如何求非特殊銳角三角函數(shù)值

摘要：在初中階段，求銳角三角函數(shù)值大體有兩種，一種是求特殊銳角的三角函數(shù)值，另一種是非特殊銳角的三角函數(shù)值.前者在教材中已有體現(xiàn)且難度較小，后者尚未體現(xiàn)，但也時?？疾?，且具有一定難度.因此，本文中結(jié)合相關(guān)例題探究非特殊銳角三角函數(shù)值的求法.

關(guān)鍵詞：直角三角形；非特殊；銳角；三角函數(shù)；轉(zhuǎn)化思想

初中階段的學(xué)生只要求掌握特殊角的三角函數(shù)值的求法，對非特殊銳角的三角函數(shù)值的求法并未做要求.但是，在平時練習(xí)或檢測中，一些題目要求非特殊銳角的三角函數(shù)值，這讓數(shù)學(xué)思維本已形成定勢的學(xué)生難以應(yīng)對.基于此，本文中嘗試分析與探究非特殊銳角三角函數(shù)值的求法.

1 疑難呈現(xiàn)

（2018·貴陽）如圖1，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（" ）.

A.12

B.1

C.33

D.3

本題作為一道中考題，難度適中，考查了銳角三角函數(shù).但其中的問題是，∠BAC并非在直角三角形中.

在教材中只涉及到特殊角的銳角三角函數(shù)值的求法，對這類非特殊銳角三角函數(shù)并未介紹[1].因此，對于思路不夠靈活、不具備發(fā)散思維能力的學(xué)生而言，要想解決該題具有較大困難.

2 思路探析

如上題，若學(xué)生遇到非特殊銳角三角函數(shù)這類問題時，該如何解決呢？下面進(jìn)行思路探析.

首先，明確命題意圖.該題的考點(diǎn)是銳角三角函數(shù)，通過本題可考查學(xué)生對該知識點(diǎn)的掌握情況，而且學(xué)生是否能應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題也能在解決該問題中得到體現(xiàn).

其次，明確使用前提.既然考查的是銳角三角函數(shù)，而銳角三角函數(shù)的概念是在直角三角形中提出的，所以和銳角三角函數(shù)有關(guān)的問題通常與直角三角形有關(guān).

最后，找到突破口.既然求tan∠BAC的值與直角三角形有關(guān)，而AB和AC無法構(gòu)造所需的圖形，那么這一矛盾勢必會指引解題者嘗試構(gòu)造一個直角三角形.此時，就不難發(fā)現(xiàn)構(gòu)造直角三角形便可將此題解決.但是，如何才能構(gòu)造出所需的直角三角形呢？筆者提供了兩個思路供學(xué)生參考：

思路一：過點(diǎn)C作AB的垂線.

該思路經(jīng)過學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，原來只需將BC連接（如圖2）即可，因?yàn)榭勺C得∠ABC=90°.如此一來，只需在Rt△ABC中求出tan∠BAC的值.

思路二：過點(diǎn)B作AC的垂線.

該思路經(jīng)過學(xué)生另一番嘗試后發(fā)現(xiàn)，所作垂線與AC的交點(diǎn)不在格點(diǎn)上，所以有關(guān)線段長度的確定難度非常大.

學(xué)生經(jīng)過充分討論，最后采用了如圖2所示的解題方法.具體解題過程如下：

解：連接BC，易證得△ABC是直角三角形.

因?yàn)槊總€小正方形的邊長為1，所以

根據(jù)勾股定理易得AB=BC=5.

所以tan∠BAC=BCAB=55=1.

故選：B.

3 變式多解

求非特殊銳角三角函數(shù)值的方法，除本文上述中的構(gòu)造直角三角形之外，還有利用轉(zhuǎn)化思想，將原本不在直角三角形中的角轉(zhuǎn)換至直角三角形中，這里往往需要證明三角形全等或利用等腰三角形.如下面這道變式題：

如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD.若BC=4，CD=3，則cos∠DCB的值為.

分析：∠DCB不在直角三角形中，所以可將之轉(zhuǎn)換至直角三角形中，再求其余弦值.這樣一來，可過點(diǎn)D構(gòu)造出一個直角三角形.同時，認(rèn)真審題后不難發(fā)現(xiàn)，△BDC是等腰三角形，可利用其性質(zhì)將∠DCB轉(zhuǎn)換至∠B.而∠B在Rt△ABC中，易得其余弦值，于是可間接求出cos∠DCB.

解法一：∵∠ACB=90°，且D為AB邊的中點(diǎn)，

∴AD=BD=CD.

∴∠DCB=∠B.

∵CD=3，

∴AB=2CD=6.

∵BC=4，

∴在Rt△ABC中，cos B=BCAB=23.

∴cos∠DCB=23.

解法二：如圖4所示，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為M.

∵∠ACB=90°，且D為AB邊的中點(diǎn)，

∴AD=BD=CD.

∴△BDC為等腰三角形.

∵DM⊥BC，

∴BM=CM.

∵BC=4，

∴CM=2.

∴在Rt△DMC中，cos∠DCM=MCDC=23.

∴cos∠DCB=23.

4 方法總結(jié)

綜上所述，求非特殊銳角三角函數(shù)值的方法一般有如下兩種.

（1）構(gòu)造直角三角形

這種方法就是將銳角放入某個直角三角形中，直接求出其三角函數(shù)值.如本文的疑難問題及變式題的解法二，都是采用了借助輔助線構(gòu)造直角三角形的方法.

在利用這種方法求非特殊銳角三角函數(shù)值時，應(yīng)注意以下兩個問題：

首先，作輔助線構(gòu)造直角三角形的方法非常多，至于作哪條輔助線可構(gòu)造出所需的直角三角形，則需不斷嘗試.如本文疑難問題的思路二“過點(diǎn)B作AC的垂線”，雖然可構(gòu)造出直角三角形，且∠BAC也在其中，但這樣的直角三角形各邊長度極難確定.所以，在解題時不妨多嘗試幾種作輔助線構(gòu)造直角三角形的方法.

其次，在構(gòu)造出所需的直角三角形后，應(yīng)審清題意，特別要注意邊之比是否正確.

（2）將角轉(zhuǎn)換

這種方法就是將一個角轉(zhuǎn)換至另一個角，轉(zhuǎn)換的方式也非常多，如本文變式題中利用等腰三角形實(shí)現(xiàn)了這一點(diǎn).除此之外，還有以下幾種方法可將角轉(zhuǎn)換：

第一，利用全等.

如果有兩個三角形全等，那么可根據(jù)“對應(yīng)角相等”將角轉(zhuǎn)換.如在證明△ABC≌△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.這種方法需先證明兩個三角形全等，而如何在錯綜復(fù)雜的圖形中找到兩個全等的三角形，對學(xué)生確實(shí)構(gòu)成了不小挑戰(zhàn).

第二，利用平行.

如果兩直線平行，那么同位角相等、內(nèi)錯角相等.所以，可利用平行先得到兩角相等，然后求出其中一個角的三角函數(shù)值，就得到了與之相等的角的三角函數(shù)值.這一方法主要是利用等量代換，需注意的是，切勿將平行線的性質(zhì)和判定定理混用.

第三，利用相似.

如果證明了兩個三角形是相似三角形，那么可利用“對應(yīng)角相等”將角轉(zhuǎn)換.如證明△ABC∽△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.相對而言，尋找全等三角形比較容易，而證明兩個三角形相似比較困難，因?yàn)槿鹊膬蓚€三角形其形狀相同、大小相同，而相似的兩個三角形則大小不同，學(xué)生一般極難區(qū)分.

總之，解決問題的思路往往多種多樣，學(xué)生是否具備靈活解題的能力是教師應(yīng)在課堂教學(xué)中著重關(guān)注的問題.如果能幫助學(xué)生突破思維局限，讓學(xué)生找到更多、更好的解題方法，那么對學(xué)生核心素養(yǎng)的進(jìn)一步形成與發(fā)展將會產(chǎn)生影響[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]王云峰.網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)值的求解策略[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2016（Z1）：91-93.

[2]吳慧琳.網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值方法感悟[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（19）：141.