廣義模糊變換及其在模糊插值推理中的應(yīng)用

基于廣義的模糊劃分，給出廣義模糊變換的表示公式，并刻畫廣義模糊變換的本質(zhì)特征及廣義逆模糊變換的逼近性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，針對(duì)TSK型稀疏規(guī)則庫，設(shè)計(jì)一種基于廣義模糊變換的TSK模糊插值推理方法，并討論該方法的基本性質(zhì)，最后通過2個(gè)實(shí)驗(yàn)與已有的方法進(jìn)行比較，進(jìn)一步說明本方法的有效性.

模糊劃分; 廣義模糊變換; TSK模糊系統(tǒng); 模糊插值推理

O159 A 0261-09 02.011

函數(shù)逼近理論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，許多經(jīng)典的變換就是處理如何利用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近一般的函數(shù).在此基礎(chǔ)之上，Perfilieva^[1]提出的模糊變換將經(jīng)典的變換擴(kuò)展到模糊集上，即實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)集與有限維向量空間的相互轉(zhuǎn)化，是一種基于模糊集的近似方法.近年來，模糊變換被廣泛用于圖像處理、數(shù)據(jù)分析、預(yù)測(cè)分析及偏微分方程求解等領(lǐng)域.模糊變換的核心是在給定論域上建立的模糊劃分.在模糊變換相關(guān)的擴(kuò)展研究中，Stefanini^[2]提出了一類特殊的模糊劃分，并討論了相應(yīng)的模糊變換對(duì)于函數(shù)逼近產(chǎn)生的影響;Rafiezadeh等^[3]提出了一種加權(quán)模糊變換，用于處理用離散數(shù)據(jù)構(gòu)造連續(xù)函數(shù)的問題;Korkidis等^[4]通過差分進(jìn)化算法對(duì)模糊劃分中模糊集的位置進(jìn)行改進(jìn)，提高了離散模糊變換的逼近精度;2018年，Pan等^[5]從模糊現(xiàn)象的本質(zhì)出發(fā)提出了模糊集合的公理化定義，公理化模糊集合是對(duì)Zadeh意義下的模糊集的嚴(yán)格化、明確化、清晰化，且模糊集合產(chǎn)生于某個(gè)已知的模糊劃分，基于模糊劃分就可以給出公理化模糊集合的嚴(yán)格定義.

在實(shí)際生活中，由于人們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)不夠深入、掌握的知識(shí)不夠全面，只能形成稀疏的規(guī)則庫，此時(shí)對(duì)于某些輸入，已有的推理方法存在得不到任何推理結(jié)果的情況.為解決該類問題，許多學(xué)者提出了不同的模糊插值推理方法.李方軼等^[6]系統(tǒng)地疏理了基于Mamdani型稀疏規(guī)則庫的插值推理方法;對(duì)于TSK型稀疏規(guī)則庫，2017年，Li等^[7]首次提出了TSK模糊插值推理方法，但該方法得到的推理結(jié)果均為常值，這與實(shí)際情況不符;隨后，Li等^[8]又提出了改進(jìn)后的方法，即TSK+插值推理方法;在此基礎(chǔ)上，通過利用規(guī)則庫中的部分規(guī)則，Zhang等^[9]基于部分規(guī)則參與插值提出了CRC方法;楊文光等^[10]設(shè)計(jì)了分布參數(shù)系統(tǒng)的T-S型模糊插值推理的建模方法.盡管大量的推理方法已被提出，但研究發(fā)現(xiàn)在基于TSK型稀疏規(guī)則庫的插值推理方法的研究中仍然存在推理結(jié)果誤差較大的問題.

本文提出的廣義模糊變換是基于Pan等在文獻(xiàn)[5]中提出的用于構(gòu)造公理化模糊集合的模糊劃分，該模糊劃分?jǐn)U大了原有模糊劃分的范圍^[11-12]，隨后給出了廣義模糊變換一些新的性質(zhì)、廣義逆模糊變換的逼近性質(zhì)及逼近精度.基于提出的廣義模糊變換，針對(duì)TSK型稀疏規(guī)則庫，本文提出了一種基于模糊變換的TSK插值推理方法，并通過2個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性和有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面主要介紹后文所用到的一些概念、結(jié)論和符號(hào).對(duì)于任意的n∈N+，用符號(hào)表示集合{1，2，…，n}，下面給出模糊劃分的定義.

定義 1^[5]（模糊劃分） 設(shè)U=[a，b]R，U上的一個(gè)模糊劃分指的是具有如下形式的對(duì)象：

={A1，A2，…，An}， n∈N+，

其中

Ai={（x，μAi（x））|x∈U}， i∈，

函數(shù)μAi：U→[0，1]定義了元素x∈U關(guān)于類Ai的隸屬度，并且滿足下面的條件：

1） 對(duì)任意的x∈U，至少存在一個(gè)i∈使得μAi（x）gt;0;

2） 對(duì)任意的i∈，μAi是連續(xù)的;

3） 對(duì)任意的i∈，至少存在一個(gè)點(diǎn)x0∈U使得

μAi（x0）=1;

4） 對(duì)任意的i∈，如果在點(diǎn)x0∈U處滿足μAi（x0）=1，那么，μAi在[a，x0]上不減，在[x0，b]上不增;

5） 對(duì)任意的x∈U，滿足

0lt;μA1（x）+μA2（x）+…+μAn（x）≤1.

若把上述條件5）替換為：對(duì)任意的x∈U，滿足

μA1（x）+μA2（x）+…+μAn（x）=1，則稱是U上的正則模糊劃分.

何紅梅，等：廣義模糊變換及其在模糊插值推理中的應(yīng)用

注 1 文獻(xiàn)[1]中的模糊劃分（fuzzy partition）只是定義1中的一類特殊的正則模糊劃分，即定義1是一種廣義的模糊劃分.

圖1給出了相同論域上的一個(gè)非正則模糊劃分和正則模糊劃分的示例.

定義 2^[13-14] 設(shè)A是U=[a，b]上的一個(gè)模糊集，記

supp A={x|x∈U，μA（x）gt;0}，

ker A={x|x∈U，μA（x）=1}，

分別稱supp A和ker A為A的支集和核集.

定義 3^[13-14] 設(shè)A是U=[a，b]上一個(gè)模糊集，稱

[A]α={x∈U|μA（x）≥α}， 0lt;α≤1，

supp A， α=0

為模糊集A的α-水平集.

定義 4 設(shè)Ai、Aj為論域[a，b]上的2個(gè)模糊集，若

inf ker Aigt;sup ker Aj，則稱Ai大于Aj，記為Aigt;Aj;若對(duì)任意的α∈[0，1]，inf[Ai]αgt;sup[Aj]α，稱Ai嚴(yán)格大于Aj，并記為Aigt;sAj.

以下為方便描述，記

A（x）=μA（x）， [A]1=[x1，1（A），x1，2（A）]，

[A]0=[x0，1（A），x0，2（A）]，

xC（A）=x1，1（A）+x1，2（A）2.

2 廣義模糊變換

本節(jié)在定義1的基礎(chǔ)上，給出廣義模糊變換和廣義逆模糊變換的定義并分析相關(guān)性質(zhì).

記C（[a，b]）表示區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的集合，論域U上函數(shù)d的無窮維范數(shù)

‖d‖SymboleB@=supx∈U|d（x）|，

U上點(diǎn)集{xi}0≤i≤n+1滿足

a=x0=x1lt;x2lt;…lt;xn=xn+1=b，

V上點(diǎn)集{yj}0≤j≤m+1滿足

c=y0=y1lt;y2lt;…lt;ym=ym+1=d.

定義 5 設(shè)f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，則稱由

Fi=∫baf（x）Ai（x）dx∫baAi（x）dx， i∈

（1）

組成的n元組[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]是f相對(duì)的廣義模糊變換（廣義F-變換）.

用[f]表示函數(shù)f相對(duì)于的廣義F-變換，即[f]=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n].

定理 1 設(shè)f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且[f]=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]為函數(shù)f相對(duì)于的廣義F-變換，則任意的i∈，存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得

Fi=f（εi）.

（2）

證明 根據(jù)模糊劃分性質(zhì)及廣義F-變換定義可知

Fi=∫baf（x）Ai（x）dx∫baAi（x）dx=∫xi+1xi－1f（x）Ai（x）dx∫xi+1xi－1Ai（x）dx，

由推廣的積分第一中值定理有：函數(shù)f，Ai在[xi－1，xi+1]上連續(xù)且任意x∈[xi－1，xi+1]，Ai（x）≥0，則在[xi－1，xi+1]上一定存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得

∫xi+1xi－1f（x）Ai（x）dx=f（εi）∫xi+1xi－1Ai（x）dx，

Fi=f（εi）.

推理 1 設(shè)f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，且A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且[f]=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]為函數(shù)f相對(duì)于的廣義F-變換，則任意的i∈，當(dāng)x∈[xi－1，xi+1]時(shí)，以下不等式成立：

|f（x）－Fi|≤mi，

（3）

其中

mi=maxx∈[xi－1，xi+1]f（x）－minx∈[xi－1，xi+1]f（x）.

證明 根據(jù)定理1可知，任意的i∈，存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得Fi=f（εi），當(dāng)x∈[xi－1，xi+1]時(shí)，有

|f（x）－Fi|=|f（x）－f（εi）|≤

maxx∈[xi－1，xi+1]f（x）－minx∈[xi－1，xi+1]f（x）.

定義 6 設(shè)={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，f∈C（[a，b]），[f]=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]是f相對(duì)的廣義F-變換，任意x∈U，稱

f[f]（x）=∑ni=1πi（x）Fi

（4）

為廣義逆F-變換，其中

πi（x）=Ai（x）∑ni=1Ai（x）.

性質(zhì) 1 設(shè)={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)正則模糊劃分，f∈C（[a，b]），則對(duì)任意x∈U，有

f[f]（x）=∑ni=1Ai（x）Fi.

（5）

證明 當(dāng)={A1，A2，…，An}為一個(gè)正則模糊劃分時(shí)，有∑ni=1Ai（x）=1，則πi（x）=Ai（x）.

由定義5和定義6可知：文獻(xiàn)[1]中提出的模糊變換、逆模糊變換僅是一類特殊的廣義模糊變換與廣義逆模糊變換.

定理 2 設(shè)f∈C（[a，b]），則任意的εgt;0，U=[a，b]上必存在模糊劃分nε={A1，A2，…，Anε}，nε∈N+，使得任意x∈[a，b]，有

|f（x）－fnε[f]（x）|≤ε，

（6）

其中，fnε[f]是f相對(duì)于nε的廣義逆F-變換.

證明 由f∈C（[a，b]）可知：函數(shù)f在[a，b]上為一致連續(xù)函數(shù)，則任意εgt;0，存在δgt;0，當(dāng)|x′－x″|lt;δ時(shí)，|f（x′）－f（x″）|lt;ε.

設(shè)n={A1，A2，…，An}為論域U上的一個(gè)模糊劃分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且n[f]=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]為f相對(duì)于n的廣義F-變換.若|xi－1－xi+1|lt;δ，i∈，當(dāng)x∈[xi－1，xi+1]時(shí)，存在εi∈[xi－1，xi+1]，根據(jù)定理1可知|f（x）－Fi|=|f（x）－f（εi）|≤ε，

由πi（x）的結(jié)構(gòu)知

∑ni=1πi（x）=1， x∈[a，b]，

|f（x）－fn（x）|=

|∑ni－1πi（x）（f（x）－Fi）|≤

∑ni－1πi（x）|f（x）－Fi|≤ε，

令n=nε，則定理2成立.

推理 2 若f（x）為[a，b]上的常值函數(shù)，則對(duì)于U=[a，b]上任意的模糊劃分={A1，A2，…，An}，任意x∈U，等式f[f]（x）=f（x）恒成立.

證明 由模糊變換的定義可知Fi=f（x），逆模糊變換

f[f]（x）=f（x）∑ni=1πi（x）=f（x）.

定理 3 設(shè)f是[a，b]上連續(xù)可微函數(shù)，={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上一個(gè)的模糊劃分，若A1（x1），An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，則x∈[a，b]時(shí)，以下不等式成立：

|f（x）－f[f]（x）|≤2‖f′（x）‖SymboleB@h，

（7）

其中，h=maxi∈|xi－1－xi+1|.

證明 不妨設(shè)x∈[xi，xi+1]，對(duì)任意i∈有εi∈[xi－1，xi+1]，εi+1∈[xi，xi+1]，e1，e2∈[xi，xi+1]，則

|f（x）－f[f]（x）|=

|f（x）－（πi（x）f（εi）+πi+1（x）f（εi+1））|=

|f（x）－f（εi）+πi+1（x）f（εi）－πi+1（x）f（εi+1）|≤

|f（x）－f（εi）|+|πi+1（x）||f（εi）－f（εi+1）|≤

f′（e1）|x－εi|+f′（e2）|εi－εi+1|≤

2supx∈[xi，xi+1]|f′（x）||xi+1－xi－1|≤

2‖f′（x）‖SymboleB@h.

定理3說明了論域上任意的模糊劃分對(duì)于可微函數(shù)形成的廣義逆模糊變換都具有一階逼近精度.

圖2顯示了相同類型下的模糊劃分.可以看出，在劃分中模糊集的間距縮小后形成的逆模糊變換對(duì)函數(shù)逼近的效果更好.

下面給出二維的廣義模糊變換、廣義逆模糊變換的定義及相關(guān)性質(zhì).

定義 7 設(shè)={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，={B1，B2，…，Bm}為V=[c，d]上的一個(gè)模糊劃分，f∈C（[a，b]×[c，d]），稱

Fij=∫dc∫baf（x，y）Ai（x）Bj（y）dxdy∫dc∫baAi（x）Bj（y）dxdy， i∈，j∈

（8）

構(gòu)成的n×m矩陣Fnm[f]=（Fij）是f（x，y）相對(duì)于和的廣義模糊變換F-變換（廣義F-變換）.

用×[f]表示函數(shù)f相對(duì)于和的廣義F-變換，即

×[f]=（Fij）.

定義 8 設(shè)={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，={B1，B2，…，Bm}為V=[c，d]上的一個(gè)模糊劃分，f∈C（[a，b]×[c，d]），×[f]=（Fij）是函數(shù)f相對(duì)于和的廣義F-變換，稱

f×[f]（x，y）=∑ni=1∑mj=1πij（x，y）Fij

（9）

為廣義逆F-變換，其中，任意（x，y）∈U×V，πij（x，y）=Ai（x）Bj（y）∑ni=1∑mj=1Ai（x）Bj（y）.

定理 4 設(shè)f∈C（[a，b]×[c，d]），且={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，={B1，B2，…，Bm}為V=[c，d]上的一個(gè)模糊劃分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}且B1（y1）gt;0，Bm（ym）gt;0，Bt（xt）=1，t∈{2，3，…，m－1}，×[f]=（Fij）為函數(shù)f相對(duì)于和的廣義F-變換，則i∈，j∈，存在（εi，ηj）∈[xi－1，xi+1]×[yj－1，yj+1]，使得

Fij=f（εi，ηj）.

（10）

定理4的證明過程類似于定理1.

定理 5 若f是[a，b]×[c，d]上的連續(xù)可微函數(shù)，={A1，A2，…，An}為U=[a，b]上的一個(gè)模糊劃分，={B1，B2，…，Bm}為V=[c，d]上的一個(gè)模糊劃分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}且B1（y1）gt;0，Bm（ym）gt;0，Bt（xt）=1，t∈{2，3，…，m－1}，則任意（x，y）∈U×V，以下不等式成立：

|f（x，y）－f×[f]（x，y）|≤‖fx‖SymboleB@h1+‖fy‖SymboleB@h2，

（11）

其中

h1=maxi∈|xi－1－xi+1|， h2=maxj∈|yj－1－yj+1|.

證明 不妨設(shè)當(dāng)（x，y）∈[xi，xi+1]×[yj，yj+1]時(shí)，則必存在

（εi，ηj）∈[xi－1，xi+1]×[yj－1，yj+1]，使得

Fij=f（εi，ηj），

|f（x，y）－f×[f]（x，y）|=

|f（x，y）－∑ni=1∑mj=1πij（x，y）Fij|=

|f（x，y）－∑ni=1∑mj=1πij（x，y）f（εi，ηj）|≤

∑ni=1∑mj=1πij（x，y）|f（x，y）－f（εi，ηj）|≤

maxx∈[xi，xi+1]y∈[yj，yj+1]（‖fx‖SymboleB@|x－εi|+‖fy‖SymboleB@|y－ηj|）≤

maxx∈[xi－1，xi+1]y∈[yj－1，yj+1]（‖fx‖SymboleB@|x－εi|+‖fy‖SymboleB@|y－ηj|）≤

‖fx‖SymboleB@h1+‖fy‖SymboleB@h2.

3 基于廣義模糊變換的插值推理

TSK（Takagi-Sugeno-Kang）模糊模型^[15]最初是在1985年系統(tǒng)模糊辨識(shí)及其在建模和控制中的應(yīng)用中提出，TSK模糊模型的模糊規(guī)則具有以下形式：

如果x1是A1且x2是A2且…且xn是An，則

y=c0+c1x1+…+cnxn，

其中，Ai是變量xi論域上的模糊集，ci（i=0，1，…，n）是常數(shù)，即規(guī)則的“if部分”是模糊集，“then部分”是輸入變量的線性組合.下面給出由m條模糊規(guī)則構(gòu)成的TSK型稀疏規(guī)則庫的一般形式：

R1：如果x1是A1，1且x2是A1，2且…且xn是A1，n，則

y=f1=β1，0+β1，1x1+…+β1，nxn，

R2：如果x1是A2，1且x2是A2，2且…且xn是A2，n，則

y=f2=β2，0+β2，1x1+…+β2，nxn，

Rm：如果x1是Am，1且x2是Am，2且…且xn是Am，n，則

y=fm=βm，0+βm，1x1+…+βm，nxn，

其中，Ai，j（i=1，2，…，m;j=1，2，…，n）為前件變量xj在論域Uj=[xj，j]上的模糊集，且存在p，q∈{1，2，…，m}，j∈{1，2，…，n}使得Ap，jgt;sAq，j.

基于TSK型稀疏規(guī)則庫的插值推理就是給定觀察值：“如果x1是A1且x2是A2且…且xn是An”，求推理結(jié)果y，即求關(guān)于變量x1，x2，…，xn的多項(xiàng)式.

本文建立的插值推理方法是基于上述TSK型稀疏規(guī)則庫的一般形式進(jìn)行的.

定義 9 在上述TSK稀疏模糊規(guī)則庫的一般形式中，稱規(guī)則Rq為規(guī)則Rp（p，q∈）最相鄰模糊規(guī)則當(dāng)且僅當(dāng)：

1） Ap，jgt;Aq，j或Aq，jgt;Ap，j（j∈）;

2） ∑mj=1d（xC（Ap，j），xC（Aq，j））=min{∑mj=1d（xC（Ap，j），xC（Aq，j）），p，q∈}.

定義 10 在上述TSK稀疏模糊規(guī)則庫的一般形式中，稱規(guī)則Rp與Rq（p，q∈）組成的規(guī)則對(duì)為規(guī)則Ri（i，j∈）的最相鄰規(guī)則對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)：

1） Rp與Rq為Ri最相鄰模糊規(guī)則;

2） 不存在模糊規(guī)則“如果x1是A1且…且xn是An，則y=f=β0+β1x1+…+βnxn”使得Ap，jlt;Ajlt;Aq，j或Aq，jlt;Ajlt;Ap，j（j∈）;

3） Ap，jlt;Ai，jlt;Aq，j或Aq，jlt;Ai，jlt;Ap，j.

基于廣義模糊變換的TSK插值推理方法的步驟如下：

步驟 1 根據(jù)觀察值從規(guī)則庫中找到與其最相鄰的s對(duì)模糊規(guī)則，若不存在最相鄰模糊規(guī)則對(duì)，則找到與觀察值最相鄰的t（0≤s，t≤m）個(gè)模糊規(guī)則.

步驟 2 計(jì)算觀察值的最相鄰模糊規(guī)則對(duì)或最相鄰模糊規(guī)則的權(quán)重，不妨設(shè)步驟1中基于觀察值的最相鄰規(guī)則對(duì)存在且第p對(duì)模糊規(guī)則分別為Rp1，Rp2（p1，p2∈{1，2，…，m}），規(guī)則Rp1，Rp2的權(quán)重ωp1，ωp2根據(jù)公式

ω′p1=1－∑nj=1d（xC（Aj），xC（Ap1，j））∑nj=1d（xC（Ap1，j），xC（Ap2，j）），ωp1=1sω′p1，

ω′p2=1－∑nj=1d（xC（Aj），xC（Ap2，j））∑nj=1d（xC（Ap1，j），xC（Ap2，j）），ωp2=1sω′p2

計(jì)算可得，若不存在最相鄰模糊規(guī)則對(duì)，同理可求得最相鄰模糊規(guī)則的權(quán)重.

步驟 3 利用廣義模糊變換將步驟2的最相鄰模糊規(guī)則對(duì)或最相鄰模糊規(guī)則轉(zhuǎn)化為常值，即

Fp1=∫1x1…∫nxnAp1，1（x1）…Ap1，n（xn）fp1dx1…dxn∫1x1…∫nxnAp1，1（x1）…Ap1，n（xn）dx1…dxn，（12）

Fp2=∫1x1…∫nxnAp2，1（x1）…Ap2，n（xn）fp2dx1…dxn∫1x1…∫nxnAp2，1（x1）…Ap2，n（xn）dx1…dxn，（13）

將規(guī)則Rp1，Rp2轉(zhuǎn)化為常值Fp1，F(xiàn)p2.

步驟 4 由步驟2、步驟3得到基于觀察值最相鄰規(guī)則或規(guī)則對(duì)的權(quán)重及廣義模糊變換處理后的值，再根據(jù)以下公式：

F=1s∑sp=1（ωp1Fp1+ωp2Fp2），

（14）

FL=1s∑sp=1（ωp1，LFp1+ωp2，LFp2），

（15）

FR=1s∑sp=1（ωp1，RFp1+ωp2，RFp2），

（16）

其中

ωpk，L=1－∑nj=1|x0，1（Aj）－xC（Apk，j）|∑nj=1|xC（Ap2，j）－xC（Ap1，j）|， k=1，2，

ωpk，R=1－∑nj=1|x0，2（Aj）－xC（Apk，j）|∑nj=1|xC（Ap2，j）－xC（Ap1，j）|， k=1，2

求出基于觀察值插值推理的常值.

步驟 5 利用廣義逆模糊變換求出觀察值處的推理結(jié)果，即

f=∑nj=1[（1－A*j（xj））FL+Aj（xj）F+（1－Aj（xj））FR]

為關(guān)于變量x1，x2，…，xn的多項(xiàng)式.

為了簡(jiǎn)便起見，下面將基于廣義模糊變換的TSK插值推理方法稱為F-TSK插值推理方法.

定理 6 運(yùn)用F-TSK插值推理方法，得到推理結(jié)果f：當(dāng)xj∈[x0，1（Aj），x0，2（Aj）]時(shí)，任意的j∈，若Fp1≤Fp2，則FL≤f≤FR;若Fp2≤Fp1，則FR≤f≤FL.

證明 由F-TSK插值推理方法步驟可知，當(dāng)Fp1lt;Fp2時(shí)，根據(jù)觀察值最相鄰規(guī)則定義及式（12）～（16）可得：

當(dāng)xj∈[x0，1（Aj），x1，1（Aj）]時(shí)，有

f=∑nj=1[（1－A*j（xj））FL+Aj（xj）F]，

則FL≤f≤F;

當(dāng)xj∈（x1，1（Aj），x1，2（Aj））時(shí)，則

f=F;當(dāng)xj∈[x1，2（Aj），x0，2（Aj）]時(shí)，有

f=∑nj=1[Aj（xj）F+（1－Aj（xj））FR]，

則F≤f≤FR.

綜上可得，當(dāng)xj∈[x0，1（Aj），x0，2（Aj）]時(shí)，任意的j∈，若Fp1lt;Fp2，則FL≤f≤FR;若Fp2lt;Fp1，則FR≤f≤FL.

4 實(shí)驗(yàn)

文獻(xiàn)[16-17]給出生成的稀疏規(guī)則庫的方法：通過給定的已知函數(shù)建立完備規(guī)則庫，計(jì)算每個(gè)規(guī)則所在論域的函數(shù)曲率，然后設(shè)定曲率閾值刪減一部分規(guī)則，最后得到稀疏規(guī)則庫.

本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)比較TSK+、CRC與F-TSK插值推理方法的插值推理效果，并對(duì)推理結(jié)果進(jìn)行誤差分析.

4.1 實(shí)驗(yàn) 1

對(duì)三維函數(shù)

f（x，y）=sin（xπ）sin（yπ）

建模，該模糊模型?。狠斎離，y∈[－10，10]和輸出z（z∈[－1，1]），輸入變量x在給定論域上劃分為20個(gè)大小相同的區(qū)間（如圖3（a）），在y的論域上也進(jìn)行相同的區(qū)間劃分，且每個(gè)區(qū)間被表示為一個(gè)模糊集，這就形成了400個(gè)子區(qū)間（如圖3（b）），每個(gè)子區(qū)間表示為如下的一條模糊規(guī)則：

Rk：如果x是Ai且y是Bj，則

zk=akx+bky+ck，

k=20（i－1）+j， i，j=1，2，…，20.

根據(jù)文獻(xiàn)[17]對(duì)各子論域上曲率的計(jì)算，則設(shè)定不同的曲率閾值就可以得到不同的稀疏規(guī)則庫，即

稀疏TSK規(guī)則庫1（設(shè)曲率閾值為0.098 5）：由規(guī)則R1，R400，R20，R381組成;

稀疏TSK規(guī)則庫2（設(shè)曲率閾值為0.097 5）：由規(guī)則R1，R400，R115，R286，R106，R295，R20，R381組成;

稀疏TSK規(guī)則庫3（設(shè)曲率閾值為0.096 3）：由規(guī)則R1，R20，R86，R95，R105，R106，R115，R116，R285，R286，R295，R296，R306，R315，R381，R400組成.

計(jì)算給定的13個(gè)隨機(jī)測(cè)試點(diǎn)：（－5，－5），（－5，0），（－5，5），（0，－5），（5，-5）、（5，0）、（0，0），（0，5），（5，5），（－10，0），（0，10），（10，0）和（0，－10），在稀疏規(guī)則庫下，利用TSK+、CRC和F-TSK插值推理方法進(jìn)行推理，得到的推理結(jié)果與該點(diǎn)處實(shí)際結(jié)果所產(chǎn)生的誤差如表1所示.

4.2 實(shí)驗(yàn) 2

對(duì)3個(gè)二維函數(shù)分別構(gòu)造如下形式的稀疏規(guī)則庫：

R1：如果x是A1，則y=a1x+b1，

R2：如果x是A2，則y=a2x+b2，

求出給定觀察值：“如果x是A”下的推理結(jié)果y.

為方便表述，以下記三角形模糊集A為

A（x）=（x0，1（A），xC（A），x0，2（A）），其中

[A]0=[x0，1（A），x0，2（A）].

4.2.1 情況 1

對(duì)線性函數(shù)y=2x+3建立稀疏規(guī)則庫，其中A1=（2，3，4），A2=（8，9，10），A=（5，6，7），a1=a2=2;b1=b2=3.

由TSK+、CRC插值推理方法得到的推理結(jié)果為

y=2x－7， x∈[5，6]，－2x+17， x∈（6，7]，

與該處實(shí)際結(jié)果的誤差為

∫75|y*－y|dx=22;

由F-TSK插值推理方法得到的推理結(jié)果為

y=2x+3， x∈[5，7]，

與該處實(shí)際結(jié)果的誤差為

∫75|y*－y|dx=0.

4.2.2 情況 2

對(duì)非線性函數(shù)y=x2+1建立稀疏規(guī)則庫，其中A1=（2，3，4），A2=（8，9，10），A=（5，6，7），a1=6，a2=18，b1=18，b2=－80.

由TSK+、CRC插值推理方法得到的推理結(jié)果為

y=12x－104， x∈[5，6]，－12x+40， x∈（6，7]，

與該處實(shí)際結(jié)果的誤差為

∫75|y*－y|dx=150.667;

由F-TSK插值推理方法得到的推理結(jié)果為

y=12x－26， x∈[5，7]，

與該處實(shí)際結(jié)果的誤差為

∫75|y*－y|dx=17.333.

4.2.3 情況 3 對(duì)非線性函數(shù)y=x2+1建立稀疏規(guī)則庫，其中A1（x），A2（x），A（x）的隸屬函數(shù)如下：

A1（x）=－x2+6x－8， x∈[2，4]，

A2（x）=－x2+18x－80， x∈[8，10]，

A（x）=－x2+12x－35， x∈[5，7].

由TSK+、CRC插值推理方法在該情況下失效，得不到推理結(jié)果.

由F-TSK插值推理方法得到的推理結(jié)果為

y=－12x2+144x－386， x∈[5，6]，

12x2－144x+478， x∈（6，7]，

與該處實(shí)際結(jié)果的誤差為

∫75|y－y|dx=17.333.

根據(jù)實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的分析可知：F-TSK插值推理方法較TSK+、CRC方法適用插值推理的范圍更廣且得到的插值推理結(jié)果誤差更小.

5 結(jié)束語

本文提出了基于廣義模糊劃分建立的廣義模糊變換，并給出了其相關(guān)性質(zhì)，在一定程度上擴(kuò)大了模糊變換的適用范圍，從而豐富了模糊變換的內(nèi)容，使得一般函數(shù)可以被更多類型的模糊集線性表示.本文將廣義模糊變換應(yīng)用到稀疏規(guī)則庫的推理中，建立了基于廣義模糊變換的TSK插值推理方法（F-TSK），該方法較TSK+和CRC方法，不僅減少了計(jì)算量，而且提高了推理結(jié)果的精度.此外，本文僅討論了在廣義的模糊劃分中逆模糊變換的逼近精度，而不同類型模糊集組成的廣義模糊劃分及廣義逆模糊變換產(chǎn)生的逼近精度將是后續(xù)的研究方向.

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Generalized Fuzzy Transforms and Its Applicationin Fuzzy Interpolation Reasoning

HE Hongmei， PAN Xiaodong， PENG Xiaoyu

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， Sichuan）

Based on generalized vague partition， a new expression formula for generalized fuzzy transformation is proposed， where the essential characteristics of generalized fuzzy transformation and some approximation properties of generalized inverse fuzzy transformation are described. On this basis， a TSK fuzzy interpolation inference method based on generalized fuzzy transformation is designed for the TSK sparse rule library， and some basic properties of this method are discussed. Finally， the two experiments are compared with existing methods to further demonstrate the effectiveness of the proposed method.

fuzzy partition; generalized fuzzy transforms; TSK fuzzy system; fuzzy interpolation inference

2020 MSC：65R10

（編輯 余 毅）