基于動手“做”數(shù)學(xué)的啟發(fā)式教學(xué)實(shí)踐

摘要：以“拼圖·公式”為例，將動手“做”數(shù)學(xué)與課堂教學(xué)相融合，展開啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐.通過拼圖操作，建立“數(shù)”與“形”的橋梁，旨在提高學(xué)生的主觀能動性和學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)想象力和創(chuàng)造力，引發(fā)思考，啟迪思維.

關(guān)鍵詞：動手“做”數(shù)學(xué)；啟發(fā)式教學(xué)；拼圖

“啟發(fā)”一詞最早出現(xiàn)在孔子巨著《論語》中：不憤不啟，不悱不發(fā).“啟”意味著教師幫助學(xué)生開啟思路、引導(dǎo)點(diǎn)撥，“發(fā)”可以理解為學(xué)生思維的發(fā)生和生長，其核心理念都是緊緊圍繞學(xué)生主體，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn).啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)是指教師從學(xué)生已有知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，力求創(chuàng)設(shè)“憤悱”的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，啟迪學(xué)生主動積極思考，數(shù)學(xué)思維得以發(fā)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)和能力得以生長，并從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到和生成教學(xué)目標(biāo)[1].

在基于動手“做”數(shù)學(xué)的啟發(fā)式課堂教學(xué)中，筆者以一系列活動串為載體，將教學(xué)內(nèi)容細(xì)化，通過層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的活動，啟發(fā)學(xué)生深入思考，從而發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì).“拼圖＼5公式”這一課例是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》七年級下冊中的內(nèi)容，是為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊“9.5多項(xiàng)式的因式分解”而設(shè)計(jì)的.在整式乘法與因式分解的學(xué)習(xí)中，相比于分解的方法，其意義內(nèi)涵經(jīng)常被忽視.本節(jié)課以三種長方形紙片為載體，借助拼圖操作，引導(dǎo)學(xué)生體悟“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)，從而認(rèn)識到整式乘法與因式分解間的互逆關(guān)系，進(jìn)而更深層次地理解概念與法則.

1 初探材料，明晰實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)

活動1 實(shí)驗(yàn)材料初探

課前準(zhǔn)備：邊長為a的正方形A型紙片若干，邊長為b的正方形B型紙片若干，長為a、寬為b的長方形C型紙片若干（如圖1）.觀察三種類型紙片，說一說它們之間的關(guān)聯(lián).

活動2 拼正方形

問題 取一張A型紙片、一張B型紙片、兩張C型紙片，請嘗試拼出一個正方形.

設(shè)計(jì)意圖：整式乘法和因式分解是對代數(shù)式運(yùn)算的再認(rèn)識，運(yùn)算的意義本身也是抽象的，因此以實(shí)物圖形為抓手，讓學(xué)生通過拼接紙片的方式進(jìn)行直觀表征，降低了抽象的難度，采用數(shù)形結(jié)合的方式幫助學(xué)生感受因式分解的算理和本質(zhì).活動1通過對實(shí)驗(yàn)材料的初探，發(fā)現(xiàn)紙片間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從整體到局部，從宏觀到微觀，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“提公因式法”的內(nèi)涵；活動2則是幫助學(xué)生鞏固“完全平方公式”，同時(shí)形象地帶領(lǐng)學(xué)生走出誤區(qū)，這就是動手“做”數(shù)學(xué)的魅力所在.相比于數(shù)與數(shù)結(jié)合的單一性和抽象性，數(shù)與形的結(jié)合則顯得更加具體和豐富.基于具體的實(shí)驗(yàn)工具，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中復(fù)雜的關(guān)系，從而讓學(xué)生可以充分理解抽象概念，逐漸形成幾何直觀和空間觀念.

2 合作交流，體悟拼圖過程

活動3 拼固定長和寬的長方形

問題 分別選取A型、B型、C型三種紙片若干張，請嘗試拼成一個長、寬分別為a+2b，a+b的長方形.

活動4 拼固定面積的長方形

問題 分別選取A型、B型、C型三種紙片若干張，拼成一個長方形，并且使得所拼長方形的面積為2a2+5ab+3b2.

設(shè)計(jì)意圖：通過兩個問題的設(shè)置，學(xué)生已進(jìn)入到“憤悱”的情境中，處于“欲知還未知，欲言還未能”的狀態(tài)，此時(shí)動手操作便是學(xué)生對知識進(jìn)行直觀感知的重要依托.活動3的設(shè)計(jì)重心在于學(xué)生自主探索，通過小組合作，形成更豐富的學(xué)習(xí)感官體驗(yàn).通過“不同”的拼接方式啟發(fā)學(xué)生思考圖形中的“共同”點(diǎn)，在“變化”中尋“不變”，從而發(fā)現(xiàn)拼圖紙片的數(shù)量與代數(shù)式每一項(xiàng)前的系數(shù)息息相關(guān)，再次將數(shù)與形緊密聯(lián)系起來，也為接下來活動4的實(shí)驗(yàn)操作指明了方向，讓紙片的選擇不再“盲目”.兩個活動的設(shè)計(jì)，前者是已知形狀看大小，后者是已知大小看形狀，其本質(zhì)都是由數(shù)到形再到數(shù)的不斷轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了“由數(shù)解形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

活動5 能不能拼？

問題 分別選取A型、B型、C型三種紙片若干張，拼成一個長方形，并且使得所拼長方形的面積為a2+3ab+b2.

通過反復(fù)嘗試發(fā)現(xiàn)，始終無法拼成一個長方形，總是多了或少了一些卡片.由此也意識到：在目前所學(xué)知識范圍內(nèi)，不是所有的多項(xiàng)式都能因式分解.

追問：能否通過增加或減少一張卡片，使得它們能拼成一個長方形呢？即意味著使更改后的多項(xiàng)式能夠因式分解.

學(xué)生呈現(xiàn)出了多種方案，如圖2所示：

（1）減去一張卡片C，即a2+2ab+b2=（a+b）2;

（2）減去一張卡片B，即a2+3ab=a（a+3b）;

（3）增加一張卡片B，即a2+3ab+2b2=（a+2b）＼5（a+b）;

（4）增加一張卡片A，即2a2+3ab+b2=（2a+b）＼5（a+b）;

（5）減去一張卡片A，即3ab+b2=b（3a+b）.

設(shè)計(jì)意圖：通過不斷嘗試，從圖形的角度揭示“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不是所有的多項(xiàng)式都可以因式分解”.初中階段，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識僅停留在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有一些問題就其目前的知識水平是無法解決的，但可以通過紙片操作，以直觀的方式來說明，也為今后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)等知識埋下了伏筆.增加和減少卡片數(shù)量的活動讓學(xué)生思維得到了發(fā)散，構(gòu)建靈活的邏輯思維，從本質(zhì)內(nèi)涵出發(fā)，既能清晰地表達(dá)因式分解的過程與結(jié)果，又能加深對拼圖和因式分解之間關(guān)聯(lián)的理解和感受.

3 拓展延伸，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)遷移

活動6 填系數(shù)

問題 試從1，2，3，4這四個數(shù)中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入a2+ ab+ b2的方框中（可重復(fù)選?。?，使所得的二次三項(xiàng)式能夠因式分解，并寫出因式分解等式.

拼圖結(jié)果可以分為四種，分別對應(yīng)四個等式（如表1），長和寬都含有一項(xiàng)a，因?yàn)檫@個多項(xiàng)式的首項(xiàng)是a2，所以因式分解之后每一項(xiàng)a的系數(shù)只能是1.利用整式乘法和因式分解的互逆性，發(fā)現(xiàn)首尾系數(shù)的關(guān)聯(lián)，從而迅速找出長方形的長和寬.由此，就將學(xué)生的目光逐漸聚集至系數(shù)關(guān)系，從本質(zhì)出發(fā)繼續(xù)展開探索.

活動7 “拋棄”拼圖

問題 已知二次三項(xiàng)式a2+ ab+6b2，試在方框中填入合適的數(shù)，使其能夠因式分解，并寫出因式分解等式.

設(shè)計(jì)意圖：基于之前的活動鋪墊，將學(xué)生的認(rèn)知從數(shù)學(xué)外部帶入到數(shù)學(xué)內(nèi)部，進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)化思考，直接通過系數(shù)之間的關(guān)系來解決問題，對學(xué)生的思維又提出了更高的要求.此環(huán)節(jié)還體現(xiàn)了拼圖方法的局限性——邊長不可能為負(fù)數(shù)，因而無法得到更全面的結(jié)論.基于此，需要不斷激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，使學(xué)生具有通過條件預(yù)測結(jié)果的能力，即“從特殊到一般”的推理能力.拋開實(shí)物操作，將已有的知識和經(jīng)驗(yàn)遷移，便獲得了另一種因式分解的方法——十字相乘法，這也為高中的學(xué)習(xí)做了認(rèn)知上的鋪墊.至此，學(xué)生完整經(jīng)歷了“知識從哪里來？”“知識是什么？”“知識到哪里去？”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，讓知識自然發(fā)生、發(fā)展，可以說是始于歡樂，終于智慧.

將動手“做”數(shù)學(xué)作為啟發(fā)式教學(xué)的一種方式引入數(shù)學(xué)課堂，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動其積極性，而且可以不斷激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，從而獲得豐富的數(shù)學(xué)活動體驗(yàn).學(xué)生借助實(shí)物紙片，探索乘法公式和拼圖之間的數(shù)形轉(zhuǎn)換過程，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系運(yùn)用到直觀的幾何圖形中，通過數(shù)字與圖形的有機(jī)結(jié)合，將問題簡單化、明朗化，從而直觀地理解數(shù)學(xué)，整個過程有助于學(xué)生形成邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的能力，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).這樣的啟發(fā)式教學(xué)可以充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，通過主動積極的思維去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，進(jìn)而掌握知識.重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)歷和體驗(yàn)，往往比結(jié)果更為寶貴.

參考文獻(xiàn)：

[1]韓龍淑，曾小平.數(shù)學(xué)教師對啟發(fā)式教學(xué)認(rèn)識的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（4）：55-58.