相似壓軸題 “射影”見奇效

摘要：在教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，“射影定理”雖然早已從課本中刪去，但運(yùn)用該定理解決的幾何問題卻時(shí)常出現(xiàn).課本中雖沒有相關(guān)內(nèi)容，而題目卻總是出現(xiàn)，這不得不讓教師對此進(jìn)行額外拓展.如果“射影定理”沒從課本中刪除，那么解題時(shí)很多問題能夠一步到位，這將極大提高學(xué)生的解題能力.本文中介紹了“射影定理”及其應(yīng)用，以此給教師教學(xué)提供一些參考.

關(guān)鍵詞：“射影定理”；相似三角形；證明；一次函數(shù)

為了更大幅度地減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，蘇科版教材中刪除了許多內(nèi)容，如射影定理.然而，筆者從解題和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)如今仍有許多問題是以射影定理為背景的，或者體現(xiàn)了射影定理的應(yīng)用.在指導(dǎo)學(xué)生解決這些問題時(shí)，筆者不禁感嘆：如果射影定理沒有刪，那么“射影定理”可發(fā)揮奇效，有些問題將迎刃而解.這種退出教材而不退出命題的尷尬現(xiàn)象，讓教師的教學(xué)變得非常被動(dòng).指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用射影定理解決問題屬于超綱教學(xué)，因?yàn)榻滩闹鞋F(xiàn)在沒有該知識點(diǎn)，而倘若不利用射影定理解決，其過程將相對復(fù)雜許多[1].因此，教師不得不將之作為課外知識進(jìn)行拓展，在解決選擇題、填空題時(shí)，經(jīng)常利用射影定理引導(dǎo)思路，尋找突破口.

1 引例

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線CD和DE相交于點(diǎn)D（1，2），直線DE的解析式為y=3x-1.如果CD⊥ED，試求直線CD的解析式.

2 解法對比

本題條件比較少，已知一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，一種互相垂直的位置關(guān)系和直線DE的解析式.初看此題，求出直線CD的解析式比較容易.于是，形成了下面三種不同的解題方法：

解法1：因?yàn)橹本€DE的解析式為y=3x-1，易得E的坐標(biāo)為（0，-1），直線DE與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M13，0.過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足為B，A.

由M13，0，可知OM=13.由D（1，2），可知OB=1，BD=2.于是，BM=OB-OM=1-13=23.因?yàn)镃D⊥DE，DB⊥MC，易證得△DBM∽△CBD，所以DBBC=MBDB，即DB2=MB·BC.代入數(shù)值，解得BC=6，則C（7，0）.設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)（1，2）和點(diǎn)（7，0）代入，解得k=－13，b=73.所以，直線CD的解析式為y=－13x+73.

解法2：因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，2），所以DB=2，OB=1.然后，如解法1求出BM=23.根據(jù)射影定理可得22=23BC，所以BC=6，于是點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，0）.再如解法1求出直線CD的解析式為y=－13x+73.

對比兩種解法發(fā)現(xiàn)，解法1先證明兩個(gè)三角形相似，然后得到對應(yīng)邊之比，最后根據(jù)該比求出BC的長.而解法2，不需要證明兩個(gè)三角形相似，直接應(yīng)用射影定理計(jì)算出BC的長.從計(jì)算復(fù)雜程度上看，直接應(yīng)用射影定理更簡單，且出錯(cuò)幾率較小.

3 定理介紹

射影定理和現(xiàn)如今的雙垂直模型非常像.下面介紹其中常用的一組比例關(guān)系：如圖2，△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥A

B，垂足為D.易證得△ACD∽△CBD，于是有CD∶BD=AD∶CD，即CD2=AD·BD.正是射影定理中這個(gè)比例關(guān)系，在解決一些幾何問題時(shí)常被用到.通過分析發(fā)現(xiàn)，該比例關(guān)系是通過證明相似三角形獲得，因此掌握好相似三角形是理解該定理的基礎(chǔ).

其實(shí)，射影定理的證明不僅可利用相似三角形，還可利用勾股定理.我們可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2；在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2.因?yàn)樵赗t△ACB中，AC2+BC2=AB2，所以AD2+CD2+BD2+CD2=AB2.由于AB=AD+BD，所以AD2+CD2+BD2+CD2=（AD+BD）2，于是有AD2+BD2+2CD2=AD2+BD2+2AD·BD，整理后有CD2=AD·BD.所以，勾股定理也是射影定理的基礎(chǔ).

綜上所述，相似三角形和勾股定理與射影定理都有關(guān)，教師可從這兩個(gè)知識點(diǎn)入手向?qū)W生拓展[2].

4 真題展示

（2022·宜昌）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC為直徑的圓O與AB相交于點(diǎn)H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE.

（1）如圖3，DE與圓O相切于點(diǎn)G.

①求證：BE=EG；

②求BE·CD的值.

（2）如圖4所示，延長HO與圓O相交于點(diǎn)K，將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對稱點(diǎn)F′恰好落在射線BK上.

①求證：HK∥EF′；

②若KF′=3，求AC的長.

解析：（1）①由平移可知BE∥AD，又∠ACB=90°，則∠CBE=90°，所以BE也是圓O的切線.又DE是圓O的切線，所以由切線長定理得到BE=EG.

②利用切線長定理，由于AF也是圓O切線，因此CD=DG，所以要求的BE·CD變成了EG·DG.

此時(shí)，不妨連接OD，OG，OE，如圖5.容易證得△BO

E≌△GOE，所以∠BOE=∠GOE.同理∠COD=∠GOD，而∠BOE+∠GOE+∠COD+∠GOD=180°，所以∠DOE=90°.易證得OG⊥DE，根據(jù)“射影定理”得OG2=EG·DG，其中OG=3，所以BE·CD=EG·DG=OG2=9.（我們可看到，這是本題第一次利用“射影定理”.）

（2）①既然題意目有軸對稱，那么可連接FF′.此時(shí)，根據(jù)軸對稱性可得FF′⊥DE.因?yàn)镠K是⊙O直徑，所以∠HBK=90°，即BF′⊥AB.根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥DE，由于BF′⊥AB，F(xiàn)F′⊥DE，經(jīng)過點(diǎn)F′的兩條線段分別和一組平行線垂直，

所以B，F(xiàn)′，F(xiàn)三點(diǎn)共線，如圖6.根據(jù)平移可得BC∥EF，則∠2=∠4.因?yàn)镺B=OK，所以∠1=∠2.根據(jù)軸對稱性質(zhì)，可得∠3=∠4，所以∠1=∠3，于是有∠OKF′=∠EF′K，證得HK∥EF′.

②連接CK，CH，如圖7.根據(jù)軸對稱性質(zhì)可得RF=RF′，于是RF=CH.因?yàn)锽C，HK都是⊙O直徑，所以有矩形BHCK，于是BK=CH.設(shè)CH=BK=RF=RF′=x，在Rt△BCF中，CK恰為其斜邊上的高，因此再度利用“射影定理”，得BC2=BK·BF，則有36=x（3x+3），解得x=3.

在△BOK中，三邊長均為3，所以它是一個(gè)等邊三角形，進(jìn)而可求得∠ABC=30°.最后在Rt△ABC中，求出AC=23.

本題問題層層遞進(jìn)，拾級而上，充滿了人文關(guān)懷.

綜上所述，“射影定理”雖然已從蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中刪除，但通過研究中考真題發(fā)現(xiàn)其在解題中發(fā)揮的功效仍然非常大[3].所以，教師一方面要重視該定理的拓展與延伸，另一方面要選取正確的知識點(diǎn)加以引入，如本文中提到的勾股定理和相似三角形.這樣一來，學(xué)生在遇到中考難題時(shí)局面才會(huì)打開.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉敏.退出教材卻不退出舞臺(tái)——射影定理在初中幾何中的作用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：4-6.

[2]黃德誠.淺談\"雙垂直模型中的射影定理\"在初中幾何解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2018（11）：85.

[3]周春荔.關(guān)于射影定理與勾股定理等價(jià)的思考[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2011（10）：19-20.