關(guān)于時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)的兩個結(jié)論及其應(yīng)用

摘" 要：時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)，是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的兩個重要概念.關(guān)于時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)，有兩個結(jié)論.結(jié)論一指出，在勻變速運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)的平均速度等于該段時間中間時刻的瞬時速度；結(jié)論二指出，在勻變速運(yùn)動中，合外力的作用線通過時間中點(diǎn)及相對應(yīng)的位移中點(diǎn)，且合外力的方向由時間中點(diǎn)相對應(yīng)的點(diǎn)指向位移中點(diǎn).本文在推證結(jié)論的基礎(chǔ)上例舉應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：勻變速運(yùn)動；時間中點(diǎn)；位移中點(diǎn)

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0117-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：許冬保 （1963—），男，江西省九江人，正高級教師，特級教師.從事高中物理教學(xué)研究.

時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)，是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的兩個重要概念.時間中點(diǎn)即中間時刻.在直線運(yùn)動中，位移中點(diǎn)即中間位置；在曲線運(yùn)動中，位移中點(diǎn)即質(zhì)點(diǎn)相對某參考點(diǎn)位置矢量變化量的中點(diǎn).關(guān)于時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)的相關(guān)論述，充斥在教學(xué)輔導(dǎo)參考書［1-2］之中的莫過于如下的內(nèi)容：在勻變速直線運(yùn)動中，若已知始、末速度，便可求出中間位置的速度與中間時刻的速度，且中間位置的速度大于中間時刻的速度.在勻變速運(yùn)動中，本文提出與時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)相關(guān)的兩個結(jié)論，并在推證的基礎(chǔ)上介紹其應(yīng)用.

1" 結(jié)論一

在勻變速運(yùn)動中，質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)的平均速度等于該段時間中間時刻的瞬時速度.

對于勻變速直線運(yùn)動，結(jié)論一顯然是成立的.在勻變速曲線運(yùn)動中仍然成立［3-4］.下面以平拋運(yùn)動為例驗(yàn)證.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)以初速度v0做平拋運(yùn)動，如圖1，經(jīng)時間t運(yùn)動至Q點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y），位移l與x軸偏角為α；若P點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)在t2的位置，速度為v，其兩個分量分別為vx、vy，速度v與x軸偏角為β.由平拋運(yùn)動的規(guī)律，有

x=v0t，y=12gt2，l=x2+y2，tanα=yx.

vx=v0，vy=12gt，v=v2x+v2y，tanβ=vyvx.

圖1" 平拋運(yùn)動速度分析

聯(lián)立解得

v=v20+14g2t2， tanα=tanβ=gt2v0.

t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的平均速度大小為 v-=lt=v20+14g2t2，顯然 v-=v.

綜上：做勻變速曲線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，在一段時間t內(nèi)的平均速度等于t2時刻的速度.強(qiáng)調(diào)指出的是，此處速度相等既包括大小也包括方向；速度方向相同在圖形上表現(xiàn)為軌跡線上某點(diǎn)切線方向（即瞬時速度方向）與相應(yīng)的一段弦（即位移方向）是平行關(guān)系.

2" 結(jié)論二

在勻變速運(yùn)動中，合外力的作用線通過時間中點(diǎn)及相對應(yīng)的位移中點(diǎn)，且合外力的方向由時間中點(diǎn)相對應(yīng)的點(diǎn)指向位移中點(diǎn).

以下依勻變速直線運(yùn)動及勻變速曲線運(yùn)動進(jìn)行分析.

2.1" 勻變速直線運(yùn)動中時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)間的關(guān)系

如圖2，質(zhì)點(diǎn)由A向B做勻加速直線運(yùn)動，中間時刻、中間位置對應(yīng)圖中P、Q兩點(diǎn)，由于中間位置的速度大于中間時刻的速度，因此P在Q之左側(cè)，顯然加速度方向由P指向Q.

圖2" 勻加速直線運(yùn)動分析" 圖3" 勻減速直線運(yùn)動分析

如圖3，質(zhì)點(diǎn)由A向B做勻減速直線運(yùn)動，同理可知，P在Q之右側(cè)，加速度方向由P指向Q.

由牛頓運(yùn)動定律知，合外力方向與加速度方向相同，因此，在勻變速直線運(yùn)動中，合外力方向是由中間時刻對應(yīng)的點(diǎn)指向中間位置的.

2.2" 勻變速曲線運(yùn)動中時間中點(diǎn)與位移中點(diǎn)間的關(guān)系

對于勻變速曲線運(yùn)動，以斜上拋運(yùn)動為例，進(jìn)行論證.以下分幾種情形進(jìn)行討論.

2.2.1" 質(zhì)點(diǎn)與拋出點(diǎn)在同一水平線上

如圖4，質(zhì)點(diǎn)以初速度v0做斜上拋運(yùn)動，a為拋出點(diǎn)，b

點(diǎn)與a處在同一水平面上.若質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，則質(zhì)點(diǎn)做勻變速曲線運(yùn)動.建立圖示坐標(biāo)系，最高點(diǎn)為p.由對稱性知，質(zhì)點(diǎn)沿ap段運(yùn)動時間與沿pb段運(yùn)動時間相等.取ab連線中點(diǎn)c，則重力的作用線一定通過pc連線，重力方向豎直向下，由p指向c.

圖4" 斜拋運(yùn)動最高點(diǎn)分析

2.2.2" 質(zhì)點(diǎn)在通過拋出點(diǎn)水平線的上方

考查質(zhì)點(diǎn)在拋出點(diǎn)上方（圖5）的情形，圖中apb為研究的一段曲線，b′為b在x軸上的投影.若過p點(diǎn)的切線方向與ab連線平行，則p點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)在ab曲線上運(yùn)動中間時刻的位置；作p在x軸上的投影c′，因質(zhì)點(diǎn)在水平方向做勻速運(yùn)動，故c′為ab′連線中點(diǎn)；作ab連線中點(diǎn)c，則c、c′必為Δabb′的中位線，顯然，p、c、c′在同一豎直線上.因此，重力的作用線一定通過pc連線，方向由p指向c.

圖5" 斜拋運(yùn)動拋出點(diǎn)上方分析

質(zhì)點(diǎn)在拋出點(diǎn)水平線下方的情形，同理可證.

2.2.3" 質(zhì)點(diǎn)在拋物線上的任意兩位置

如圖6，對質(zhì)點(diǎn)在任意一段曲線apb進(jìn)行分析.a′、b′分別為a、b在x軸上的投影.若過p點(diǎn)的切線方向與ab平行，則p點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)沿apb曲線運(yùn)動的中間時刻的位置；作p點(diǎn)在x軸上的投影c′，因質(zhì)點(diǎn)的水平分運(yùn)動為勻速運(yùn)動，故c′為a′b′連線中點(diǎn).如圖7，過c′點(diǎn)作ab平行線a″b″；a″、b″分別在aa′連線及b′b延長線上，容易得到 Δa″c′a′Δb″c′b′，則pc′連線與ab連線之交點(diǎn)c，一定在ab連線之中點(diǎn).因此，重力的作用線一定通過pc連線，方向由p指向c.

圖6" 斜拋運(yùn)動任意一段曲線分析1

圖7" 斜拋運(yùn)動任意一段曲線分析2

3" 結(jié)論應(yīng)用

3.1" 斜面上平拋運(yùn)動的應(yīng)用

例1" 如圖8，在傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，經(jīng)過一段時間后，小球仍落在斜面上.若不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.則從拋出開始計(jì)時，求：

（1）經(jīng)多長時間小球離斜面的距離最大；

（2）小球離斜面距離最大處與小球位移中點(diǎn)之間的距離.

解析" （1）如圖9，建立坐標(biāo)系，小球離開斜面的距離達(dá)到最大時（對應(yīng)a點(diǎn)），其速度方向一定平行斜面；將a點(diǎn)的速度沿x、y坐標(biāo)軸進(jìn)行分解，有 v0tanθ=gt，解得 t=v0tanθg.

圖8" 斜面上的平拋運(yùn)動

（2）因v與Oc平行，故由結(jié)論1知，a點(diǎn)是平拋運(yùn)動中間時刻的位置.a點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ya=12gt2；取Oc中點(diǎn)b，由結(jié)論2知，重力作用線通過ab連線.小球到達(dá)c點(diǎn)時，有 yc=12g2t2=2gt2，則b點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 yb=12yc=gt2.

因此 ab之長度為Δy＝y(tǒng)b-ya=12gt2.

代入問題（1）中所得時間t，得 Δy=v20tan2θ2g.

圖9" 斜面上的平拋運(yùn)動分析

點(diǎn)評" a點(diǎn)是小球離開斜面距離最大的點(diǎn)，因此，a點(diǎn)的速度方向平行于斜面，且a點(diǎn)為中間時刻的位置.本題第（2）問，還有另一種分析方法：沿平行斜面及垂直斜面兩個方向建立坐標(biāo)系，并將速度v0及加速度g進(jìn)行分解，則小球在垂直于斜面方向的初速度大小為v0sinθ、加速度大小為gcosθ，可以得到小球離開斜面的最大距離為 H=v20sin2θ2gcosθ；根據(jù)結(jié)論2，ab為豎直方向，則ab之長度為 Δy＝Hcosθ，所得結(jié)果同上.

3.2" 平面上類平拋運(yùn)動的應(yīng)用

例2" 如圖10，水平面內(nèi)有一固定直角坐標(biāo)系，質(zhì)量為m=1 kg的質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O以一定的初速度沿+y方向運(yùn)動，同時對質(zhì)點(diǎn)施加兩個恒力，其中F1 沿-y方向、大小為10 N，F(xiàn)2沿第一象限角平分線、大小未知，質(zhì)點(diǎn)恰沿拋物線x=4y2運(yùn)動，且通過點(diǎn)P（14m，14m），則 （" ）.

圖10" 質(zhì)點(diǎn)沿拋物線運(yùn)動

A.F2的大小為10 N

B.質(zhì)點(diǎn)初速度大小為5 m/s

C.從O點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程中，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)所做的功為5 J

D.從O點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的過程中，F(xiàn)1對質(zhì)點(diǎn)的沖量大小為5N·s

解析" 對拋物線方程x=4y2微分，有 dydx=18y.為在拋物線上尋找與OP平行的切線方向，令dydx=tan45°=1，縱坐標(biāo)為 y=18m，對應(yīng)圖11中的a點(diǎn).由結(jié)論一知，a點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動中間時刻的位置.根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)及過OP直線的分布可知，OP連線中點(diǎn)b的縱坐標(biāo)為 y=18m.由結(jié)論二及曲線運(yùn)動中力與運(yùn)動的關(guān)系知，合外力方向一定平行x軸由a指向b.因此 F1=F2sin45°，F(xiàn)=F2cos45°.解得F2=102 N.由牛頓運(yùn)動定律知，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度大小為a=Fm=10 m/s2.

圖11" 質(zhì)點(diǎn)受力與運(yùn)動情況的分析

由類平拋運(yùn)動規(guī)律，得 14=v0t，14=12at2.解得 t=510 s，v0=52 m/s［5］.

在O點(diǎn)到P點(diǎn)的過程中，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)做功為

W=F2·OP=5 J.

在O點(diǎn)到P點(diǎn)的過程中，F(xiàn)1對質(zhì)點(diǎn)的沖量I=F1·t=5 N·s.

綜上，正確選項(xiàng)是C、D.

點(diǎn)評" 試題給出初速度方向，結(jié)合拋物線軌跡，能夠判定質(zhì)點(diǎn)作類平拋運(yùn)動，且O點(diǎn)為平拋運(yùn)動起始點(diǎn).根據(jù)平拋運(yùn)動的定義，可以得到質(zhì)點(diǎn)所受合外力的方向必沿x軸正方向，如此分析，對學(xué)生的理解能力及推理能力要求較高.根據(jù)結(jié)論一、二進(jìn)行分析推理，思路簡潔明了，有利于促進(jìn)思維品質(zhì)的優(yōu)化.

3.3" 電場中類平拋運(yùn)動的應(yīng)用

例3" 在勻強(qiáng)電場中，一帶正電的粒子僅在電場力作用下的一段運(yùn)動軌跡如圖12，電場未畫出.軌跡上c點(diǎn)處的切線與ab連線平行，c點(diǎn)處速度方向如圖，d為ab連線的中點(diǎn).下列說法正確的是

（" ）.

A.粒子在ac間運(yùn)動的時間等于在bc間運(yùn)動的時間

B.粒子在c點(diǎn)時速度最小

C.場強(qiáng)方向沿cd連線方向，且由c指向d

D.場強(qiáng)方向與ab連線方向垂直圖12" 勻強(qiáng)電場中粒子運(yùn)動

解析" 由題意知，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做勻變速曲線運(yùn)動.已知軌跡上c點(diǎn)處的切線與ab連線平行，由結(jié)論一知，拋物線上的c點(diǎn)即為粒子運(yùn)動的中間時刻的位置.

已知“d為ab連線的中點(diǎn)”，由結(jié)論二知，cd連線方向即為電場力的方向，粒子帶正電，則電場強(qiáng)度的方向由c指向d.速度最小處，粒子的速度方向一定與電場力的方向垂直.綜上，正確選項(xiàng)是A、C.

點(diǎn)評" 該例表明，勻變速曲線運(yùn)動中的結(jié)論一、二，同樣適用于分析勻強(qiáng)電場中的情形.應(yīng)用結(jié)論分析問題，既簡潔明了又快捷高效.

4" 結(jié)束語

綜上，對于勻變速曲線運(yùn)動，結(jié)論一與結(jié)論二“聯(lián)姻”使用，可謂相輔相成、相得益彰.在問題解決中，通過化難為易、化繁為簡，能有效促進(jìn)學(xué)科能力與素養(yǎng)的提升.

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［責(zé)任編輯：李" 璟］