二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系問題探究

摘要：根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷有關(guān)系數(shù)或代數(shù)式的符號問題，是初中數(shù)學(xué)的重要題型，也是最近幾年中考的熱點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想.這種思想貫穿于數(shù)學(xué)知識之中，在中考中占有重要的地位，判斷二次函數(shù)系數(shù)符號正負(fù)問題要熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)與形之間的的巧妙轉(zhuǎn)換技巧.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)系數(shù)；圖象；解題技巧

1 利用二次函數(shù)系數(shù)符號研究函數(shù)性質(zhì)

對于利用二次函數(shù)的系數(shù)來研究函數(shù)圖象的問題，首先要根據(jù)題意判斷三個系數(shù)的符號，然后將題目中所要研究的有關(guān)對稱軸、函數(shù)值大小等問題等價轉(zhuǎn)化為這三個系數(shù)表示的代數(shù)式，借助系數(shù)符號判斷所要研究的函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)正確與否［1］.

例1 拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，clt;0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點(diǎn)，且n≥3.下列四個結(jié)論正確的是（" ）.

A.blt;0

B.4ac－b2lt;4a

C.當(dāng)n=3時，若點(diǎn)（2，t）在該拋物線上，則tgt;1

D.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有兩個相等的實數(shù)根，則0lt;m≤13

解：圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），由clt;0，知拋物線與y軸的負(fù)半軸有交點(diǎn).如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點(diǎn)都在點(diǎn)（1，0）的左側(cè).

又因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)（n，0），且n≥3，所以

拋物線與x軸的一個交點(diǎn)一定在點(diǎn)（3，0）處或在點(diǎn)（3，0）的右側(cè).

所以，拋物線的開口一定向下，即alt;0.

把點(diǎn)（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，即b=1－a－c.

由alt;0，clt;0，可知

bgt;0.

故選項A錯誤.

由alt;0，bgt;0，clt;0，可知

cagt;0.

所以方程ax2+bx+c=0的兩個根的積大于0，即mngt;0.

又n≥3，所以

mgt;0.

所以m+n2gt;1.5.

所以，拋物線的對稱軸在直線x=32的右側(cè).

所以，拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）的右側(cè).

所以4ac－b24agt;1.

又4alt;0，所以

4ac－b2lt;4a.

故選項B正確.

因為拋物線的對稱軸在直線x=32的右側(cè)，所以點(diǎn)

（1，1）到對稱軸的距離大于點(diǎn)（2，t）到對稱軸的距離.

結(jié)合圖形可知，距離拋物線對稱軸越近的點(diǎn)其對應(yīng)的函數(shù)值越大，則

tgt;1.

故選項C正確.

方程ax2+bx+c=x可變?yōu)閍x2+（b－1）x+c=0.

由該方程有兩個相等的實數(shù)解，得Δ=（b－1）2－4ac=0.

又1－b=a+c，則（a+c）2－4ac=0，即（a－c）2=0，

于是a－c=0，即a=c.

因為（m，0），（n，0）在拋物線上，所以

m，n為方程ax2+bx+c=0的兩個根.

于是可得mn=ca=1，則n=1m.

又n≥3，則1m≥3，解得

0lt;m≤13.

故選項D正確.

綜上所述，正確答案為選項BCD.

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程根的判別式等，解決的核心就是利用數(shù)形結(jié)合思想、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 利用二次函數(shù)圖象研究代數(shù)式符號

根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷有關(guān)代數(shù)式的符號問題，關(guān)鍵就是要明確拋物線的開口方向、對稱軸的位置是在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，以及拋物線與y軸交點(diǎn)的位置是在y軸的正半軸還是負(fù)半軸等.

例2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，有下列結(jié)論：

①abclt;0；②b2－4aclt;0；③2agt;b；④（a+c）2lt;b2；⑤一元二次方程ax2+bx+c－2=0有兩個不相等的實數(shù)根；⑥當(dāng)x1lt;x2lt;0時，y1lt;y2.其中正確的有（" ）.

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

解：由函數(shù)圖象的開口向下，得alt;0.由函數(shù)圖象與y軸的正半軸相交，得cgt;0.由對稱軸x=－b2alt;0，得blt;0.所以abcgt;0，故①錯誤.

由圖可知，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，所以

Δ=b2－4acgt;0，故②錯誤.

由對稱軸x=－b2agt;－1，得bgt;2a，故③錯誤.

由圖可知：當(dāng)x=－1時，ygt;0，則a－b+cgt;0，即（a+c）－bgt;0;當(dāng)x=1時，ylt;0，則

a+b+clt;0，即（a+c）+blt;0.

所以［（a+c）+b］［（a+c）－b］lt;0.

所以（a+c）2－b2lt;0.

所以（a+c）2lt;b2，故④正確.

而ax2+bx+c－2=0即ax2+bx+c=2，由圖可知此方程沒有實數(shù)根，故⑤錯誤.

由圖可知，當(dāng)x1lt;x2lt;0時，y1lt;y2或y1gt;y2，

故⑥錯誤.

故選答案：A.

點(diǎn)評：根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷代數(shù)式的符號問題時，要認(rèn)真研究圖形的特點(diǎn)和特殊點(diǎn)，從中獲得判斷符號正負(fù)的核心信息.對于比較困難的代數(shù)式符號問題，要仔細(xì)審核題目給出的隱藏信息，可以考慮根據(jù)某些等式進(jìn)行相互之間的關(guān)聯(lián)分析，或許可以迅速解決問題.

3 利用二次函數(shù)系數(shù)不等式研究圖象

利用二次函數(shù)的有關(guān)系數(shù)不等式來研究二次函數(shù)圖象，在解決問題時，注意使用數(shù)形結(jié)合思想，將有關(guān)的“形與數(shù)”有機(jī)結(jié)合，找到它們之間的聯(lián)系，特別要注意圖象的開口方向、關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，以及各項系數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系等.

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），給出下列結(jié)論：①abclt;0；②方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），32，y2是拋物線上的兩點(diǎn)，則y1lt;y2；④6a+2cgt;0；⑤對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）≥a+b.該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，根據(jù)該函數(shù)的圖象（如圖2），上述結(jié)論正確的是.

解：因為拋物線開口向上，所以

agt;0.

由二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，得clt;0.

由對稱軸在y軸的右側(cè)，可知-b2agt;0.又agt;0，

所以blt;0，則abcgt;0，故①錯誤.

設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，與x軸另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x2，由對稱軸是直線x=1，

得x2－1=1－x1.由圖得－1lt;x1lt;0，則1lt;1－x1lt;2，可得2lt;x2lt;3，故②正確.

由對稱軸是直線x=1，得1－0gt;32－1，又agt;0，所以y1gt;y2，故③錯誤.

由對稱軸是直線x=1，得－b2a=1，

則b=－2a.由圖知當(dāng)x=－1時，ygt;0，

即a－b+cgt;0，所以a－（－2a）+cgt;0，即

3a+cgt;0，則6a+2cgt;0，故④正確.

由對稱軸是直線x=1及agt;0，得

ymin=a+b+c.當(dāng)x=m時，y=am2+bm+c，

則am2+bm+c≥a+b+c，即m（am+b）≥a+b，

故⑤正確，符合題意.

綜上所述，正確答案為②④⑤.

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決問題時要注意利用拋物線的開口方向、對稱軸方程，以及拋物線與直線的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行推理，針對每個選項進(jìn)行認(rèn)真剖析和判斷.另外，要注意數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運(yùn)用.

綜上所述，二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系問題，是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，涉及的知識點(diǎn)比較多，解決的方法比較靈活，且這類問題往往比較全面地考查學(xué)生對于二次函數(shù)知識點(diǎn)的掌握情況，學(xué)生需要熟練掌握二次函數(shù)解析式中系數(shù)a，b，c分別代表的含義，將其與二次函數(shù)圖象聯(lián)系起來.另外，要牢牢抓住二次函數(shù)三個系數(shù)的各種內(nèi)在聯(lián)系及有關(guān)性質(zhì)，如此才可以有通透的理解，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［2］.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳小菊.深度探究參數(shù) 促進(jìn)思維生長——以“二次函數(shù)中二次項系數(shù)a的再探究”為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（20）：20-22.

[2]曹瑾.中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題常見題型及解題策略[J].數(shù)理天地（初中版），2024（5）：50-52.