一道橢圓試題的解法與結(jié)論推廣

摘" 要：高考數(shù)學(xué)命題重視對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的考查，要求考生熟知運(yùn)算對(duì)象，理解運(yùn)算法則，掌握運(yùn)算思路，解出運(yùn)算結(jié)果.這里通過(guò)對(duì)一道橢圓試題解法的探究，挖掘試題所蘊(yùn)含的本質(zhì)條件，在此基礎(chǔ)上對(duì)試題進(jìn)行推廣得到一般性結(jié)論.

關(guān)鍵詞：橢圓試題；解法；結(jié)論推廣

中圖分類(lèi)號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0037-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：李寒（1978—），女，貴州省桐梓人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

重慶市巴蜀中學(xué)2024屆高考適應(yīng)性月考卷（五）第22題是一道探索三角形面積最大值的開(kāi)放性命題，從深層次反映出解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及解析幾何的圖形問(wèn)題代數(shù)化的本質(zhì).

1" 試題呈現(xiàn)

題目" 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的動(dòng)點(diǎn)，離心率為e=32，設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|PF1|+|PF2|=4.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線PF1，PF2與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，問(wèn)△PAB面積是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2" 解法探究

2.1" 第（1）問(wèn)解析

解析" 由|PF1|+|PF2|=4，

根據(jù)橢圓的定義可得2a=4.

所以a=2.

由e=ca=32，得c=3.

所以b2=a2-c2=4-3=1.

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

2.2" 第（2）問(wèn)解析

分析1" 探索△PAB面積的最大值，由于A，B兩點(diǎn)是由直線PF1，PF2與橢圓E相交得到的，所以若用常規(guī)的底乘高來(lái)計(jì)算三角形的面積就不容易處理，若以AB作為底邊，可以想象出是相當(dāng)復(fù)雜的；若以PA為底邊，則點(diǎn)B坐標(biāo)可以用x0，y0來(lái)表示，計(jì)算距離也是比較復(fù)雜的.好在底PA較易計(jì)算，因而考慮用PA，PB來(lái)計(jì)算面積，可以通過(guò)△PAB與△PF1F2的面積比消掉角的正弦值，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于y1，y2和y0關(guān)系的比值，進(jìn)而把△PAB的面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式.由于該面積的關(guān)系式不很常規(guī)，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后難以判斷單調(diào)性，因而無(wú)法確定最大值，但可以猜測(cè)到最大值在1處取得，且可以取到等號(hào)，于是考慮直接通過(guò)證明f（x）≤f（1）求解.

解法1" 設(shè)直線PA的方程為x=my-3，由x24+y2=1，x=my-3，得

（m2+4）y2-23my-1=0.

設(shè)A（x1，y1），則y0+y1=23mm2+4，y0y1=-1m2+4.

設(shè)直線PB的方程為x=ny+3，

由x24+y2=1，x=ny+3，得

（n2+4）y2+23ny-1=0.

設(shè)B（x2，y2），則y0+y2=-23nn2+4，y0y2=-1n2+4.

又因?yàn)閤0=my0-3，

所以y0+y1y0y1=-23m=-23·x0+3y0.

所以y0+y1y1=-23x0-6，

y0y1=-23x0-7.

又因?yàn)閤0=ny0+3，

所以y0+y2y0y2=23n=23·x0-3y0.

所以y0+y2y2=23x0-6，

y0y2=23x0-7.

結(jié)合橢圓對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)y0gt;0，于是

S△PABS△PF1F2=（|PA|·|PB|sin∠APB）/2（|PF1

|·|PF2|sin∠APB）/2

=|PA|·|PB||PF1|·|PF2|

=y0-y1y0·y0-y2y0.

因此S△PAB=y0-y1y0·y0-y2y0·S△PF1F2

=（1-y1y0）（1-y2y0）·12|F1F2|y0

=3y0·23x0+823x0+7·23x0-823x0-7

=3y0·x20-16/3x20-49/12.

又由x204+y20=1，

即x20=4（1-y20）.

得S△PAB=3y0·4-4y20-16/34-4y20-49/12

=3y0·y20+1/3y20+1/48

=3y0（y20+1/3）y20+1/48

=163y0（3y20+1）48y02+1，其中0lt;y0≤1.

設(shè)f（t）=t（3t2+1）48t2+1（0lt;t≤1），下面證明

f（t）≤f（1）=449.

要證f（t）=t（3t2+1）48t2+1≤449，

即證147t3-192t2+49t-4≤0.

即證（t-1）（147t2-45t+4）≤0.

因?yàn)?47t2-45t+4=0的判別式小于零，

所以147t2-45t+4gt;0恒成立.

因此（t-1）（147t2-45t+4）≤0對(duì)0lt;t≤1恒成立.

所以f（t）=t（3t2+1）48t2+1（0lt;t≤1）的最大值為449.

故△PAB面積的最大值為64349.

點(diǎn)評(píng)" 解法1設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，消去x后整理為關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)關(guān)系，再由y0表示出△PAB的面積，這是求解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常用思路和方法.最后構(gòu)造函數(shù)，利用分析法求解，充分體現(xiàn)了知識(shí)應(yīng)用的靈活性.

分析2" 根據(jù)P，F(xiàn)1，A與P，F(xiàn)2，B分別三點(diǎn)共線引入定比，把△PAB面積與△PF1F2面積的比轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為定比關(guān)系，利用均值不等式求解.

解法2" 設(shè)PF1=λF1A，PF2=μF2B，

結(jié)合圖形可得|PA||PF1|=λ+1λ，|PB||PF2|=μ+1μ.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)y0gt;0，于是

S△PABS△PF1F2=（|PA|·|PB|sin∠APB）/2（|PF1|·|PF2|sin∠APB）/2

=|PA|·|PB||PF1|·|PF2|

=|PA||PF1|·|PB||PF2|

=λ+1λ·μ+1μ

=（1+1λ）（1+1μ）

=1+1λ+1μ+1λμ

=1+λ+μ+1λμ

≤1+λ+μ+1［（λ+μ）/2］2，

當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)P（0，1），直線PA的方程為x=3y-3.

由x24+y2=1，x=3y-3，易求得y1=-17.

所以λ=μ=|PF1||F1A|=|y0||y1|=7.

所以S△PABS△PF1F2≤1+1549=6449.

所以S△PAB≤6449S△PF1F2.

又S△PF1F2=12|F1F2|·|y0|=12×23×1=3，

所以S△PAB≤64349.

所以△PAB面積的最大值為64349.

點(diǎn)評(píng)" 解法2引入定比，通過(guò)數(shù)形結(jié)合用定比表示△PAB面積與△PF1F2面積的比值，然后運(yùn)用均值不等式求解，思路獨(dú)特、頗具新穎，對(duì)思維能力的要求較高.

3" 結(jié)論推廣

下面將試題第（2）問(wèn)推廣為一般情形，可得到：

結(jié)論" 已知點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的動(dòng)點(diǎn)，離心率為e=32，設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（cgt;0）.若直線PF1，PF2與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，則△PAB面積的最大值為4a4bc（a2+c2）2.

該結(jié)論的證明可按試題的解法進(jìn)行，考慮到過(guò)程的復(fù)雜性，這里給出證明.

證明" 由題意，直線PA的方程為

y=y0x0+c（x+c），

即x=x0+cy0y-c.

由x2a2+y2b2=1，x=x0+cy0y-c，得

［（a2+c2）+2cx0］y2-2c（x0+c）y0y-b2y0=0.

設(shè)A（x1，y1），則y0y1=-b2y0（a2+c2）+2cx0，

解得y1=-b2（a2+c2）+2cx0.

設(shè)B（x2，y2），同理，

y2=-b2（a2+c2）-2cx0.

于是S△PABS△PF1F2=

（|PA|·|PB|sin∠APB）/2

|PF1|·|PF2|sin∠APB

=|PA|·|PB||PF1|·|PF2|

=y0-y1y0·y0-y2y0.

又x20a2+y20b2=1，

所以x20=a2b2（b2-y20）.

因此S△PAB=y0-y1y0·y0-y2y0·S△PF1F2

=（1-y1y0）（1-y2y0）·12|F1F2|y0

=（1-y1y0）（1-y2y0）·cy0

=［1+b2（a2+c2）+2cx0］［1+b2（a2+c2）-2cx0］·cy0

=4cy0a4-（cx0）2（a2+c2）2-（2cx0）2

=4ca2y0（b4+c2y20）b6+4a2c2y20，其中0lt;y0≤b.

設(shè)f（t）=t（b4+c2t2）b6+4a2c2t2（0lt;t≤b），下面證明

f（t）≤f（b）=a4b（a2+c2）2.

要證f（t）=t（b4+c2t2）b6+4a2c2t2≤a4b（a2+c2）2，

只要證t（b4+c2t2）b6+4（b2+c2）c2t2≤（b2+c2）b（b2+2c2）2.

只要證（b2+2c2）2c2t3-4（b2+c2）2bc2t2+（b2+2c2）2b4t-b7（b2+c2）≤0.

只要證（t-b）［（b2+2c2）2c2t2-b3c2（3b2+4c2）t+b6（b2+c2）≤0.

因?yàn)椋╞2+2c2）2c2t2-b3c2（3b2+4c2）t+b6（b2+c2）=0的判別式小于零，所以（b2+2c2）2c2t2-b3c2（3b2+4c2）t+b6（b2+c2）gt;0恒成立.

因此（t-b）（b2+2c2）2c2t2-b3c2（3b2+4c2）t+b6（b2+c2）≤0對(duì)0lt;t≤b恒成立.

故f（t）≤f（b）=a4b（a2+c2）2.

即f（t）=t（b4+c2t2）b6+4a2c2t2（0lt;t≤b）的最大值為449.

所以△PAB面積的最大值為4a4bc（a2+c2）2.

4" 結(jié)束語(yǔ)

許多典型的數(shù)學(xué)試題，其中蘊(yùn)含的思想方法或規(guī)律需要進(jìn)行挖掘、延伸，因而在我們平時(shí)的解題過(guò)程中，要適時(shí)地將問(wèn)題推廣延伸為一般性的結(jié)論用于解決相關(guān)問(wèn)題.久而久之，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)，培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，提高其數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］

朱彬，胡曉靜.對(duì)一道橢圓聯(lián)考題的解法與延伸探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（07）：56-58.

［責(zé)任編輯：李" 璟］