普林斯頓拓撲學派

普林斯頓拓撲學派在美國甚至在世界上都是一個極具影響力的學派。普林斯頓數學學派在20世紀初快速崛起，20世紀30年代快速成長為美國數學界的新生代——普林斯頓大學數學系和普林斯頓高等研究院數學部，在拓撲學、代數學、數論、運籌學和博弈論方面做出了非凡的研究成果，可以媲美于歐洲數學，并持續(xù)到20世紀50年代。

新澤西學院的初衷是為基督教培養(yǎng)長老，不搞科研，1896年才改名為普林斯頓大學。1903年威爾遜出任大學校長，才重視起學術和科研。1933年普林斯頓高等研究院建立，獨立于普林斯頓大學，但兩個機構可以互使設備，也可以互加研討會。高等研究院成立的頭四年，組織了許多拓撲學活動，如萊夫謝茨和亞歷山大共同主持拓撲學為期兩年的討論班等。萊夫謝茨和亞歷山大帶領拓撲學數學家逐步發(fā)展了普林斯頓拓撲學派。

普林斯頓拓撲學派的代表性人物

普林斯頓拓撲學派的奠基人——法恩。亨利·伯查德·法恩于1858年9月14日在賓夕法尼亞州的錢伯斯堡出生，其父親去世較早，后為了他們的教育，一家人于1875年來到普林斯頓。法恩1876年進入新澤西學院，學習成績一直名列前茅，于1880年以一等榮譽獲得文學學士學位?；魻査固氐掠?875年畢業(yè)于普林斯頓大學，在約翰·霍普金斯大學師從西爾維斯特后，于1878年至1981年在普林斯頓大學擔任“研究生數學講師”?；魻査固氐聦⑺臒崆閭鬟_給了一小部分本科生，尤其是法恩，因為法恩天生喜歡邏輯問題。

畢業(yè)后法恩留校曾擔任實驗科學研究員，但他對其不感興趣。1881年到1884年他出任數學導師的職位。為了更好地進行數學研究，1884年他去萊比錫跟隨克萊因學習，1885年獲得了博士學位，同年的夏季學期去柏林聽了克羅內克的講座。

在短暫接觸數學界的主流之后，法恩想把最先進的知識帶回普林斯頓，于是他在普林斯頓大學擔任助教，一直工作到1889年。在此期間，他在《美國數學雜志》上發(fā)表了幾篇關于微分方程方面的文章：《論雙曲率曲線的奇點》（1886年），1887年將其結果擴展到n維；《論微分方程定義的函數以及普伊塞多邊形構造對這些方程的擴展》（1889年）；《常微分方程的奇異解》（1890年）。1889年法恩晉升為教授，1898年被任命為Dod數學教授，法恩也是美國數學會的創(chuàng)始人員。

在伍德羅·威爾遜管理普林斯頓大學期間，法恩是學院院長，法恩還身兼數學系主席、教務主任和科學系主任。在這段時間，法恩出版了著作《大學代數》《坐標幾何》和《微積分》，這些都成了該大學的教科書。在威爾遜的推動下，1905年普林斯頓大學開始實行學前教育制度，以提供更小的班級和更個性化的教學。法恩是這一制度的堅定支持者。1900年，甚至在成為院長之前，法恩就邀請路德·法赫勒·艾森哈特加入了普林斯頓大學的教師隊伍；1905年，維布倫和布利斯加入了法恩和艾森哈特的行列。韋德伯恩幾年后從芝加哥來到了普林斯頓。布利斯回到芝加哥后伯克霍夫從1909年到1912年來到普林斯頓。法恩顯然是想把芝加哥眾多優(yōu)秀博士中的佼佼者吸引到普林斯頓。在這群杰出的年輕數學家中，艾森哈特和維布倫給普林斯頓留下了最深遠影響，使它成為一個偉大的幾何和拓撲學中心。晚年的法恩抓住了另一個促進科學發(fā)展的機會，主要由于他的信任，普通教育委員會向普林斯頓大學提供了一百萬美元用于純科學研究，到1928年籌集了300萬美元?？梢哉f法恩是普林斯頓數學學派的元老級人物。

1928年12月21日法恩與世長辭，為了紀念他，普林斯頓大學數學系有一座以他名字命名的大樓——法恩樓。

普林斯頓拓撲學派的鼻祖——維布倫。奧斯瓦爾德·維布倫1880年６月25日在美國迪科拉市出生，是挪威后裔。后遷往愛荷華市，在那維布倫不僅完成了初等教育，還在1894年進入愛荷華州立大學學習，1898年畢業(yè)。1900年他又在哈佛大學取得第二個學位。

1905年法恩將維布倫收至普林斯頓大學麾下，在這一年維布倫發(fā)表了《非度量位置分析平面曲線理論》，首次嚴格證明了若爾當曲線定理。實際上，維布倫早在1905年證明若爾當曲線定理時就開始思考拓撲學的問題。1912年維布倫和亞歷山大聯合發(fā)表了論文“n維流形”。1916年維布倫受到美國數學會的邀請做討論會的報告，他選擇了位置分析這一主題。在美國數學會所做的６個報告中，維布倫發(fā)展了貝蒂數、撓系數、基本群的概念，并介紹了拓撲分類的問題。正是維布倫，數學家接觸到了代數拓撲學的概念，該討論會的報告1922年才成書《位置分析》出版。1931年，為了將微分幾何建立在嚴格的基礎上，美國數學家維布倫與學生懷特黑德在組合拓撲學方面首次以三組公理給出了微分流形的抽象內蘊定義。維布倫還培養(yǎng)了亞歷山大，也招攬來了萊夫謝茨，在他們的努力下，普林斯頓一躍成為世界領先的拓撲學中心。

維布倫在普林斯頓大學教授數學27年，1930年協助籌建普林斯頓高等研究院，建成之后，1932年就留在了高等研究院，并且他是該院的第一位教授。研究院又吸納亞歷山大、愛因斯坦、馮·諾依曼、韋爾、莫爾斯等著名學者大家，使普林斯頓成為強大的學術中心。20世紀30年代至40年代，維布倫在安置歐洲移民數學家時也發(fā)揮了重要作用，促進了美國數學的繁榮發(fā)展。同時維布倫也是美國數學會的活躍成員，通過向普林斯頓大學和美國數學會籌集資金支持數學研究。

1960年8月10日在緬因州布魯克林，維布倫與世長辭。美國數學會設立了維布倫幾何獎以獎勵在幾何或是拓撲領域有杰出貢獻的數學家。

普林斯頓拓撲學派的精英——亞歷山大。亞歷山大于1888年9月19日出生在新澤西州的海布萊特。亞歷山大家境富裕，1906年在普林斯頓大學接受教育，師從維布倫，1910年獲得學士學位，1911年取得碩士學位，1915年在格隆沃爾的指導下也獲得了博士學位。

在1915年，亞歷山大證明了三維流形M3的貝蒂數的拓撲不變性，同年也給出了同調的拓撲不變性一個證明。在流形的拓撲分類問題上，1919年，亞歷山大舉出了一個反例，兩個棱鏡空間同調及π1對應相等，但不同胚。20世紀20年代亞歷山大對于紐結和環(huán)結的分類方面也做了大量工作。1922年著名的亞歷山大對偶定理影響著同調理論的發(fā)展。1924年亞歷山大發(fā)現的角球（面），其內部不再是一個球體，大大推動了這部分近20多年對低維拓撲學的發(fā)展。1926年對復合體的同調群的拓撲不變性做了新的證明。1928年利用基本群獲得了分類紐結的亞歷山大多項式。1935年參加了在莫斯科舉辦的國際拓撲學大會，提出了上同調的概念。亞歷山大20世紀20年代都在普林斯頓大學，普林斯頓高等研究院建成之后，他成為了該研究所的教員，一直待在研究院直到退休。亞歷山大是一位卓越的拓撲學家，是普林斯頓拓撲學派當之無愧的精英人員。

普林斯頓拓撲學派的中堅力量——萊夫謝茨。萊夫謝茨1884年9月3日出生在俄羅斯莫斯科，但從小待在法國。1902年至1905年，萊夫謝茨在巴黎中央藝術與制造學院接受工程師培訓，1905年獲得了“藝術與制造工程師”學位。同年又移居到美國，在鮑德溫火車頭工廠短暫工作些許時日，1907年到1910年在匹茲堡的西屋電氣公司工作。不幸的是在1907年11月，一次實變壓器爆炸事故燒毀了他的雙手。正是這次變故，萊夫謝茨將工作重心轉向了數學，通過自學成為了克拉克大學的研究生并與1911年取得數學博士學位。獲得數學博士學位后，他又在中西部的大學獲得一系列職位：內布拉斯加大學講師、堪薩斯大學講師、堪薩斯大學助理教授、堪薩斯大學副教授。1924年萊夫謝茨受邀來到普林斯頓，之后他的研究逐漸轉向代數拓撲，和其他拓撲學家一起將普林斯頓建設成世界數學的中心。

在內布拉斯加大學和堪薩斯大學時，萊夫謝茨寫了一系列關于拓撲學的文章，1921年發(fā)表在《美國數學學會會刊》的《關于代數變種的某些數值不變量及其在阿貝爾變種的應用》和1924年出版的專著《位置分析與代數幾何》包含著這一時期的重要成果。1923年，萊夫謝茨發(fā)表了《流形的連續(xù)變換》，他發(fā)現一個用于研究流形的連續(xù)映射，特別是不動點問題的新方法。1926年，發(fā)表《復形和流形的交與變換》主要證明了無邊界緊致可定向流形的不動點定理。1927年《帶邊界的流形的變換》把不動點理論擴展到了有邊界流形。1929年，《拓撲學的對偶關系》不僅擴展了龐加萊的工作，并對已知的對偶關系證明進行了修正和一定程度上的擴展。1930年，萊夫謝茨和福萊克斯尼爾共同發(fā)表了《關于拓撲流形貝蒂數的對偶定理》，得到的萊夫謝茨對偶定理可以應用到組合流形連續(xù)變換的重合點和不動點問題上。萊夫謝茨在拓撲學方向也出版了著作《拓撲學》和《代數拓撲學》。

萊夫謝茨除了代數拓撲的非凡成就，在代數幾何和微分方程也頗有建樹。他對數學和普林斯頓大學的影響非常大，非常積極，也深刻影響了美國的數學。1972年10月5日萊夫謝茨患病逝世于普林斯頓。

普林斯頓拓撲學派的后起之秀——惠特尼。惠特尼1907年出生在紐約州。其父親于1911年因病去世，母親帶著不滿4歲的惠特尼搬到康涅狄格州的紐黑文生活。1921年母親帶著他和妹妹又轉去瑞士定居。1923年惠特尼回到美國，次年進入耶魯大學的物理系，1928年獲得學士學位。出于對音樂的喜愛他又拿到了音樂學位。后來進入哈佛大學轉學數學研究四色問題，師從伯克霍夫。關于這方面的研究，他在短短兩年內連發(fā)10篇文章，1932年獲得了博士學位，兩年后受聘為哈佛大學助理教授。在哈佛的日子惠特尼大大發(fā)展了圖論的研究，他對圖論的最大貢獻莫過于擬陣理論。又經過幾何函數論研究的過渡，惠特尼最終決定研究拓撲學，以微分流形的內外蘊定義問題為核心。

1935年莫斯科的國際拓撲學大會上，惠特尼作的報告《微分流形》與《球面空間》，提出了將抽象微分流形“實現”為歐氏空間中子流形的兩種方式：浸入與嵌入。這標志著微分拓撲學的開始，他還發(fā)明了單位分解的方法，修正了亞歷山大和柯爾莫哥洛夫關于上同調定義中的錯誤。1937年，惠特尼用上同調的語言來構造斯蒂菲爾·惠特尼示性類。1940年他用ζ和W表示纖維叢和示性類。1940年在密歇根大學組織的拓撲學會議上，惠特尼的報告《微分流形的拓撲》對秩為1的纖維叢ζ1與ζ2給出了對偶定理的證明。同年，惠特尼將球面空間改稱為球面叢，指出球面可以換成任意一個拓撲空間，在實質上建立起了纖維叢的概念。1944年運用纖維叢與示性類的工具成功證明了更強的嵌入定理，至此惠特尼足夠擔當起微分拓撲學的奠基人稱號。

受到普林斯頓高等研究院奧本海默院長的邀請，1952年惠特尼來到研究院任職。1957年出版的著作《幾何積分論》，用微分形式的積分刻畫了上鏈、上邊界等拓撲概念，系統(tǒng)地建立了幾何積分論。

1965年惠特尼發(fā)表的“解析簇的切平面”證明了具有相關切平面性質的解析簇分層的存在性。1972年，惠特尼出版了第二本著作《復解析簇》。1977年惠特尼從普林斯頓高等研究院退休，惠特尼進一步拓展了拓撲學，促進了普林斯頓拓撲學派的繁榮發(fā)展。

不僅限于拓撲學領域，惠特尼還涉獵圖論、幾何積分、可微映射和奇點理論。1985年美國數學會授予惠特尼斯蒂爾獎，這是對他學術貢獻的最好證明。1987年惠特尼在普林斯頓中風去世，享年84歲。

普林斯頓拓撲學派的發(fā)展不僅僅深刻影響著美國拓撲學甚至數學研究越來越豐富，同時也會推動其他各國數學的發(fā)展。

（作者單位：吉林師范大學數學與計算機學院）