Schr dinger-Poisson-Slater方程的爆破準(zhǔn)則

在三維空間中討論Schr dinger-Poisson-Slater方程.通過建立局部維里恒等式，在去掉有限方差的情況下，得到方程爆破解存在的一個(gè)充分條件.

Schr dinger-Poisson-Slater方程; 局部維里恒等式; 爆破解

O175.29 A 0279-06 02.013

1 引言與主要結(jié)果

本文研究Schr dinger-Poisson-Slater方程

i tu+Δu-（|x|^-1*|u|2）u+

|u|p-2u=0，

u（t0，x）=u0， （t，x）∈R×R3，

（1）

式中，u（t，x）：R×R3→C表示一個(gè)復(fù)值函數(shù)；i=-1為虛數(shù)單位；Δ：= ² x²1+ ² x²2+ ² x²3，表示三維空間的Laplace算子；p∈（10/3，6）.另外，*表示卷積運(yùn)算：

（|x|^-1*|u|²）u=∫|u（t，y）|²u（t，x）|x-y|dy.

這類具有排斥性非局部庫侖勢(shì)的Schr dinger型方程，是通過Hartree-Fock方程描述大量粒子的量子力學(xué)系統(tǒng)的近似得到的^[1].Schr dinger-Poisson-Slater系統(tǒng)可用于半導(dǎo)體器件中量子傳輸?shù)难芯?sup>[2].

方程（1）去掉|u|^p-2u項(xiàng)后，變?yōu)槿缦碌姆蔷€性Hartree方程：

i tu+Δu-（|x|^-1*|u|2）u=0，

u（t0，x）=u0， （t，x）∈R×R3.

（2）

方程（2）描述了具有無限多個(gè)粒子的量子系統(tǒng)^[3]，通過能量守恒定律可知，方程（2）的解在H¹（R³）中整體存在.關(guān)于該方程的研究，參見文獻(xiàn)[4-7].

方程（1）去掉（|x|^-1*|u|2）u項(xiàng)后，變?yōu)槿缦陆?jīng)典的非線性Schr dinger方程

i tu+Δu+|u|p-2u=0，

u（t0，x）=u0， （t，x）∈R×R3.

（3）

方程（3）在一維空間中，描述光脈沖在色散與非線性介質(zhì)中的傳輸;在二維空間中，描述非線性光學(xué)中的自陷現(xiàn)象;在三維空間中，描述等離子體物理中的Langmui波^[8].當(dāng)2lt;plt;6時(shí)，Ginibre等^[9]在能量空間H¹（R³）中建立了解的局部適定性.當(dāng)2lt;plt;10/3時(shí)，Ginibre等^[9]證明Cauchy問題（3）在H¹（R³）空間整體適定.對(duì)于能量亞臨界（10/3lt;plt;6）的情形，在有限方差（∫|x|²|u0|²lt;∞）以及負(fù)能量（E（u0）lt;0）的條件下，Glassey^[10]證明了方程（3）的解在有限時(shí)間爆破.在p=10/3時(shí)，Weinstein^[11]通過建立最佳常數(shù)的Gagliardo-Nirenberg不等式，得到了解存在和爆破的一個(gè)門檻條件.對(duì)于能量亞臨界（10/3≤plt;6）的情形，在去掉有限方差以及負(fù)能量的條件下，Ogawa等^[12]得到了徑向?qū)ΨQ爆破解的存在性.另外，對(duì)于質(zhì)量超臨界（pgt;10/3）的情形，在去掉有限方差的條件下，Du等^[3]得到了爆破解的存在性.

下面介紹方程（1）的局部適定性結(jié)果^{[2，13-14]}.

命題 1.1^[2]

令2lt;plt;6，若初值u0∈H¹（R³），柯西問題（1）在H¹（R³）中有唯一的解

u（t，x）∈C（[0，Tmax）;H¹（R³）），

存在Tmaxgt;0，滿足：Tmax=+∞（整體解存在），或者Tmaxlt;+∞，且limt→Tmaxu（t，x）=+∞（有限時(shí)間爆破）.此外，對(duì)于任意的t∈[0，Tmax），u（t，x）滿足如下的質(zhì)量守恒和能量守恒：

M（u（t））：=∫|u（t，x）|2dx≡M（u0），

E（u（t））：=12∫| u（t，x）|2dx+14∫∫|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|dxdy-1p∫|u（t，x）|pdx≡E（u0）.

白欣雨，等：Schr dinger-Poisson-Slater方程的爆破準(zhǔn)則

在2lt;plt;10/3時(shí)，Cazenave^[14]證明了Cauchy問題（1）在H¹（R³）空間中的整體適定性.在10/3lt;plt;6時(shí)，文獻(xiàn)[1-2，15]運(yùn)用變分法證明了存在任意接近駐波的初值，使得方程（1）的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.此外，F(xiàn)ang等^[13]在有限方差的條件下，建立了方程（1）爆破解存在的充分條件.本文主要研究在去掉有限方差的條件下，方程（1）爆破解的存在性，結(jié)果如下.

定理 1.1

設(shè)方程（1）關(guān)于初值u0∈H¹（R³）對(duì)應(yīng)的解為u∈C（0，Tmax），且p∈（10/3，6），如果E（u0）lt;0，

則下面2個(gè)結(jié)論，有且僅有一個(gè)成立：

（i） 當(dāng)Tmaxlt;∞，有

limt→Tmax‖ u（t）‖L²=∞;

（ii） 當(dāng)Tmax=∞，存在一個(gè)時(shí)間序列{tn}，使得

limtn→∞‖ u（tn）‖L²=∞.

本節(jié)最后，對(duì)文中一些符號(hào)進(jìn)行說明.u（t，x）簡(jiǎn)化為u，積分∫R³·dx簡(jiǎn)化為∫·dx.空間L^p=L^p（R³）的范數(shù)記為‖·‖L^p，空間H¹：=H¹（R3）的范數(shù)記為‖·‖H¹.

2 定理1.1的證明

對(duì)于定理1.1，當(dāng)Tmaxlt;∞時(shí)，必定有

limt→Tmax‖ u（t）‖L²=∞，

否則，存在一個(gè)序列{tn}n∈N，使得tn→Tmax，有

supn∈N‖ u（tn）‖L²lt;∞.

當(dāng)n足夠大時(shí)，這與命題1.1矛盾，定理1.1的結(jié)論（i）得證.

下面只需證定理1.1的結(jié)論（ii），考慮反證法.假設(shè)方程（1）的解u整體存在，令

C0=supt∈R⁺‖ u（t）‖L2≤∞.

（4）

對(duì)任意的ψ∈C⁴（R³），考慮維里勢(shì)

Iψ（t）=∫ψ（x）|u（t，x）|²dx.

（5）

通過直接計(jì)算，可以得到局部維里恒等式.

引理 2.1

對(duì)于式（5）中維里勢(shì)Iψ（t），若u是方程（1）的解，則有

I′ψ（t）=2Im∫ ψ udx，

（6）

I″ψ（t）=-∫Δ²ψ|u|²dx+4Re∑j，k∫ ju k jψ kdx+

2∫ ψ∫（x-y）|u（t，x）|2|u（t，y）|2|x-y|3dydx-2（p-2）p∫Δψ|u|pdx.

（7）

證明

式（6）易證，下面證明式（7）.

I″ψ（t）=2Im∫ ψ（ ut+ ut）dx=

2Im∫ ψ （iΔu-i（|x|^-1*|u|2）u+i|u|p-2u）dx+

2Im∫ ψ u（-iΔ+i（|x|^-1*|u|2）-i|u|p-2）dx=

2Re∫ ψ （Δu）dx-

2∫ ψ （|x|^-1*|u|²）|u|2dx+

2∫ ψ （|u|p-2）|u|2dx-

2Re∫ ψ uΔdx，

其中

2Re∫ ψ （Δu）dx=2Re∑j，k∫ jψ j ²kudx=

-2Re∑j，k∫ ²ku ²jψdx

-2Re∑j，k∫ ²ku jψ jdx=

2Re∑j，k∫ ku k ²jψdx+

2Re∑j，k∫ ku ²jψ kdx+

2Re∑j，k∫ ku k jψ jdx+

2Re∑j，k∫ ku jψ k jdx=

-2Re∑j，k∫u ²k ²jψdx-

2Re∑j，k∫u k ²jψ kdx-

2Re∑j，k∫ jψ j ku kdx+

2Re∑j，k∫ ku k jψ jdx=

-Re∑j，k∫u ²k ²jψdx-

2Re∑j，k∫ jψ j ku kdx+

2Re∑j，k∫ ku k jψ jdx=

-∫Δ²ψ|u|²dx+4Re∑j，k∫ ju

k jψ kdx+2Re∫ u ψΔdx.

于是有

I″ψ（t）=-∫Δ²ψ|u|²dx+4Re∑j，k∫ ju

k jψ kdx-

2∫ ψ （|x|^-1*|u|²）|u|2dx+2∫ ψ （|u|p-2）|u|2dx.

又因?yàn)?/p>

2∫ ψ （|x|^-1*|u|²）|u|2dx=-2∫ ψ∫（x-y）|u（t，x）|2|u（t，y）|2|x-y|3dydx，

2∫ ψ （|u|p-2）|u|2dx=2∫ ψp-2pd（|u|p-2）pp-2=

-2（p-2）p∫Δψ|u|pdx.

因此，式（7）得證.

特別地，如果ψ是徑向的，進(jìn)一步有

I′ψ（t）=2Im∫ψ′x urdx，

（8）

I″ψ（t）=-∫Δ2ψ|u|²dx+4∫ψ′r| u|²dx+4∫（ψ″r2-ψ′r3）|x· u|²dx+

∫∫[ ψ（x）- ψ（y）]（x-y）×

|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|3dxdy-2（p-2）p∫（ψ″+2ψ′r）|u|pdx，

（9）

其中r=|x|.

對(duì)足夠大的常數(shù)Rgt;1，定義ψ∈C⁴（R³）滿足

ψ=

0， 0≤r≤R2，

1， r≥R，

（10）

且

0≤ψ≤1， 0≤ψ′≤2R.

（11）

令‖u0‖L²=m0，可以得到下面的結(jié)論.

引理 2.2

固定ε0gt;0，使得任意的t≤ε0R4m0C0時(shí)，有

∫|x|≥R|u（t，x）|²dx≤ε0+OR（1）.

（12）

證明

由式（10）知

∫|x|≥R|u（t，x）|²dx≤Iψ（t）.

（13）

結(jié)合式（3）、（8）和（11）有

Iψ（t）=Iψ（0）+∫t0I′ψdt′≤

Iψ（0）+2Im∫t0∫|ψ′||x ur|dxdt≤

Iψ（0）+2t‖ψ′‖L∞supt∈[0，t]（‖ u‖L²‖‖L2）≤

∫|x|≥R2|u0|²dx+4m0C0tR.

（14）

又因?yàn)?/p>

∫|x|≥R2|u0（x）|²dx=OR（1），

（15）

由式（13）～（15）可得式（12），引理得證.

為更好地估計(jì)I″ψ（t），引入一個(gè)重要的泛函Q（u）：H¹（R³）MT ExtraaA@R，

Q（u）=∫| u|2dx+14∫∫|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|dxdy-3（p-2）2p∫|u|pdx.

（16）

另外，選擇徑向函數(shù)ψ∈C⁴（R³）滿足

ψ=

r²， 0≤r≤R，

0， r≥2R

（17）

和

0≤ψ≤r²， ψ″≤2， ψ^（4）≤2R²，

（18）

然后可以得到關(guān)于I″ψ（t）的一個(gè)估計(jì).

引理 2.3

存在常數(shù)C=C（p，m0，C0）gt;0，使得

I″ψ（t）≤8Q（u）+C‖u‖3-p2L2（|x|≥R）+CR^-2‖u‖²L²（|x|≥R）+C‖u‖³2L2（|x|≥R）.

（19）

證明

根據(jù)式（9），I″ψ（t）可重新表示為

I″ψ（t）=8Q（u）+R1+R2+R3+R4，

（20）

其中

R1=4∫（ψ′r-2）| u|²dx+4∫（ψ″r2-ψ′r3）|x· u|²dx，

R2=-2（p-2）p∫（ψ″+2ψ′r-6）|u|pdx，

R3=-∫Δ²ψ|u|²dx，

R4=∫∫[（ ψ（x）- ψ（y））（x-y）-

2|x-y|2]|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|3dxdy.

（21）

先估計(jì)R1.下面分如下2種情況討論：

（i） 當(dāng)ψ″r²-ψ′r3lt;0，由ψ′r-2≤0，易得R1lt;0.

（ii） 當(dāng)ψ″r²-ψ′r3≥0，可得ψ″-ψ′r≥0，

由Cauchy-Schwarz不等式

|x· u|≤|x|| u|=r| u|，

可得

R1=4∫（ψ″-ψ′r）（|xr· u|²-| u|²）dx+4∫（ψ″-2）| u|²dx≤0.

（22）

此外，因?yàn)?/p>

supp（ψ″+2ψ′r-6）[R，∞），

結(jié)合Gagliardo-Nirenberg不等式有

‖u‖pLp≤CGN‖ u‖3（p-2）2L²‖u‖2-p-22L².

（23）

接下來，引入分段函數(shù)

χ=

0， |x|lt;R2，

1， |x|gt;R，

（24）

使得χ∈C¹（R³）.

結(jié)合式（4）可得

R2≤CC3（p-2）20‖χu‖3-p2L²=

C‖u‖3-p2L²（|x|≥R）.

（25）

另外，由式（18）有

R3≤CR^-2‖u‖²L²（|x|≥R）.

（26）

在R4中，

supp{（ ψ（x）- ψ（y））（x-y）-2|x-y|2}{（x，y）：|x|≥R}∪{（x，y）：|y|≥R}，

當(dāng)|x|≥R時(shí)，有

|（ ψ（x）- ψ（y））（x-y）||x-y|2，

于是

R4≤C∫∫|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|dxdy.

通過H lder不等式，Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式可得

∫∫χ|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|dxdy=∫（∫χ|u（t，x）|²|x-y|dx）|u（t，y）|²dy≤

‖∫χ|u（t，x）|²|x-y|dx‖L⁶‖|u（t，y）|²‖L⁶5≤

C‖u（t，x）‖²L12/5（|x|≥R）‖u（t，y）‖²L^12/5≤

C‖u‖³2L²（|x|≥R）‖ u‖¹2L2‖u‖³2L²‖ u‖¹2L2≤

CC0m³20‖u‖³2L²（|x|≥R）.

（27）

在|y|≥R時(shí)，有相同的控制.于是

R4≤C‖u‖³2L²（|x|≥R）.

（28）

因此，通過式（20）～（28）可知，存在常數(shù)Cgt;0使得式（19）成立，引理2.3得證.

現(xiàn)在完成定理1.1的證明.由引理2.2和2.3得到，對(duì)任意

t≤T：=ε0R4m0C0，

有

I″ψ（t）≤8Q（u）+C（ε3-p20+OR（1））+CR^-2（ε²0+OR（1））+C（ε³20+OR（1））.

這里選擇ε0gt;0，使得

Cε^3-p20+Cε³20=-5Q（u）.

選擇足夠大的Rgt;1，使得

CR^-2ε²0=-Q（u），

于是有

I″ψ（t）≤2Q（u）+OR（1）.

（29）

由式（16）和能量守恒，可重新表示Q（u），即

Q（u）=3（p-2）2E（u）-3p-104∫| u|2dx-3p-88∫∫|u（t，x）|²|u（t，y）|²|x-y|dxdy.

注意到

Q（u）lt;β0lt;0，

（30）

這里β0=3（p-2）2E（u0）.

進(jìn)一步，式（29）對(duì)時(shí)間t積分，結(jié)合式（30）有

Iψ（T）≤Iψ（0）+I′ψ（0）T+∫T0∫t0（2Q（u（t′））+OR（1））dt′dt≤

Iψ（0）+I′ψ（0）T+β0T²≤

Iψ（0）+I′ψε0R4m0C0+β0ε²0（4m0C0）²R².

（31）

對(duì)足夠大的Rgt;1，有

Iψ（0）=∫|x|lt;Rψ（x）|u0|²dx+∫Rlt;|x|lt;2Rψ（x）|u0|²dx+∫|x|≥2Rψ（x）|u0|²dx≤

∫|x|lt;R|x|²|u0|²dx+∫Rlt;|x|lt;2R|x|²|u0|²dx≤

Rm²0+R²∫|x|gt;R|u0|²dx=

OR（1）R²，

（32）

I′ψ（0）=2Im∫ψ′x ur0dx≤

2∫|x|lt;R|ψ′||x|| u0|r|u0|dx+2∫R≤|x|lt;R|ψ′||x|| u0|r|u0|dx+2∫R≤|x|lt;2R|ψ′||x|| u0|r|u0|dx≤

4∫|x|lt;RR| u0||u0|dx+4∫R≤|x|lt;RR| u0||u0|dx+8∫R≤|x|lt;2RR| u0||u0|dx=

OR（1）R.

（33）

結(jié)合式（31）～（33）可得

Iψ（T）lt;OR（1）R²+β0ε²0（4m0C0）²R²≤β0ε²032m0C²0R².

因?yàn)棣?lt;0，這與Iψ（T）≥0矛盾，于是證得存在一個(gè)時(shí)間序列{tn}使得

limtn→∞‖ u（tn）‖L²=∞.

定理1.1證畢.

參考文獻(xiàn)

[1] BELLAZZINI J， JEANJEAN L， LUO T J. Existence and instability of standing waves with prescribed norm for a class of Schr dinger-Poisson equations[J]. Proceedings of the London Mathematical Society，2013，107（2）：303-339.

[2] KIKUCHI H. Existence and stability of standing waves for Schr dinger-Poisson-Slater equation[J]. Advanced Nonlinear Studies，2007，7（3）：403-437.

[3] DU D P， WU Y F， ZHANG K J. On blow-up criterion for the nonlinear Schr dinger equation[EB/OL]. （2013-12-12）[2023-06-06]. Ithaca： arxiv，2013. https：//arxiv.org/abs/1309.6782v2.

[4] MIAO C X， XU G X， ZHAO L F. The Cauchy problem of the Hartree equation[J]. Partial Differential Equations，2008，21：22-44.

[5] 王雪雯，郭青. 帶Hartree型非線性項(xiàng)雙調(diào)和薛定諤方程解的整體適定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，44（6）：772-778.

[6] HAYASHI N K， TSUTSUMI Y S. Scattering theory for Hartree type equations[J]. Annales de l’Institut Henri Poincaré-A，1987，46：187-213.

[7] GINIBRE J， OZAWA T. Long range scattering for non-linear Schr dinger and Hartree equations in space dimensionn≥2[J]. Communications in Mathematical Physics，1993，151（3）：619-645.

[8] AGRAWAL G. Nonlinear fiber optics[M]. 2nd Edi. Singapore： Academic Press，1995.

[9] GINIBRE J， VELO G. On a class of nonlinear Schr dinger equations. I. the Cauchy problem， general case[J]. Journal of Functional Analysis，1979，32：1-32.

[10] GLASSEY R T. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schr dinger equations[J]. Journal of Mathematical Physics，1977，18（9）：1794-1797.

[11] WEINSTEIN M I. Nonlinear Schr dinger equations and sharp interpolation estimates[J]. Communications in Mathematical Physics，1983，87（4）：567-576.

[12] OGAWA T， TSUTSUMI Y. Blow-up of H1 solution for the nonlinear Schr dinger equation[J]. Journal of Differential Equations，1991，92（2）：317-330.

[13] FANG D Y， HAN Z. The nonlinear Schr dinger equations with combined nonlinearities of power-type and Hartree-type[J]. Chinese Annals of Mathematics，2011，B32：435-474.

[14] CAZENAVE T. Semilinear Schr dinger equations[M]. Providence： American Mathematical Society，2003.

[15] 李曉光，張健，吳永洪. Schr dinger-Poisson-Slater方程駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性[J]. 中國科學(xué)（數(shù)學(xué)），2016，46（1）：45-58.

[16] TIAN S， ZHU S H. Dynamics of the nonlinear Hartree equation with a focusing and defocusing perturbation[J]. Nonlinear Analysis，2022，222：112980.

The Blow-up Criterion of the Schr dinger-Poisson-Slater Equation

BAI Xinyu^1，2， LI Xiaoguang^1，2

（1. School of Mathematial Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;

2. Visual Computing and Virtual Reality Key Laboratory of Sichuan Province， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

In this paper， we study the blow-up of solutions to the Schr dinger-Poisson-Slater equation in three dimensions. By establishing local viral identity， we obtain one sufficient condition for the blow-up of solution of the equation under the assumption of removing finte variance.

Schr dinger-Poisson-Slater equation; local viral identity; blow-up of solution

2020 MSC：35Q55

（編輯 周 ?。?/p>