用12階分圓類構(gòu)造新差族

摘"要：差族是差集概念的推廣，滿足某些特定條件的差族可以用于構(gòu)造光正交碼及最優(yōu)常復(fù)合碼，這兩種碼在通信領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用，另外一些具有特定參數(shù)的差族可以用于構(gòu)造平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)及hadamard矩陣.本論文利用有限域Zp（p為素?cái)?shù)）上的12階分圓類構(gòu)造了一個(gè)含有兩個(gè)基塊的參數(shù)為p，p-12，p-32的差族，把此差族中的每一個(gè)基塊替換成原來的基塊與{0}的并集，得到另外一個(gè)參數(shù)為p，p+12，p+12的差族，我們的數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了這兩個(gè)集族在p取某些值時(shí)的確是差族.

關(guān)鍵詞：差族；分圓類；有限域

1"概述

設(shè)G是一個(gè)階數(shù)為v的加法交換群，BiG（1≤i≤s），稱F={B1，B2，…Bs}為一個(gè)集族，Bi（i=1，2，…，s）稱為F的塊［1］.定義多重集ΔBi={x-y|x，y∈Bi，x≠y}，多重集ΔF=∪si=1ΔBi={x-y|x，y∈Bi，x≠y，i=1，2，…，s}.若G中每一個(gè)非零元素在ΔF中出現(xiàn)λ次，則稱F是一個(gè)參數(shù)為（v，{B1，B2，…，Bs}，λ）的差族［1］.若B1=B2=…=Bs=k，則可記F的參數(shù)為（v，k，λ）［1］.差族的概念可以看作是差集概念的推廣，參數(shù)為（v，k，λ）的差族可以用于構(gòu)造平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)［2］，特別地，具有兩個(gè)基塊的參數(shù)為（v，v-12，v-32）的差族還可以用于構(gòu)造階數(shù)為2v+2的hadamard矩陣［3］.

有限域上的分圓類是構(gòu)造差族等組合設(shè)計(jì)的重要工具.設(shè)q=ef+1為某個(gè)素?cái)?shù)p的冪次，g為有限域GF（q）的一個(gè)本原元，定義C（e，q）i=gilt;ge＞（0≤i≤e-1），其中l(wèi)t;ge＞是由ge生成的GF（q）的一個(gè)乘法子群.這些陪集C（e，q）i（0≤i≤e-1）稱為GF（q）的e階分圓類［4］.若ilt;0或i≥e，定義C（e，q）i=C（e，q）k，其中i≡k（mode），且0≤k≤e-1.設(shè)x∈C（e，q）i，y∈C（e，q）j，滿足x+1=y的數(shù)對(duì)（x，y）的數(shù)目稱為GF（q）的e階分圓數(shù)，記為（i，j）e［4］.顯然，（i，j）e=（i′，j′）e，其中i≡i′（mode），j≡j'（mode）［4］.此外，分圓數(shù)具有性質(zhì)［4］：（i，j）e=（e-i，j-i）.

衡子靈等［5］和參考文獻(xiàn)［6］中的學(xué)者利用四階分圓類構(gòu)造了一些含有兩個(gè)塊的參數(shù)為（v，v-12，v-32）的差族，本論文利用有限域Zp上的12階分圓類構(gòu)造了一個(gè)參數(shù)為（p，p-12，p-32）的差族，并利用此差族構(gòu)造了另外一個(gè)參數(shù)為（p，p+12，p+12）的差族.

2"12階分圓數(shù)

參考文獻(xiàn)［7］給出了當(dāng)q等于素?cái)?shù)p時(shí)的12階分圓數(shù).設(shè)p=12f+1為一個(gè)奇素?cái)?shù)，則有如下表達(dá)式：p=x2+4y2=a2+3b2，其中x≡1（mod4），a≡1（mod6）.144個(gè)12階分圓數(shù)最多有31個(gè)不同的取值，且每個(gè)分圓數(shù)都可以寫成p，x，y，a，b的表達(dá)式，它們之間的關(guān)系可參看文獻(xiàn)［10］，我們不再在本文中給出.

設(shè)β=exp（2πi12）為12次本原根，ind（a）為a對(duì)模p的指數(shù)，對(duì)于每一對(duì)整數(shù)m，n，定義雅克比和

φ（βm，βn）=∑a+b≡1（modp）βmind（a）+nind（b），其中1≤a，b≤p-1.令g為有限域Zp的一個(gè)本原元，M，M′∈Zp且滿足gM≡2（modp），gM′≡3（modp），c=φ（β3，β）φ（β5，β）.12階分圓數(shù)依賴于f的奇偶性，M（mod6），M'（mod4）及c的值，共有24種不同的情形.表2和表3列出了四種情形，分別是f為奇數(shù)，M′（mod4）=0，c=β3（及c=-β3），M（mod6）=3的情形，和f為奇數(shù)，M′（mod4）=2，c=1（及c=-1），M（mod6）=3的情形.

3"兩個(gè)新的差族

在下文中，將C（12，p）i簡(jiǎn)記為Ci.

定理：在下列四種情形下，當(dāng)b=-6時(shí)，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11}是Zp中一個(gè)參數(shù)為p，p-12，-32+p2的差族.

（1）f為奇數(shù)，M′（mod4）=0，c=β3，M（mod6）=3；

（2）f為奇數(shù)，M′（mod4）=0，c=-β3，M（mod6）=3；

（3）f為奇數(shù)，M′（mod4）=2，c=1，M（mod6）=3；

（4）f為奇數(shù)，M′（mod4）=2，c=-1，M（mod6）=3.

證明：記C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10=A，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11=B.IA及IB分別是由A和B中分圓類的下標(biāo)構(gòu)成的集合，即IA={0，1，2，3，4，10}，IB={0，1，7，9，10，11}.設(shè)x∈Cm，則

（A+x）∩A=∑i，j∈IA（Ci+x）∩Cj

=∑i，j∈IA（i-m，j-m）12

=∑i，j∈IA（m-i，j-i）12.

從而ΔA=∪11m=0∑i，j∈IA（m-i，j-i）12Cm.

同理可得ΔB=∪11m=0∑i，j∈IB（m-i，j-i）12Cm.

由12階分圓數(shù)之間的關(guān)系及表1和表2中列出的分圓數(shù)，可得此定理四種情形下的ΔA和ΔB，在前兩種情形下：

ΔA=112（3p+2b+6y-9）C0∪124（6p+3a+4b-3x-18）C1

∪124（6p+3a-4b-3x-18）C2∪112（3p-2b-6y-9）C3

∪18（2p-a-2b+x-10）C4∪18（2p-a+2b+x-2）C5

∪112（3p+2b+6y-9）C6∪124（6p+3a+4b-3x-18）C7

∪124（6p+3a-4b-3x-18）C8∪112（3p-2b-6y-9）C9

∪18（2p-a-2b+x-10）C10∪18（2p-a+2b+x-2）C11，

ΔB=112（3p-2b-6y-9）C0∪18（2p-a-2b+x-10）C1

∪18（2p-a+2b+x-2）C2∪112（3p+2b+6y-9）C3

∪124（6p+3a+4b-3x-18）C4∪124（6p+3a-4b-3x-18）C5

∪112（3p-2b-6y-9）C6∪18（2p-a-2b+x-10）C7

∪18（2p-a+2b+x-2）C8∪112（3p+2b+6y-9）C9

∪124（6p+3a+4b-3x-18）C10∪124（6p+3a-4b-3x-18）C11.

將上述兩式中各分圓類的系數(shù)表達(dá)式中的x換為-x，y換為-y可得后兩種情形下的ΔA和ΔB，我們不再列出它們的表達(dá)式.

從而，在此定理的四種情形下，都有：

ΔA，B=p2-32C0∪p2-b12-2C1∪p2+b12-1C2∪p2-32C3∪p2-b12-2

C4∪p2+b12-1C5∪p2-32

C6∪p2-b12-2C7∪p2+b12-1

C8∪p2-32C9∪p2-b12-2

C10∪p2+b12-1C11.

當(dāng)b=-6時(shí)，Δ{A，B}中各個(gè)分圓類Ci（0≤i≤11）前的系數(shù)都等于p2-32，因此定理的結(jié)論成立.

證畢.

推論：在定理的四種情形下，當(dāng)b=6時(shí)，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10∪{0}，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11∪{0}}是Zp中一個(gè)參數(shù)為p，p+12，p+12的差族.

證明：設(shè)A，B，IA，IB表示與之前（在定理的證明過程中出現(xiàn)）相同的含義.由定理的證明過程，ΔA=∪11m=0∑i，j∈IA（m-i，j-i）12Cm，ΔB=∪11m=0∑i，j∈IB（m-i，j-i）12Cm.記km=∑i，j∈IA（m-i，j-i）12，lm=∑i，j∈IB（m-i，j-i）12，從而ΔA=∪11m=0kmCm，ΔB=∪11m=0lmCm，Δ（A，B）=∪11m=0（km+lm）Cm.又Δ（A∪{0}）=ΔA∪A∪（-A），Δ（B∪{0}）=ΔB∪B∪（-B），其中-A={-x|x∈A}，-B={-y|y∈B}.另外，當(dāng)f為奇數(shù)時(shí)，-Cm=Cm+6（0≤m≤11）.從而：

Δ（A∪{0}）=（k0+1）C0∪（k1+1）C1∪（k2+1）C2∪（k3+1）C3∪（k4+2）C4∪k5C5∪（k6+1）C6∪（k7+1）C7∪（k8+1）C8∪（k9+1）C9∪（k10+2）C10∪k11C11，

Δ（B∪{0}）=（l0+1）C0∪（l1+2）C1∪l2C2∪（l3+1）C3∪（l4+1）C4∪（l5+1）C5∪（l6+1）C6∪（l7+2）C7∪l8C8∪（l9+1）C9∪（l10+1）C10∪（l11+1）C11，

Δ（A∪{0}，B∪{0}）=（k0+l0+2）C0∪（k1+l1+3）C1∪（k2+l2+1）C2∪（k3+l3+2）C3∪（k4+l4+3）C4∪（k5+l5+1）C5∪（k6+l6+2）C6∪（k7+l7+3）C7∪（k8+l8+1）C8∪（k9+l9+2）C9∪（k10+l10+3）C10∪（k11+l11+1）C11.

由定理證明過程中得到的Δ（A，B），得：

Δ（A∪{0}，B∪{0}）=p2+12C0∪p2-b12+1

C1∪p2+b12C2∪p2+12

C3∪p2-b12+1C4∪p2+b12

C5∪p2+12C6∪p2-b12+1

C7∪p2+b12C8∪p2+12

C9∪p2-b12+1C10∪p2+b12C11.

當(dāng)b=6時(shí)，各分圓類前的系數(shù)相等，都為p2+12，所以推論的結(jié)論成立.

證畢.

我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了在定理所列的四種情形下，上述兩個(gè)集族當(dāng)p取某些值時(shí)確為具有相應(yīng)參數(shù)的差族.例如，在定理的第（1）種情形下，當(dāng)p=229，9133，24133，32869，37357…時(shí)，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11}是Zp中一個(gè)參數(shù)為p，p-12，-32+p2的差族；在定理的第（3）種情形下，當(dāng)p=397，6037，38917…時(shí)，{C0∪C1∪C2∪C3∪C4∪C10∪{0}，C0∪C1∪C7∪C9∪C10∪C11∪{0}}是Zp中一個(gè)參數(shù)為（p，p+12，p+12）的差族.

結(jié)語

本文利用有限域Zp上的12階分圓類構(gòu)造了兩個(gè)差族，并且我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這兩個(gè)集族當(dāng)p取某些素?cái)?shù)時(shí)確是差族.

參考文獻(xiàn)：

［1］COLBOURN"C"J，DINITZ"J"H.Handbook"of"Combinatorial"Designs［M］.Boca"Raton：CRC"Press，2006.

［2］LAM"C，MIAO"Y.（Ck⊕G，k，λ）"Difference"Families［J］.Designs，Codes"and"Cryptography，2001，24（3）：291304.

［3］BEKISHEV"G"A.Hadmard"matrices"and"difference"families［J］.Matematical"Notes"of"the"Academy"of"Science"of"the"USSR，1990，47（3）：236239.

［4］STORER"T.Cyclotomy"and"difference"sets［M］.Chicago：Markham"Publishing"Company，1967.

［5］衡子靈，岳勤.新的差族和幾乎差族的構(gòu)造［J］.江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，31（02）：912.

［6］DING"C"S.Two"constructions"of"v，v-12，v-32"difference"families［J］.Journal"of"Combinatorial"Designs，2008，16（2）：164171.

［7］WHITEMAN"A"L.The"cyclotomic"numbers"of"order"twelve［J］.Acta"Arithmetica，1960，6（1）：5376.

基金項(xiàng)目：2023年遼寧省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（202312026155）

作者簡(jiǎn)介：徐亭亭（2004—"），女，漢族，河南商丘人，本科在讀，研究方向：組合設(shè)計(jì)。

*通訊作者：唐玲麗（1983—"），女，漢族，河北邯鄲人，博士研究生，講師，研究方向：組合設(shè)計(jì)和編碼理論。