俄羅斯方塊中的軸對稱

1984年的時候，還沒有多少人認識阿列克謝，帕基特諾夫．當時，29歲的帕基特諾夫還只是蘇聯(lián)科學院計算機中心的一位普通工程師，他熱衷于開發(fā)電腦游戲，不過他開發(fā)的游戲賣得并不好，那年夏天，他突然想到了一個新點子——讓不同形狀的積木落進一個長方體容器里，在容器底部堆疊起來．在兩位同伴的協(xié)助下，他很快編寫了這個游戲程序．雖然他預感到這個游戲可能會火，但實際情況還是令他瞠目結舌，這個游戲在莫斯科迅速流行起來，并很快風靡全球．在此后的25年里，這個游戲被移植到了幾乎所有的電腦系統(tǒng)和游戲平臺上．這個游戲還產生了不計其數的變種，衍生出各式各樣的玩法，可以說是解謎游戲大家庭里最重要的成員之一．它就是無人不知無人不曉的經典游戲——俄羅斯方塊．

俄羅斯方塊的游戲規(guī)則非常簡單：屏幕上方隨機出現一塊由小正方形拼成的積木，并不斷下落；玩家需要對積木進行旋轉，并左右調整積木的位置，讓它在一個合適的位置落地．這塊積木落地后，屏幕的上方又會出現下一塊積木……如果屏幕上的某一行被積木填滿，這一行就會被消除，什么時候積木堆到了屏幕的頂端，游戲就結束，玩家就輸掉了．

這是一種前所未有的游戲類型，規(guī)則簡潔而又讓人著迷，獲得巨大的成功也是理所當然的事情．游戲規(guī)則的簡潔之處，還與積木的形狀有關，俄羅斯方塊里的每一種積木都恰好由4個小正方形拼成，因此，俄羅斯方塊里的積木只有7種（如圖1）．

大家可能會覺得奇怪：第4種積木和第5種積木難道不是一種嗎？確實不是，在游戲屏幕里，積木是不允許左右翻轉或者上下翻轉的，每次旋轉只能順時針或逆時針旋轉90°，第4種積木和第5種積木雖然是鏡像關系，但其中一個不管旋轉幾次，都無法變成另外一個．所以，這其實是兩種不同的積木．類似地，最后的兩種積木，它們也算作不同的積木，不過，前面三種積木為什么沒有鏡像版本呢？原因很簡單：前三種積木本身就是軸對稱的，所以它們不“畏懼”旋轉．

雖然其中四種積木本身并不是軸對稱圖形，但利用它們很容易拼出軸對稱圖形，以第4種積木為例，如果我們手中有很多塊這種形狀的積木，就可以拼出圖2中的這些軸對稱圖形．

這并不令人感到驚訝，雖然這種形狀的積木并不對稱，但偶數個這樣的積木可以對稱地擺放，出現對稱性也是理所當然的事情，

能不能用奇數個這樣的積木拼出一個軸對稱圖形呢？答案仍然是肯定的，我們可以分別用3塊和5塊積木拼成下面的圖形（圖3和圖4）．

你或許注意到了，這種用奇數個L形積木搭出的軸對稱圖形，對稱軸都是沿著小正方形對角線方向的，是45°傾斜的直線，能否用奇數個這樣的積木拼出一個左右對稱或上下對稱的圖形呢？可以證明，這是永遠辦不到的．

假設我們要把若干個L形積木放進正方形網格里，組成一個左右對稱的圖形，它的對稱軸位置有兩種情況：穿過其中一列正方形的中心，以及正好和某根豎直的網格線重合．

如果是前一種情況，那就把各列正方形交替染成黑白二色，使得這條對稱軸穿過的正好是一列白色正方形（如圖5）．由于整個圖形關于對稱軸左右對稱，因此左半部分覆蓋了多少個黑色小正方形，右半部分也會覆蓋同樣多個黑色小正方形．這說明，整個圖形覆蓋的黑色小正方形的個數為偶數．

如果是后一種情況呢？同樣把各列正方形交替染成黑白二色（如圖6）．由于整個圖形關于對稱軸左右對稱，因此左半部分每覆蓋一個黑色小正方形，右半部分就會對應地覆蓋一個白色小正方形；類似地，左半部分每覆蓋一個白色小正方形，右半部分也就會對應地覆蓋一個黑色小正方形．這說明，整個圖形覆蓋的黑白小正方形的個數相同，由于整個圖形是由若干個L形積木組成的，每個積木包含4個小正方形，因此整個圖形覆蓋的小正方形總數是4的倍數．黑色小正方形占其中的一半，因而有偶數個．

然而，這兩個網格里的任何一個L形積木，總會覆蓋奇數個黑色小正方形，因此，要想讓整個圖形覆蓋偶數個黑色小正方形，L形積木也得有偶數個，這就證明了，奇數個L形積木無法形成一個左右對稱的圖形．根據同樣的道理，奇數個L形積木也無法形成一個上下對稱的圖形．