黃金分割：真與美的統(tǒng)一

黃金分割，美的代名詞.美在何處？課堂教學(xué)中又如何讓學(xué)生感受其美？王芝鳳老師的這節(jié)課給了我們以啟示.

1 由外及內(nèi)展神韻

羅丹說，世界并不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛.王老師從教室、校園、街上的國旗上的五星紅旗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)五星紅旗是簡單平面幾何圖形中最美的圖形之一，這種美首先是一種直覺，是外在美.到底是什么原因讓人們感到美？一定是線段之間的比例關(guān)系，是知識的內(nèi)在美.

在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)五角星的對稱性尋找其中相等的線段、角等基本量后，發(fā)現(xiàn)多組相似三角形，利用其中一組相似三角形對應(yīng)邊成比例，進(jìn)而得到“線段上一點(diǎn)把線段分成兩部分，若較長的一段之長比整條線段之長等于較短一段之長比較長一段之長，此時(shí)圖形最美”.

這一意料之外、情境之中的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生感到興奮，真是美不勝收！而這一成果是學(xué)生在老師指導(dǎo)下通過自己努力得到的，學(xué)生頗有成就感，高興之情溢于言表.

在這一時(shí)段教學(xué)中，王老師引導(dǎo)學(xué)生從外在美到發(fā)現(xiàn)相似三角形之間的比例關(guān)系，一方面體現(xiàn)了遵循知識的內(nèi)在規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了線段之間的比例關(guān)系及比值；另一方面是這個(gè)過程完全由學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的比例關(guān)系，再計(jì)算而得，體現(xiàn)尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.其間，無痕地落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 因勢利導(dǎo)破難點(diǎn)

本節(jié)課有兩個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，一個(gè)是發(fā)現(xiàn)黃金分割數(shù)，一個(gè)是作出黃金分割點(diǎn).

為了突破第一個(gè)難點(diǎn)，王老師把正五角星上的線段表以不同的顏色，讓學(xué)生觀察正五角星，發(fā)現(xiàn)有四條不等長的線段和三個(gè)不等的角.在此基礎(chǔ)上學(xué)生發(fā)現(xiàn)△ACD∽△ABH，利用相似三角形得到ACAB=ADAH，再由AD=BC，AH=AC，得到ACAB=BCAC.設(shè)AB=1即可解得AC=5－12，從而ACAB=BCAC=5－12，由此得到黃金數(shù).

在此過程中，老師的作用是“導(dǎo)演”，主要是學(xué)生在老師的指導(dǎo)下通過觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、求解而得.老師給學(xué)生充分的活動(dòng)時(shí)間，體現(xiàn)了對學(xué)生的信任，學(xué)生也沒有讓老師失望，不僅求出了一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，還通過計(jì)算知道LEEB=CLKL=5－12，于是得到黃金三角形.因此，在正五角星中“遍地是黃金”.

作線段的黃金分割點(diǎn)這一段教學(xué)尤為精彩.王老師提出問題后，只作了簡單提示“怎么作出線段5”，然后由學(xué)生思考、動(dòng)手作圖.第一個(gè)女同學(xué)在板演時(shí)是構(gòu)造斜邊為5的直角三角形（海倫作圖法），另一個(gè)男同學(xué)則是自己想到與書本上不同的方法，盡管證明略微麻煩一些，但其獨(dú)立思考的作圖方法還是一大亮點(diǎn).如果老師要能追問一句“你是怎么想出來的？”會(huì)更好.其實(shí)，這種方法就隱含在正五角星中，即利用黃金三角形作出黃金分割點(diǎn).比如，在上課開始的正五角星中，等腰三角形ACH的兩腰分別與EK交于點(diǎn)D，L，連接CD（或LH）就是該男同學(xué)所畫的圖，只是一時(shí)不容易發(fā)現(xiàn).如果該同學(xué)是如此發(fā)現(xiàn)的，說明其觀察能力很強(qiáng)；如果是自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，那更表明未來可期！當(dāng)然，作為尺規(guī)作圖，畫頂角為36°的等腰三角形是不規(guī)范的.

由于王老師對教材的深度理解，把教學(xué)內(nèi)容分為四個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣；以問題為導(dǎo)向，層層展開.由于問題符合學(xué)生認(rèn)知水平，總能得到學(xué)生的正面回應(yīng).

注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和分析.通過提問、討論等方式，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出黃金分割的特點(diǎn)和規(guī)律，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為中心.在解決問題的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法，師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，既開闊了學(xué)生的視野，又提升了學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，激發(fā)了學(xué)生的探索興趣.

3 數(shù)學(xué)文化美作伴

本課以“發(fā)現(xiàn)美、探索美、應(yīng)用美、感受美”這一主線展開，從問題出發(fā)組織教學(xué)，注重知識的探索過程，講解準(zhǔn)確、內(nèi)容豐富.從歷史背景、教學(xué)原理、實(shí)際操作、實(shí)際運(yùn)用等多個(gè)維度提升學(xué)生對黃金分割的綜合理解與運(yùn)用能力.

從五角星中蘊(yùn)含的黃金點(diǎn)、黃金三角形到黃金矩形、黃金螺旋線，這節(jié)課可謂是以美為伴.在下課前的視頻中，展示了雅典巴臺農(nóng)神廟、巴黎圣母院、維納斯雕像等世界文化遺產(chǎn)都滿足黃金分割比，以及日常生活中黃金分割的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性及其應(yīng)用的廣泛性，提升了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光欣賞世界的能力.

數(shù)學(xué)育人貫穿始終，從開始的國旗中的五星紅旗到小結(jié)中“從幼兒園到大學(xué)畢業(yè)有將近19年的求學(xué)生涯，而黃金分割點(diǎn)恰好就是九年級的這一年，希望你們能夠把握好這黃金分割的一年，實(shí)現(xiàn)人生的飛躍”，都能緊密聯(lián)系課堂教學(xué)內(nèi)容融入思政元素，不是為了體現(xiàn)思想政治教育而貼標(biāo)簽.

當(dāng)學(xué)生作黃金分割線（點(diǎn)）的方法與海倫當(dāng)年的方法相同時(shí)，老師說“你具備數(shù)學(xué)家的品質(zhì)”，雖是一句玩笑，但對學(xué)生是巨大的鼓勵(lì).還有歐幾里得作圖法等，亦是如此，數(shù)學(xué)育人恰時(shí)恰點(diǎn).雖然教材中沒有具體介紹歷史上各種作圖方法是由哪位數(shù)學(xué)家給出的，但王老師在課堂上介紹了，尤其是王老師說學(xué)生現(xiàn)在的作法就是歷史著名數(shù)學(xué)家的作法時(shí)，學(xué)生受到了莫大的鼓舞.由此看來，數(shù)學(xué)育人就是在教學(xué)的適當(dāng)環(huán)節(jié)，以所學(xué)知識為載體“借題發(fā)揮”，引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美或感悟人生哲理，同時(shí)加深對數(shù)學(xué)知識的理解.這樣的教學(xué)活動(dòng)既不是高不可攀，也不是貼標(biāo)簽.

4 錦上添花談建議

小結(jié)中的打油詩是一種很好的形式，前兩句總結(jié)本課所學(xué)知識及思想方法，后兩句融入育人.打油詩的特點(diǎn)應(yīng)該是朗朗上口（押韻），這樣有利于誦讀，也有利于記憶，能達(dá)到加深對所學(xué)知識的理解與掌握以及提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣之目的，但本課的打油詩有點(diǎn)不押韻，還需要努力.

除了課堂上以及視頻中出現(xiàn)的黃金分割應(yīng)用的例子，還可以讓學(xué)生舉出生活中黃金分割應(yīng)用的例子，如攝影構(gòu)圖、音樂作曲等領(lǐng)域，這樣學(xué)生會(huì)對黃金分割更有親切感，也更能體現(xiàn)學(xué)以致用.

總之，王老師這節(jié)課在尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、尊重知識的發(fā)生發(fā)展規(guī)律方面做得較好，也有一定的思想高度和文化厚度，是一堂名副其實(shí)的數(shù)學(xué)生態(tài)課！