挖掘“四點共圓”巧手段，探尋中考壓軸突破點

在解題過程中我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)這樣一些問題，題目的背景中根本沒有出現(xiàn)圓的知識，更沒有明確用圓的知識點來解答，但是在解題過程中卻發(fā)現(xiàn)如果利用圓的知識來解答，會讓問題變得非常容易，甚至可以起到畫龍點睛之筆，讓問題輕松化解，甚至還會有意想不到的收獲，可拓展到更深的結(jié)論中.因此正確理解、把握“四點共圓”，對于突破中考壓軸問題有著舉足輕重的妙用.本文中針對“四點共圓”的巧用作簡單的論述.

引例 如圖1，在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點，將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至MD的位置，點D在直線AB外，連接AD，BD.若點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD，DE∥AB.連接CD，求證：BD＝CD.

思路研究：由MA＝MD＝MB，可得∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，再由三角形內(nèi)角和定理得∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°；證四邊形EMBD是平行四邊形，得DE＝BM＝AM；再證四邊形EAMD是平行四邊形，進(jìn)而得平行四邊形EAMD是菱形，則∠BAD＝∠CAD；然后證A，C，D，B四點共圓；最后由圓周角定理得BD＝CD，即可得出結(jié)論.

1 準(zhǔn)確把握“四點共圓”的內(nèi)涵

（1）概念理解.對于“四點共圓”，顧名思義就是在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上所表現(xiàn)的形狀特點，又稱為四個點共圓，簡稱為“四點共圓”.

（2）概念判定.第一種方法：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，即可確定這四點共圓.第二種方法：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或其中一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可確定這四點共圓.

（3）概念性質(zhì).根據(jù)“四點共圓”我們可以對其表現(xiàn)的性質(zhì)歸納為如下三點：其一是共圓的四個點所形成的共底邊的兩個三角形頂角相等；其二是圓上四點形成的四邊形其對角互補；其三則是圓內(nèi)接四邊形的每一個外角等于它的對角.

熟練把握這些簡單的性質(zhì)，我們在遇到三角形或四邊形問題時，可根據(jù)其給定的一些角的特點進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為圓的知識來解題，能起到事半功倍的效果，更是容易確定解題突破口，讓疑難問題得到解答.

2 熟練運用“四點共圓”的特性

2.1 巧用“四點共圓”突破“最值問題”

有時候我們遇到一些問題，給出的一些條件都是涉及角的問題，很難將這些角之間的關(guān)系聯(lián)系起來，或者一些很常見的作圖，看起來似乎沒有明顯的內(nèi)在關(guān)系，但是如果能想到“四點共圓”，就能將它們牢牢把控在一個整體“圓”中，再利用圓的知識來突破，問題就會變得很容易.

例1 如圖2，在正方形ABCD中，E為邊CD的中點，邊BC上有一動點F，連接AE，AF，過點E作EP⊥AF，垂足為P.再以P和B為頂點作矩形PMBN，點M，N分別在AB和BC上，連接MN，AB＝2，試求MN的最小值.

問題突破：如圖3，由條件可知A，D，E，P四點共圓，取AE的中點O，過點O作OG⊥AD于點G，作OH⊥AB于點H，連接OB交⊙O于點P′，連接PB，根據(jù)題意可得四邊形MBNP為矩形，則要求MN的最小值，即求PB的最小值，再根據(jù)兩點之間線段最短得PB+OP≥OB，以此即可求出PB的最小值，從而求得MN的最小值.

2.2 巧用“四點共圓”突破“角度問題”

在求解關(guān)于“角度”的問題中，如果能夠結(jié)合“四點共圓”的知識，將角轉(zhuǎn)化為圓中的某個角，借助圓周角或者圓心角等知識點來處理會讓問題變得極其容易，也是突破角度難題的一個方法.

例2 如圖4，在等腰三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，邊BC上存在一點D（點D不與BC的中點重合），連接AD.將△ADC沿著直線AD折疊，點C的對應(yīng)點記為點E，連接EB并延長交AD的延長線于點F，若AB＝22，通過計算判斷AD＼5AF值的情況.

問題突破：如圖5，連接FC，根據(jù)∠ABC=∠ACB，∠ACB=∠AED，可得A，D，B，E四點共圓，進(jìn)一步可得A，B，F(xiàn)，C四點共圓，得到∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，易得△ABD∽△AFB，則根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得ADAB=ABAF，即AD＼5AF＝AB2=8.

2.3 巧用“四點共圓”突破“路徑問題”

在研究路徑問題時，若出現(xiàn)求路徑長度問題，這就需要我們將特殊角借助“四點共圓”的特性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而將未知角轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)特殊角，這樣借助特殊角求線段長度，動點路徑問題可以迎刃而解.

例3 如圖6，四邊形ABCD是正方形，P是邊AB上的一個動點，連接CP，過點P作PE⊥PC，交AD于點E，再以PE為邊長向正方形ABCD內(nèi)部作小正方形PEFG，點G在線段PC上，連接EG，PF交于點O，點P從點A運動到點B時點O也隨之運動，若AB=6，求點O運動的路徑長.

問題突破：如圖7，連接OA和AC，由四邊形ABCD是正方形，可計算得到AC=62，易得A，P，O，E四點共圓，

在該圓中易知∠OAP=∠OEP=45°，所以在點P的運動過程中，點O始終在正方形ABCD的對角線AC上運動.

當(dāng)點P運動到點B時，O為AC的中點，即可得出答案.

2.4 巧用“四點共圓”突破“實際問題”

在實際應(yīng)用問題的處理中，有時候遇到的問題并不能直接聯(lián)系在一起，但是可以借助問題情境利用“四點共圓”，從而將角的問題轉(zhuǎn)化為弧的問題，再轉(zhuǎn)化為弦的問題，這樣便于解決實際問題中的線段長度.

例4 如圖8，某設(shè)計師在一塊四邊形ABCD形狀的空地上設(shè)計修建兩條交叉的小路AC和BD，這樣就將空地劃分為四部分，兩條小路（寬度忽略不計）交點記為P，如上下兩塊空地△ADP和△BPC單獨種植草坪，另外兩塊三角形空地種植兩種花卉，△ABP種植芍藥，△CDP種植玫瑰，經(jīng)測量，AB＝CD，BD＝150 m，AC＝100 m，∠BAC+∠BDC＝180°，且點C到邊BD的距離是40 m，試求種植玫瑰的△CDP的面積比種植芍藥△ABP的面積多多少平方米？

問題突破：如何運用已知條件∠BAC+∠BDC＝180°是解決問題的關(guān)鍵，由此我們聯(lián)想到四點共圓中的對角互補性質(zhì).如圖9，作點D關(guān)于BC的對稱點E，連接BE，CE，過點C作CG⊥BD于點G，CH⊥BE于點H，過點P作PM⊥BC于點M，則CE＝CD，BE＝BD＝150 m，∠BDC＝∠BEC，∠DBC＝∠EBC.易證A，B，E，C四點共圓，則AB＝CE，進(jìn)而得到∠ACB＝∠CBE，則AC∥BE.再證明BP＝CP，所以四邊形ABEC是等腰梯形，則EH＝12（BE-AC），然后由勾股定理得BC，利用等腰三角形的性質(zhì)得BM＝12BC，進(jìn)而證△BMP∽△BHC，求出CP和BP，則PD＝BD-BP，AP＝AC-CP，即可解決問題.

3 “四點共圓”的反思與感悟

在日常教學(xué)過程中，如何熟練把握“四點共圓”的技巧，關(guān)鍵是考慮運用的條件，這和我們常說的隱圓有著異曲同工之妙，要時刻把握好形成圓的幾個條件，要看角，看弧線，看角與角之間的關(guān)系，看線段與線段之間的關(guān)系.這需要我們?nèi)粘＝虒W(xué)經(jīng)驗的積累，更要有研究問題的習(xí)慣，從而培養(yǎng)對數(shù)學(xué)問題的感知素養(yǎng).在不斷的練習(xí)中提升“知識點”的運用能力，再結(jié)合“隱圓”的特征，注重歸納，提高探究思維的動力，形成“大目標(biāo)、大概念、大問題、大結(jié)構(gòu)”的理念意識，再解決此類問題就不會感到有困難了.

4 結(jié)束語

“四點共圓”問題不僅僅在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到，在今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會經(jīng)常遇到，因此我們不但要把握四點共圓的常見性質(zhì)并積極加以運用，更要在今后的學(xué)習(xí)中不斷深入研究，了解其悠久的歷史淵源和豐富的解題技巧，更深入地探究四點共圓會給我們解題帶來奇妙解法.只有這樣，才能更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究能力，鍛煉學(xué)生的理性思維與核心素養(yǎng).