數(shù)學建模素養(yǎng)視域下的可視化作業(yè)設計探討

摘 要：在新課標視域下，教師應立足數(shù)學建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，為學生設計可視化作業(yè)，使學生在可視化作業(yè)訓練中經(jīng)歷“提取關鍵信息、建模解釋、解決問題”的學習過程以及思維訓練過程，最終實現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)的提升.

關鍵詞：高中數(shù)學；可視化作業(yè)；數(shù)學建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）33-0008-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡介：符鷹（1988.4—），女， 湖南省邵陽人，碩士，中學一級教師， 從事高中數(shù)學教學研究.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》聚焦新時代的人才培養(yǎng)目標，基于數(shù)學學科的特點，確立了培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的課程教學目標.數(shù)學建模作為高中數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成，以現(xiàn)實生活中常見的問題作為載體，從中抽象出數(shù)學問題，并結合所學知識構建數(shù)學模型、解決數(shù)學問題.具體來說，數(shù)學建模的過程就是“實際問題—建立數(shù)學模型—求解數(shù)學模型—解決實際問題”.作業(yè)作為數(shù)學課堂教學的重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)最佳切入點.可視化作業(yè)主要依托文字、圖形等形式，將內(nèi)隱的思維呈現(xiàn)出來，使學生在可視化作業(yè)中錘煉解題思路，提升解題技巧，促進高階思維發(fā)展，真正提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng).鑒于此，筆者結合“三角函數(shù)”單元作業(yè)設計為例，針對數(shù)學建模視域下可視化作業(yè)的設計策略進行了詳細的探究.

1 依托思維導圖，促進作業(yè)設計思路可視化

在設計作業(yè)之前，必須對其進行系統(tǒng)化思考和理性規(guī)劃.通常，教師在設計作業(yè)時，應遵循這一思路展開：思考作業(yè)所達成的總體目標—分析作業(yè)設計要素（學情分析、課標分析、實現(xiàn)目標分析）—作業(yè)概況分析（作業(yè)數(shù)量、題目分布、作業(yè)形式）—具體作業(yè)設計—反思和完善.為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，教師可將上述作業(yè)設計思路繪制成思維導圖，使其直觀地呈現(xiàn)出來.例如，在“三角函數(shù)”單元作業(yè)設計中，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，教師在設計作業(yè)之前，就將“以‘三角函數(shù)’為載體，培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)”作為作業(yè)設計總目標.接著，又遵循“作業(yè)要素分析”“作業(yè)概況分析”“具體作業(yè)設計”“反思與完善”的順序進行規(guī)劃.

“作業(yè)要素分析”主要包含了“教學內(nèi)容和課程要求分析”“學情分析”“實現(xiàn)目標策略”三個部分.首先，教學內(nèi)容和課程要求分析：三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型.對此，在最新版的課程標準中，明確提出了“能夠利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型”的要求，倡導教師在組織課堂教學時，能夠結合教學內(nèi)容，為學生呈現(xiàn)實際問題，使得學生在實際問題情境中，通過構建數(shù)學模型的方式，達成教學目標.鑒于此，教師在設計可視化作業(yè)時，應科學選擇能夠讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模過程的問題，使學生在作業(yè)中，學會選擇合適的數(shù)學模型、確定參數(shù)、建立模型、求解模型等，最終結合所學的知識，解決實際問題.其次，學情分析：學生在學習“三角函數(shù)”之前，已經(jīng)通過學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，形成了運用函數(shù)模型解決簡單問題的技能，并在經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程后積累了一定的數(shù)學建模經(jīng)驗.本章節(jié)是運用函數(shù)模型刻畫周期現(xiàn)象，并解決和周期現(xiàn)象相關的現(xiàn)實問題，具有一定的難度.最后，實現(xiàn)目標策略建模素養(yǎng)視域下，教師在設計可視化作業(yè)時，應關注三個目標：

①對數(shù)學研究對象進行抽象，為學生呈現(xiàn)問題情境，使學生在熟悉的實際問題中，將數(shù)學問題抽象出來，并利用數(shù)學語言表述出來；

②加強數(shù)學知識的應用，指導學生建立數(shù)學模型，并運用所學知識分析和解決現(xiàn)實問題，在促進知識遷移的同時，強化學生的建模意識；

③將數(shù)學建模的全部過程呈現(xiàn)出來，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、建立模型、改進模型、解決問題等過程.

“作業(yè)概況”主要包含了“作業(yè)數(shù)目與內(nèi)容分布”“作業(yè)形式與來源”“難度與學生完成時間”三個部分.其中，“作業(yè)數(shù)目與內(nèi)容分布”：鑒于本章節(jié)內(nèi)容，教師在設計作業(yè)時，應聚焦學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，為學生布置了6道題目.在這6道題目中，4道題目涉及了刻畫周期現(xiàn)象，2道題目涉及了三角恒等變換；“作業(yè)形式與來源”：這6道題目以解答題為主，且三分之一的題目來源于各個版本教材，三分之二的題目則是改編題和原創(chuàng)題，只有1道題目屬于開放性題目，旨在引領學生在作業(yè)中經(jīng)歷數(shù)學建模的全部過程；“難度與學生完成時間”：鑒于學生的實際情況，教師將作業(yè)劃分為基礎題、提升題、拓展題三個部分，并將其比例控制在1∶3∶2，使得完成整個作業(yè)的時間控制在90分鐘之內(nèi).

2 基于思維過程，使作業(yè)設計過程形象可視

數(shù)學建模素養(yǎng)下，教師在設計可視化作業(yè)時，應充分借助思維導圖，將作業(yè)設計過程呈現(xiàn)出來，使作業(yè)設計思路清晰可見^[1].對“三角函數(shù)”這一單元來說，教師在設計可視化作業(yè)時，為學生設計了如下思維過程，見表1.

作業(yè)目標：

①熟悉的實際情況中模仿任意角的刻畫過程，解決簡單周期性問題.

②運用三角恒等變換知識解決測量問題、最值問題.

③能夠在關聯(lián)情境中抽象出周期問題，并運用三角函數(shù)進行表達.

④能夠理解模型中的參數(shù)意義，分析實際問題，提出開放性問題解決方案.

⑤能夠在比較復雜的情景中，結合所學的知識，遷移所學方法，提出現(xiàn)實問題解決方案，并通過收集數(shù)據(jù)、建立模型、改進模型等過程，最終解決現(xiàn)實問題.

作業(yè)題目：

題目1 今天是星期三，那么n天之后是星期幾？

題目2 如圖1所示，有AB，CD兩座建筑物，其高度分別為9 m、15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求AB，CD兩座建筑物底部之間的距離？

題目3 小區(qū)里有一個圓形噴泉，其半徑為10 m，挨著噴泉的是一個以噴泉為圓心的圓形跑道（其寬度忽略不計），小明的爸爸在距離噴泉中心25 m處的涼亭中休息，小明則以60 m/min的速度在圓形跑道中散步.如果想要知道t min時，小明和爸爸之間的距離，還需要增加什么條件？請根據(jù)所增加的條件，求出t min小明和爸爸之間的距離？

題目4 屋頂?shù)臄嗝娉实妊鰽BC，其中AB=BC，橫梁AC的長度為定值2l，當屋頂?shù)膬A斜角α為多少時，雨水從屋上流下來所需的時間最短？

題目5 有一對相互咬合轉動的圓形齒輪，大齒輪、小齒輪的半徑分別為5 cm、3 cm，已知大齒輪轉1圈所需要的時間為2 min，從大齒輪上一點A和小齒輪上一點B第一次相遇開始計時.

（1）兩點第二次相遇所需要的時間為多少？

（2）兩點第一次相距最遠時所需要的時間為多少？

（3）經(jīng)過20 min時，點B和大齒輪中心的距離為多少？

（4）經(jīng)過t min，A，B兩點之間的距離為多少？

題目6 天安門廣場的國旗，每天都伴隨著太陽緩緩升起，伴隨著日落降下來.結合相關統(tǒng)計資料，統(tǒng)計一年中的日出和日落時間.班級中有一位同學打算在“五一”假期到北京去看升旗儀式，他應該在幾點鐘之前到達？

3 基于問題鏈，對作業(yè)設計進行可視化反思

作業(yè)設計是一項系統(tǒng)化的工程，不僅僅要具備明確的設計思路，還應結合設計總體規(guī)劃，逐一分析設計出來的題目.另外，教師還應結合學生的作業(yè)完成情況進行反思，明確作業(yè)設計的優(yōu)勢和不足，并對其進行改進和完善.具體來說，教師在作業(yè)反思中，可充分利用問題鏈這一方式，將作業(yè)反思思路清晰地呈現(xiàn)出來.在“三角函數(shù)”單元作業(yè)設計中，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，教師在設計完數(shù)學作業(yè)之后，就聚焦數(shù)學建模素養(yǎng)，圍繞所設計的6道作業(yè)題目，設計了一系列的反思問題.

問題1 通過這6道作業(yè)，是否達到了提升學生數(shù)學建模素養(yǎng)的目標？是否從關聯(lián)的情景中設置數(shù)學作業(yè)？作業(yè)是否體現(xiàn)了數(shù)學抽象、現(xiàn)實問題數(shù)學化的過程？作業(yè)是否提升了學生運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題、運用數(shù)學方法建構數(shù)學模型和解決問題的能力？作業(yè)是否培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力？

問題2 作業(yè)設計是否能契合學生的實際情況？其難度是否合適？作業(yè)數(shù)量是否適中？作業(yè)對于數(shù)學建模素養(yǎng)的水平把握是否恰當？

問題3 需要對設計好的作業(yè)做出哪些改進和完善？

通過問題鏈的引領，作業(yè)反思過程能夠更加可視化，這可以促使教師在反思中進行優(yōu)化和改進.如作業(yè)3和作業(yè)5還可以持續(xù)優(yōu)化，雖然兩道題目都是運用數(shù)學模型解決周期現(xiàn)象問題，但形式比較單一，基本上都是以圓周運動作為載體；作業(yè)6綜合性不夠強，學生無法很好地從中經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程.

如此一來，在問題鏈的引領下，教師通過有效的反思、完善與改進等，真正提升了課后作業(yè)設計質量，使得學生在高質量的作業(yè)中，逐漸提升了自身的數(shù)學建模素養(yǎng)^[2].

4 結束語

綜上所述，作業(yè)設計作為課堂教學活動的重要組成，承擔著多重育人價值.核心素養(yǎng)下，設計可視化數(shù)學作業(yè)，發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，已經(jīng)成為高中數(shù)學教師研究的重點.鑒于此，教師必須立足于數(shù)學建模素養(yǎng)和可視化作業(yè)間的內(nèi)在聯(lián)系，通過思維導圖作好總體規(guī)劃設計，并將作業(yè)設計過程直觀地呈現(xiàn)出來，最終經(jīng)過問題鏈的引導，在反思中不斷提升作業(yè)設計質量，使學生在高質量的課后作業(yè)中，提升數(shù)學建模素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 華燕萍.指向數(shù)學建模素養(yǎng)的可視化作業(yè)的設計與實施探討[J].華夏教師，2021（16）：71-72.

[2] 張治才.培養(yǎng)高中生數(shù)學建模素養(yǎng)的可視化作業(yè)設計：以“三角函數(shù)”單元為例[J].中學數(shù)學教學參考，2023（21）：11-13.

[責任編輯：李 璟]