如何培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論就是這樣一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中最基本的邏輯方法，自然也是每年全國各地中考壓軸題必考的數(shù)學(xué)思想方法之一。分類討論思想不像一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就能掌握。它要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富內(nèi)涵。一般來說，教師在教學(xué)活動(dòng)中可按以下三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，學(xué)會(huì)分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺合理地運(yùn)用分類討論的思想解決問題，形成能力。

一、滲透分類討論思想

初中教材中分類討論的思想無處不在。很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的。七年級上冊教科書在引進(jìn)負(fù)數(shù)的概念后，將有理數(shù)按定義分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，按正負(fù)性分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。思考：—a一定是負(fù)數(shù)嗎？這時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生對a按正負(fù)性進(jìn)行分類討論。在絕對值這個(gè)知識點(diǎn)中，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，在定義上對絕對值進(jìn)行了分類。七年級下冊教科書中不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等式號的方向不變；不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式號的方向改變。這兩個(gè)不等式的性質(zhì)都蘊(yùn)含著分類討論的思想。這種在日常教學(xué)中有意識、有計(jì)劃、有步驟地滲透，能使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中逐步領(lǐng)悟和接受解決問題中的分類討論思想，明確分類討論的思想是解決某些數(shù)學(xué)問題的一種重要有用的思想方法。

二、積累分類討論經(jīng)驗(yàn)

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，但初中生常常分類討論的意識不強(qiáng)，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，舉一些符合大綱要求且學(xué)生能夠接受的，需要區(qū)分種種情況進(jìn)行討論的問題，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類討論思想的本質(zhì)，積累分類討論的經(jīng)驗(yàn)。

問題1：已知等腰三角形的一邊長等于5，一邊長等于6，求它的周長。等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

問題2：已知一個(gè)直角三角形兩條邊長為3，4，求第三條邊的長.

問題3：在一個(gè)半徑為10的圓中，有兩條平行弦的長度分別為12與16，那么這兩條弦之間的距離為（ ）

A．2 B．6"" C．6或14 D．14或2

問題4：在半徑為7cm的圓中，若弦AB＝7cm，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是

等腰三角形：如果等腰三角形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求另外兩角時(shí)，要考慮所給出的邊是腰還是底邊，所給出的角是頂角還是底角分類解決。

直角三角形：在直角三角形中給出兩邊的長度，確定第三邊時(shí)，若沒有指明直角邊和斜邊，要注意分情況進(jìn)行討論，然后利用勾股定理即可求解。

圓：圓的一條弦（直徑除外）對著兩條弧，常分為優(yōu)弧和劣弧兩種情況討論；求圓中兩條平行弦的距離，常分兩弦在圓心的同旁和兩旁兩種情況討論。

相似三角形：如果題目中出現(xiàn)兩個(gè)三角相似，需要討論各邊的對應(yīng)關(guān)系；若出現(xiàn)位似，則要分兩個(gè)圖形在位似中心的同旁或兩旁兩種情況討論。

三、創(chuàng)設(shè)分類討論情境

問題5：甲、乙兩商場以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計(jì)購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費(fèi)；在乙商場累計(jì)購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費(fèi)．設(shè)顧客累計(jì)購物x元（x＞100），請根據(jù)x的值，確定顧客到哪家商場購物花費(fèi)少？

這是一道經(jīng)典的分類討論的題目，此題分三種情況討論是關(guān)鍵：①若到甲商場購物花費(fèi)少，則100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）；②若到乙商場購物花費(fèi)少，則100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）；③若到甲，乙商場購物花費(fèi)一樣多，則100+0.9（x-100）＝50+0.95（x-50），

分類討論的策略大致有以下幾個(gè)步驟：首先要明確需要討論的對象，以及討論對象所包含的全體范圍；其次是要確定科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重，然后對所分種類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后是進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。掌握用分類討論思想解題的關(guān)鍵是搞清楚哪些情況下會(huì)引起分類討論，下面就引起分類討論的一些常見情況進(jìn)行歸納：（1）有些知識本身是分類定義和分類概括的，如絕對值；（2）研究含有參數(shù)的方程、不等式和函數(shù)時(shí)；（3）涉及動(dòng)態(tài)幾何圖形和位置的問題；（4）開放性的數(shù)學(xué)問題。

責(zé)任編輯 邱 麗