類(lèi)比分析，感悟從特殊到一般

數(shù)學(xué)課上，老師和我們一起探究了正比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=kx+b （k、b為常數(shù)，且k≠0）圖象之間的關(guān)系：一般地，正比例函數(shù)y=kx的圖象是一條直線(xiàn)；一次函數(shù)y=kx+b 的圖象可以由正比例函數(shù)y=kx的圖象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移[b]個(gè)單位長(zhǎng)度得到。

課后，我找到了用幾何證明來(lái)說(shuō)明其中道理的方法。下面，我以正比例函數(shù)y=2x的圖象平移為例。

如圖1，取函數(shù)y=2x圖象上的一點(diǎn)A（x，4），則2x=4，x=2，即A（2，4）。過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為B，則OB=2，AB=4。

設(shè)該直線(xiàn)沿y軸向上平移4個(gè)單位后的直線(xiàn)分別交x軸和y軸于點(diǎn)D和點(diǎn)C，則OC=BA=4。∵OA∥CD，∴∠AOB=∠CDO。又∵∠COD=∠ABO，∴△CDO ≌△AOB（AAS）?！郉O=OB=2，即C（0，4），D（-2，0）。

設(shè)平移后的直線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，則[b=4，-2k+b=0。]解得[k=2，b=4。]所以平移后的直線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=2x+4。

從結(jié)果中我們不難發(fā)現(xiàn)，自變量的系數(shù)k沒(méi)有變化，只有常數(shù)項(xiàng)b的值在發(fā)生變化。

于是我想到對(duì)于正比例函數(shù)y=kx的圖象，沿y軸平移是否也可以用類(lèi)似的方法進(jìn)行研究。

如圖2，取函數(shù)y=kx圖象上的一點(diǎn)A（x，b），則kx=b，x=[bk]，即A（[bk]，b）。過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為B，則OB= [bk]，AB=b。

設(shè)該直線(xiàn)沿y軸向上平移b（bgt;0）個(gè)單位后的直線(xiàn)分別交x軸和y軸于點(diǎn)D和點(diǎn)C，同理可證△CDO≌△AOB（AAS）。∴DO=OB=[bk]，即C（0，b），D（[-bk]，0）。

設(shè)平移后的直線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，

則[n=b，-bkm+n=0。]解得[m=k，n=b。]所以平移后的直線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b。

原來(lái)，數(shù)學(xué)結(jié)論的背后有著嚴(yán)格的推理與證明。如果將正比例函數(shù)y=kx的圖象沿x軸向左平移b（b＞0）個(gè)單位后，它的函數(shù)表達(dá)式又是什么呢？

我仍然從特例出發(fā)，以正比例函數(shù)y=2x的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位為例。

如圖1，取該正比例函數(shù)y=2x的圖象上的一點(diǎn)A（2，y），則y=4，即A（2，4）。過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為B，則OB=2，AB=4。

設(shè)該直線(xiàn)沿x軸向左平移2個(gè)單位后的直線(xiàn)分別交x軸和y軸于點(diǎn)D和點(diǎn)C，則OD=2?！逴A∥DC，∴∠AOB=∠CDO。又∵∠COD=∠ABO，OD=BO，∴△CDO≌△AOB（ASA）?！郈O=AB=4，即C（0，4），D（-2，0）。

設(shè)該函數(shù)圖象平移后的直線(xiàn)表示的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

則[b=4，-2k+b=0。]解得[k=2，b=4。]所以平移后的直線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=2x+4，即y=2（x+2）。

同樣，類(lèi)比上面的思路將其一般化，將正比例函數(shù)y=kx的圖象沿x軸向左平移b（b＞0）個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式是y=k（x+b）。

教師點(diǎn)評(píng)

小作者在探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，能夠打破砂鍋問(wèn)到底，應(yīng)用類(lèi)比的方法，經(jīng)歷從特殊到一般的探索過(guò)程，并應(yīng)用歸納、猜想、驗(yàn)證的思維策略，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題有深度的思考。

（指導(dǎo)教師：張小扣）