再議軸對稱

許多剪紙作品都是對稱圖案，例如，沿“雙鵲登枝圖”（圖1）正中的虛線將其對折，左右兩邊的圖案會完全重合，它的剪法通常是先把一張紙對折，在折痕左邊剪出如圖2所示的圖案，再把這張紙翻開鋪平就得到完整的圖案．像這樣的圖案，被稱為左右對稱，又如，沿“天鵝戲水圖”（圖3）正中的虛線將其對折，則上下兩邊的圖案（天鵝與其倒影）會完全重合，像這樣的圖案，被稱為上下對稱．

上下對稱和左右對稱都屬于圖形對稱中的同一種類型——軸對稱，下面說說關(guān)于軸對稱的幾個基本概念，由此加深對軸對稱的認識．

一、兩點的軸對稱

每個圖形都是由無數(shù)個點集合而成的，我們先從點的軸對稱說起，在一張紙上任意畫出兩個點，你能把這張紙折疊一次使這兩點重合嗎？請你試一試，如果試成了，將紙鋪平，觀察這兩點與折痕的位置關(guān)系，你會發(fā)現(xiàn)：這兩點分別在折痕的兩邊，而且折痕垂直平分連接這兩點的線段，即折痕在這條線段的垂直平分線上．

如圖4，設(shè)平面上有兩點A和B，如果直線l是線段AB的垂直平分線，則稱點A和點B關(guān)于直線l對稱，或者說點A和點B成軸對稱，直線l是它們的對稱軸，例如，圖1中左右兩只喜鵲的上喙尖是成軸對稱的兩點，對稱軸是正中豎直虛線所在的直線，圖3中天鵝與其倒影的兩尾尖是成軸對稱的兩點，對稱軸是正中水平虛線所在的直線．

平面上任意兩點都是成軸對稱的，它們有且僅有一條對稱軸．兩點的對稱軸把平面分為兩部分，每一部分稱為半平面，這兩點分別在兩個半平面上，如果把其中一個半平面沿對稱軸翻轉(zhuǎn)180°，則隨著兩個半平面重合，這兩點也一定重合．

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，1）和點B（-2，1）的對稱軸是y軸，點A（2，1）和點C（2，-1）的對稱軸是x軸，點A（2，1）和點D（1，2）的對稱軸是過原點并且平分∠xOy的直線l．想一想：點（a，b）關(guān)于x軸和y軸的對稱點分別是什么？

如下頁圖6，平面上兩點A，B的對稱軸l與線段AB交于點D．在l上任取一點C，連接線段AC與BC，則一定會有AC=BC，∠ACD=∠BCD.同學(xué)們可以利用全等三角形證明這個結(jié)論．

“最短路線”問題的解法也用到了兩點的軸對稱，如圖7，一個人要從A地到直馬路l1的路邊送貨，再到直馬路l2的路邊接貨，并把接到的貨送到B地，下面為他設(shè)計做完這些事的最短路線.A和B是定點，l1和l2是定直線，送貨點C和接貨點0分別是l1和l2上的動點，問題是：點C和點D選在何處做完事的路線最短？答案是：取點A關(guān)于直線l1的對稱點A'，點B關(guān)于直線l2的對稱點B'，連接A'，B'，線段A'B'與l1，l2分別交于點C和點0，折線ACDB即為最短路線，你能解釋為什么這樣做嗎？

二、兩個圖形的軸對稱

如圖8，△ABC和△A'B'C'上的點可以一一對應(yīng)，如點A對應(yīng)點A'，點B對應(yīng)點B'，點C對應(yīng)點C'，點D對應(yīng)點D，……并且每對對應(yīng)點都關(guān)于同一直線l對稱，即l是線段AA'，BB'，CC'，DD'等共有的垂直平分線．如果把圖形沿l對折，則這兩個三角形重合．

一般地說，如果兩個圖形上所有的點可以一一對應(yīng)，并且每對對應(yīng)點都關(guān)于同一直線對稱，則稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，或者說這兩個圖形成軸對稱，這條直線是它們的對稱軸．例如，圖8中△ABC和△A'B'C'是成軸對稱的兩個圖形，直線l是它們的對稱軸．

兩個圖形成軸對稱，可能它們各自完整地分布在對稱軸兩側(cè)，如圖8；也可能每個圖形都被對稱軸分為兩部分，如圖9中△ABC和△A'B'C'的對稱軸l穿過每個三角形．

在同一平面內(nèi)，如果兩個圖形成軸對稱，則對稱軸把這個平面分為兩個半平面，把其中一個半平面沿對稱軸翻轉(zhuǎn)180°，則原來兩個圖形一定重合．由此可知，成軸對稱的兩個圖形一定全等．

兩個圖形成軸對稱有上下對稱、左右對稱，此外還包括其他情形，例如，圖10中兩個三角形關(guān)于斜線l成軸對稱．

三、軸對稱圖形

一般地說，如果一個圖形被一條直線分為兩部分，這兩部分圖形關(guān)于這條直線對稱，則這整個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸．

軸對稱圖形的任何一條對稱軸，都把它分為全等的兩部分．你能找出圖11中窗花的所有對稱軸嗎？

軸對稱圖形是對一個圖形整體而言的，它內(nèi)部包含成軸對稱的兩部分，它們的公共部分在對稱軸上．例如，下頁圖12中的蝴蝶風(fēng)箏是一個軸對稱圖形，對稱軸把它分為左右對稱的兩部分，對稱軸上的點為兩部分共有，正因為風(fēng)箏是軸對稱圖形，它才能平穩(wěn)地飛行．同理，飛機的造型也是軸對稱的（圖13）．

由上可知，把一個軸對稱圖形沿對稱軸一分為二，則得到成軸對稱的兩個圖形．反之，把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體．則得到一個軸對稱圖形．

圖形的軸對稱能給人以美感，著名建筑學(xué)家梁思成說：“中國建筑的傳統(tǒng)之一，是對中軸對稱線的鐘愛與恪守，”北京紫禁城（故宮）是中國建筑的典型代表，它的整體布局和宮殿造型都體現(xiàn)了軸對稱（圖14）．

四、軸對稱變換

把一個圖形按照某種方式變化為一個新圖形，叫作圖形的變換，例如，把圖形G中的每一點按照同一方向移動同一距離，得到新圖形C'，這就是平移變換，如果把圖形G中的每一點都反射到關(guān)于同一條直線的對稱點，得出的這些點又構(gòu)成一個新圖形G＂，這就是軸對稱變換．

對有些圖形實施軸對稱變換時，可以只針對一些關(guān)鍵點進行操作，圖15是一個五角星的左半部分，如要補畫出完整的五角星，則可以直線AF為對稱軸，把左半部分的點B，C，D，E作為關(guān)鍵點，進行軸對稱變換．

如圖16．依次得出對稱點B'，C'，D'，E'，再順次連接AB'．B'C'．C'D'．D'E'，E'F，便得到了完整的五角星．

軸對稱變換不僅可用于作圖，還可用于證明和計算，

例 如圖17，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B.點E在AD上，AE：ED=m：n.試在BC上找出點F，使BFFC=m：n.

分析：本題很容易找出點F的位置，但要證明解法的合理性，就需以軸對稱變換為依據(jù)．

解：如圖18，過點E作EF∥CD，EF交BC于點F，則BF：FC=m：n.下面證明這種解法的合理性．

作CD的垂直平分線l，分別交CD，AB于點G，H．連接CH，DH，則CH=DH，于是∠HDC=∠HCD.又AB∥CD，故∠HDC=∠AHD，∠HCD=∠BHC、于是∠AHD=∠BHC.又∠A=∠B，故△AHD≌△BHC（AAS），于是AH=BH.又l⊥AB，故l是AB的垂直平分線，因此，點A與點B關(guān)于l對稱，又點D與點C關(guān)于l對稱，所以線段AD與BC關(guān)于l對稱，因軸對稱變換不改變圖形的形狀和大小，故AD=BC.與以上推理相同，可知點E與點F關(guān)于l對稱，BF=AE，F(xiàn)C=ED.又A E：ED=m：n，故BFFC=m：n.