例析反比例函數(shù)代數(shù)推理中考題

1 根據(jù)k值不變性建立一元二次方程求解

例1 （2023＼5威海）如圖1，若點(diǎn)A，B在坐標(biāo)系的第一象限的反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2）.連接OA，OB，AB.若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為.

分析：由OA＝AB，∠OAB＝90°，構(gòu)造全等三角形，用含有m的式子表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用同一反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)之積相等，列出關(guān)于m的一元二次方程，解出m即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

解：如圖2，過點(diǎn)A作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作y軸的平行線交MA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠MOA+∠MAO＝90°，

∠NAB+∠MAO＝90°.

所以∠MOA＝∠NAB.

又∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB，所以可得

△AMO≌△BNA（AAS）.

所以AM＝NB＝m，MO＝AN＝2.

易知B（m+2，2-m）.

由點(diǎn)A，B都在反比例函數(shù)上，得

2m＝（m+2）（2-m），

解得m1＝-1+5，m2＝-1－5（舍去）.

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1+5，2）.

所以k＝xy＝2（5－1）＝25－2.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的突破口是根據(jù)已知條件構(gòu)造一線三垂直圖形，出現(xiàn)全等三角形，并利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征建立一元二次方程.

2 根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)建立含參方程

例2 （2023＼5安徽）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，y=kx（k≠0）的圖象與y＝-x+b的圖象在第一象限相交，如圖3所示，則函數(shù)y＝x2-bx+k-1的圖象可能為（" ）.

分析：由反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y＝-x+b的圖象，可知k＞0，b＞0，所以二次函數(shù)y＝x2-bx+k-1圖象的對(duì)稱軸為直線x=b2＞0，根據(jù)圖3中兩個(gè)交點(diǎn)為（1，k）和（k，1），可得k-b＝-1，所以函數(shù)y＝x2-bx+k-1的圖象過點(diǎn)（1，-1），不過原點(diǎn)，即可判斷函數(shù)y＝x2-bx+k-1的大致圖象.

解：由于一次函數(shù)y＝-x+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，由于反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k＞0.所以二次函數(shù)y＝x2-bx+k-1圖象的對(duì)稱軸為直線x=b2＞0.

由圖象可知，反比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y＝-x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（1，k）和（k，1），則

-1+b＝k，即k-b＝-1.

所以b＝k+1.

對(duì)于函數(shù)y＝x2-bx+k-1，

當(dāng)x＝1時(shí)，則有y＝1-b+k-1＝-1.

所以函數(shù)y＝x2-bx+k-1的圖象過點(diǎn)（1，-1）.

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=kx與一次函數(shù)y＝-x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以

方程kx=－x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

所以Δ＝b2-4k＝（k+1）2-4k＝（k-1）2＞0，則

k-1≠0.

所以當(dāng)x＝0時(shí)，y＝k-1≠0，

函數(shù)y＝x2-bx+k-1的圖象不過原點(diǎn).

故符合以上條件的只有A選項(xiàng).

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.在解題過程中，要根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的位置、交點(diǎn)坐標(biāo)建立方程，得出參數(shù)之間的等量關(guān)系，利用方程的性質(zhì)求出參數(shù)k≠-1，從而確定所求二次函數(shù)的大致圖象.

3 根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)建立方程組

例3 （2023＼5安徽）如圖4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝2，∠AOB＝30°，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，若y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點(diǎn)C.

（1）k＝；

（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為.

分析：（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CP⊥OA，證得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.（2）分別求出AC與BD的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，分兩種情況討論即可求解.

解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，則

OB=4，OA=23，所以A（23，0），B（23，2）.

由C是OB的中點(diǎn)，可知OC＝BC＝AC＝2.

如圖5，過點(diǎn)C作CP⊥OA于點(diǎn)P，則△OPC≌△APC（HL），所以

OP=AP=12OA=3.

在Rt△OPC中，則有PC=OC2－OP2=4－3=1.

所以C（3，1）.

由y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，得k=3.

（2）易求得直線AC的解析式為y=－33x+2.

由AC∥BD，B（23，2），可得直線BD的解析式為y=－33x+4.

根據(jù)點(diǎn)D既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線BD上，

聯(lián)立y=3x，y=－33x+4，解得x1=23+3，y1=2－3，或x2=23－3，y2=2+3.

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（23+3，2－3）時(shí)，OB2=16，BD2=（23+3－23）2+（2－3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

當(dāng)D的坐標(biāo)為（23－3，2+3）時(shí)，OB2=16，

BD2=（23－3－23）2+（2+3－2）2=9+3＝12，所以

OB2-BD2＝16-12＝4.

綜上，OB2-BD2＝4.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查反比例函數(shù)圖象與幾何圖形結(jié)合產(chǎn)生的性質(zhì)；涉及含30°角的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)知識(shí)等；涉及待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)思想等.

4 根據(jù)新定義建立含參方程組

例4 （2023＼5樂山）定義：若x，y滿足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)M（x，y）為“和諧點(diǎn)”.

（1）若P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，則m＝；

（2）若雙曲線y=kx（-3＜x＜-1）存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為.

分析：（1）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義，建立方程組4m+t=9，12+t=m2，消去t得m2+4m-21＝0，解方程即可.

（2）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義，結(jié)合反比例圖象上的點(diǎn)建立方程組，得x2=4kx+t，k2x2=4x+t，并變形化簡(jiǎn).

解：（1）由P（3，m）是“和諧點(diǎn)”，可得m≠3，且

4m+t=9，12+t=m2，消去t得到m2+4m-21＝0.

解得m＝-7，或m=3（舍去），所以m＝-7.

（2）若雙曲線y=kx（-3＜x＜-1）存在“和諧點(diǎn)”，則有

x2=4kx+t，k2x2=4x+t.

①②

①-②，得x+kxx－kx＝-4x－kx.

所以x－kxx+kx+4＝0.

因?yàn)閤≠y，所以x+kx+4＝0.

整理得

k＝-x2-4x＝-（x+2）2+4.

因?yàn)?3＜x＜-1，所以3＜k≤4.

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問題，考查運(yùn)用新定義將問題情境轉(zhuǎn)化為常見問題與所學(xué)知識(shí)的能力.要運(yùn)用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征建立含參方程組，進(jìn)一步消參化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)取值范圍問題；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.

代數(shù)推理是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新增內(nèi)容，它是推理的重要形式.我們要運(yùn)用代數(shù)表示方法、基本運(yùn)算法則及變形技巧進(jìn)行推理演算得出所求問題的結(jié)果.我們要運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化、分析與綜合、探索與推導(dǎo)等，抓住所求問題的條件與結(jié)論的本質(zhì)特征及內(nèi)在聯(lián)系，要求每一步言之有據(jù)，逐步形成代數(shù)推理中的演繹推理能力.