－n2+3n.

所以有S3S2+S2S1=2PFAC=2PQCN=－2n2+6n4=－12＼5n－322+98，則當(dāng)n=32時，S3S2+S2S1有最大值98，

此時點(diǎn)P32，154，Q32，32，從而PQ=154－32=94，CQ=32－02+32－32=322.

因?yàn)?/p>

ON=OA=1，OB=OC=3，所以

∠OBC=∠ANC=45°.

因?yàn)椤螦NC=∠PQF，所以

∠OBC=∠PQF.

因?yàn)?/p>

BC=（3－0）2+（0－3）2=32，AB=4，所以

PQBC=9432=328，CQAB=3224=328，從而可知PQBC=CQAB.

所以，不難得到△CPQ∽△ACB.

根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，可知∠BCP=∠CAB.

又因?yàn)?/p>

AC=（－1－0）2+（0－3）2=10，所以不難求得

sin∠BCP=sin∠CAB=OCAC=310=31010.

二次函數(shù)與平面幾何結(jié)合的綜合題，涉及的知識點(diǎn)比較多，比如二次函數(shù)、平行四邊形、函數(shù)基礎(chǔ)知識，以及平面圖形的幾何性質(zhì)等，難度比較大，往往蘊(yùn)含著方程思想、函數(shù)思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想等，且作為壓軸題形式出現(xiàn)在各地中考試卷中，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間觀念、邏輯推理能力、幾何直觀及創(chuàng)新能力等.因此，在日常學(xué)習(xí)和中考復(fù)習(xí)中，要提高學(xué)生自我構(gòu)建綜合知識網(wǎng)絡(luò)的能力，在頭腦中形成知識框架.在日常訓(xùn)練中，可以結(jié)合專題知識學(xué)習(xí)，練好基本功，提高運(yùn)用所學(xué)習(xí)知識分析問題和解決問題的能力.通過這種日常訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考問題的品質(zhì)及良好的學(xué)習(xí)態(tài)度.