談高中數(shù)學分類討論

分類討論思想與方法在學生學習與人們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見，它也貫穿于整個高中數(shù)學教與學過程，從第一章節(jié)的集合，一直到最后的摡率與統(tǒng)計，每一處知識點與應用題目都有分類討論的身影，學生們通過知識的學習、教師對典例的講解和大量題目的實踐練習，都積累了很多的解題經(jīng)驗與技巧，但對于絕大多數(shù)學生來說，還沒有把握解決分類討論題目，常在問題入手突破、具體分類實施、收尾總結(jié)等環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤，原因在于對分類討論的意義、標準、原則、架構(gòu)等還沒有清晰的認識。

一.理論體系

1.分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想合稱為數(shù)學四大思想。分類討論思想是把所研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，即按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想。

2.分類討論法是一種不得己而為之的方法，是一種被動解決問題的行為。處理問題時，不能用其他方法整體解決，只能化整為零，各個擊破，歸類處理。

3.分類討論原則：不重不漏，即分出的各類情況不能出現(xiàn)重復，也不能出現(xiàn)遺漏情況。

4.解答分類討論問題時的基本步驟是：先要確定討論對象及要討論對象全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，原則是標準統(tǒng)一、不重不漏；再次對所分類分別進行研究，獲取每一類的結(jié)論，可能對有的類還需進一步分類討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后歸納小結(jié)，得出結(jié)論.注意分類時要統(tǒng)一標準。

二.實例辯析

例一已知二次函數(shù)f（x）＝x2+2x+3，當x?[t，t+1]時，求f（x）的最小值g（t）.

錯解：由f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，x?[t，t+1]，

知函數(shù)的對稱軸為直線x=1，

所以當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g（t）=f（1）=2;

當t+1lt;1，即tlt;0時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，

所以g（t）=f（t+1）=t2+2.

當tgt;1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，所以

g（t）=f（t）=t2-2t+3.

綜上可得g（t）=

錯因：分類標準不清楚，應以單調(diào)性為標準分3類，

當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，

當t≤0時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，

當0lt;tlt;1時，f（x）在[t，t+1]上不是單調(diào)函數(shù)。

正確結(jié)果應為g（x）=

例二已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+1|，作函數(shù)f（x）的圖像。

分析：f（x）是分段函數(shù)，所以按其零點分區(qū)間去掉兩個絕對值來分類討論

解：當x≤-1時， f（x）=3-x-x-1=-2x+2;

當-1lt;x≤3時，f（x）=3-x+x+1=4;

當xgt;3時，f（x）=x-3+x+1=2

即f（x）=""""""""" （圖像略）

例三 設x?R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).

例如：[-5.1]=-6，[π]=3.巳知函數(shù) f（x）=，則函數(shù)y=[f（x）]的值可能為_________。

解析：要求[f（x）]的可能值，先要弄清f（x）的值域，

當x=0時，f（x）=0；當x≠0時，f（x）=

∵?（-∞ ，-2]U[2，+∞）∴f（x）?[-，0）U（0，].

綜上，得f（x）?[-，].

當f（x）?[-，0）時，[f（x）]=-1；當f（x）?[0，]時，[f（x）]=0.

所以填空為 -1或0.