微元法在高中物理解題中的應(yīng)用研究

摘" 要：物理解題能力是衡量學(xué)生物理綜合學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵，在物理解題中，靈活地運(yùn)用各種方法可顯著提高學(xué)生解題能力.微元法是解決物理問(wèn)題時(shí)最常見(jiàn)的思想方法，其可以借助微積分的思想，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化處理，對(duì)此下面就高中物理解題中微元法的應(yīng)用展開(kāi)詳細(xì)分析.

關(guān)鍵詞：微元法；高中物理；解題

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0114-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：黃東升（1984.10—），男，湖南省隆回人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

在解決一些復(fù)雜的物理問(wèn)題時(shí)，教師可以引領(lǐng)學(xué)生嘗試?yán)梦⒃?，?duì)復(fù)雜的研究對(duì)象、物理過(guò)程進(jìn)行“化整為零”的處理，或者是“集零為整”的處理，從而獲得良好的解題效果.通過(guò)微元法的合理應(yīng)用，可以在很大程度上簡(jiǎn)化學(xué)生解題過(guò)程，提高學(xué)生解題準(zhǔn)確性［1］.對(duì)此，高中物理教師需要引領(lǐng)學(xué)生充分把握微元法的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用微元法解題，以此促進(jìn)學(xué)生物理學(xué)習(xí)效果的提升.

1" 微元法的內(nèi)涵

微元法主要是指在開(kāi)展物理過(guò)程分析時(shí)，可以先對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行細(xì)分，轉(zhuǎn)變成多個(gè)“元過(guò)程”，然后選擇任意一個(gè)“元過(guò)程”作為研究對(duì)象，進(jìn)行分析，找出其中的物理規(guī)律，并通過(guò)相應(yīng)的科學(xué)手段完成求解［2］.微元法的核心在于從研究對(duì)象的局部入手，通過(guò)局部過(guò)渡到整體，然后完成問(wèn)題的處理.微元法能實(shí)現(xiàn)曲線向直線、變量向恒量、動(dòng)態(tài)向靜態(tài)、運(yùn)動(dòng)向不變的轉(zhuǎn)變.具體來(lái)說(shuō)，微元法的處理過(guò)程包含以下幾個(gè)過(guò)程.

一是對(duì)變化的物理過(guò)程、宏觀物理對(duì)象進(jìn)行細(xì)分，形成多個(gè)“元過(guò)程、元對(duì)象”.“元過(guò)程及元對(duì)象”可以是一個(gè)長(zhǎng)線段中任取的小線段、圓弧中任取的一個(gè)小圓弧、空間中任取的小體積元、物體中任取的小質(zhì)量元等，并且“元過(guò)程及元對(duì)象”需要具備整體的基本特點(diǎn)［3］.

二是由于原來(lái)的變化過(guò)程、宏觀物理對(duì)象轉(zhuǎn)變成恒定、微小的“元過(guò)程及元對(duì)象”，因此需結(jié)合物理規(guī)律，通過(guò)相應(yīng)的物理表達(dá)式將“元過(guò)程、元對(duì)象”表達(dá)出來(lái).

三是通過(guò)數(shù)學(xué)積分求和的相關(guān)知識(shí)，完成對(duì)相應(yīng)物理量的求解.

2" 高中物理涉及微元法的主要內(nèi)容

高中物理涉及微元法的內(nèi)容主要包括以下方面.

（1）時(shí)間微元.在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，某物體的某物理量處于持續(xù)變化狀況，而選擇一個(gè)比較小的時(shí)間段，可以將該物體的這一物理量看成是恒定不變

.如推導(dǎo)向心加速度公式中，取足夠短的時(shí)間后，可以近似認(rèn)為弦長(zhǎng)等于圓弧長(zhǎng)；在定義瞬時(shí)速度時(shí)，同樣取短時(shí)間后，平均速度與瞬時(shí)速度近似相同.

（2）軌跡及長(zhǎng)度微元.從整體的角度看，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、某個(gè)長(zhǎng)度都屬于曲線范圍，而將物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、長(zhǎng)度分成細(xì)小的元單位后，從中隨機(jī)選出一個(gè)片段的軌跡，或者是選出一個(gè)長(zhǎng)度，都可以將其看成是一個(gè)直線段.如推導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)速度方向時(shí)，假設(shè)物體運(yùn)動(dòng)軌跡極短，近似地將小軌跡當(dāng)作直線段；分析重力做功與路徑的關(guān)系時(shí)，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行細(xì)分后，則可以將運(yùn)動(dòng)軌跡看作是一個(gè)直線.

（3）面積微元.在特定的物理圖像中，借助微元法分析圖像與坐標(biāo)軸形成的面積的物理特性［4］.面積微元的關(guān)鍵是先細(xì)分圖形，構(gòu)建成細(xì)小的矩形，隨后借助物理公式將小矩形的面積求出來(lái).同時(shí)矩形足夠小時(shí)，會(huì)認(rèn)定縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的物理量固定，從而完成圖像面積物理意義推導(dǎo).例如電容器充放電過(guò)程中形成的電流圖像，面積表示電荷量；電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)隨著位置的改變而出現(xiàn)變化，借助面積微元的方式，可以推導(dǎo)出橫坐標(biāo)軸與圖像構(gòu)成的面積表示電勢(shì)差.

（4）對(duì)象微元.一些宏觀的物體無(wú)法進(jìn)行整體研究時(shí)，可以嘗試對(duì)宏觀物體進(jìn)行細(xì)分，隨后隨機(jī)選出一個(gè)小部分，將其看作主要研究對(duì)象進(jìn)行處理.如關(guān)于動(dòng)量連續(xù)體問(wèn)題，對(duì)水流沖擊墻體的沖擊力進(jìn)行計(jì)算時(shí)，如果對(duì)整個(gè)水流進(jìn)行分析，會(huì)變得十分復(fù)雜，對(duì)此就可以選擇與墻體接觸時(shí)的一小段水流，通過(guò)動(dòng)量定理處理問(wèn)題.

高中物理教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生采用微元法時(shí)，還應(yīng)該注重相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，如極限思想、定積分思想［5］.其中極限思想主要是通過(guò)極限概念對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析處理，在物理領(lǐng)域中，極限思想的合理運(yùn)用可以很好地解決各種復(fù)雜物理問(wèn)題，并且能更加精準(zhǔn)定義物理概念，如瞬時(shí)功率中關(guān)于時(shí)間選取的問(wèn)題.借助極限思維還能幫助學(xué)生深入推導(dǎo)物理規(guī)律，如曲線運(yùn)動(dòng)中瞬時(shí)速度的方向推導(dǎo)問(wèn)題，教師指引學(xué)生通過(guò)微元法，當(dāng)選取時(shí)間短時(shí)，曲線在該點(diǎn)的切線方向就是物體曲線運(yùn)動(dòng)方向.微元法實(shí)際上就是簡(jiǎn)化定積分的過(guò)程，借助定積分的方法來(lái)完成物理問(wèn)題求解.微積分與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的定積分知識(shí)十分相近，教師在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，需要培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科思維，指引學(xué)生先進(jìn)行整體向微元轉(zhuǎn)化，隨后借助微元求和，得出最終結(jié)果.

3" 高中物理解題中微元法的應(yīng)用

3.1" 在運(yùn)動(dòng)學(xué)解題中應(yīng)用

以勻變速直線運(yùn)動(dòng)部分內(nèi)容為例，在教材中，總位移是指v-t圖像中的陰影部分面積，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)理解不到位的情況，從而在解題中經(jīng)常出錯(cuò).因此教師在教學(xué)環(huán)節(jié)就可以從微元法的視角入手，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用微元法來(lái)優(yōu)化解題思維，便于學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)有深層次的感知.

例1" 已知某物體在做加速直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)時(shí)間、初速度、加速度分別是t、v0、a，試推出物體的位移x與時(shí)間之間的關(guān)系為：x=v0t+12at2.

教師可以引領(lǐng)學(xué)生從微元法入手，將物體的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程細(xì)分成多個(gè)部分，隨后利用平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行作圖.借助圖形分析可以發(fā)現(xiàn)，微元是以t為高，縱軸上的高度是梯形的上、下底，t無(wú)限縮小時(shí)，對(duì)應(yīng)的梯形也會(huì)無(wú)限接近長(zhǎng)方形，其陰影面積代表著位移.陰影面積可以近似通過(guò)三角形、長(zhǎng)方形面積相加所得，結(jié)合下圖1可以得出陰影面積是x=v0t+12at2.

圖1" v-t陰影面積計(jì)算圖

本題屬于典型的位移問(wèn)題，通過(guò)使用微元法，可以讓學(xué)生更加有規(guī)律地對(duì)速度、時(shí)間變化關(guān)系進(jìn)行分析，也能做到模型理想化.同時(shí)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用也可以方便學(xué)生直觀理解位移內(nèi)涵，這對(duì)于學(xué)生公式推導(dǎo)有極大幫助.

3.2" 在功與能解題中應(yīng)用

針對(duì)做功與能量的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，教師可以引入微元法，嘗試?yán)煤瘮?shù)方面的知識(shí)進(jìn)行處理，完成高效作答.

例2" 某人以初速度v0豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量是m的小球，若小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受到的空氣阻力大小與速率成正比，小球的速率隨時(shí)間的變化關(guān)系如下圖2.小球在t1時(shí)刻處于最高點(diǎn)，落地之前以速率v1做勻速運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g.求小球能達(dá)到的最大高度.

圖2" 小球的速率隨時(shí)間的關(guān)系圖

結(jié)合牛頓第二定律知道小球上升過(guò)程中的加速度a=-（g+kvm），對(duì)時(shí)間t進(jìn)行微元處理為Δt，速度變量是Δv，即Δv=a·Δt=-（g+kvm）·Δt，而vΔt=Δh，公式兩邊對(duì)等求和，整理可以得出小球上升的最大高度是H=（v0-gt1）v1g.

3.3" 在動(dòng)量問(wèn)題中應(yīng)用

動(dòng)量是一個(gè)經(jīng)典的力學(xué)概念，高中物理解題中，很容易碰到變速?zèng)_擊的題型，可以利用微元法，化變?yōu)楹悖r(shí)間微元，把變速?zèng)_擊的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成恒定速度沖擊問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)順利解題.

例3" 有一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的豎直懸掛鐵鏈，鐵鏈的另一端與水平地面相連，鐵鏈懸掛的一端突然斷開(kāi)，鐵鏈開(kāi)始自由下落，當(dāng)鐵鏈上端下落x距離后，求鐵鏈對(duì)地面的壓力.

在解決本題時(shí)，學(xué)生需要考慮到鐵鏈對(duì)地面的壓力包含了兩個(gè)方面，一是已經(jīng)落到地面部分鐵鏈的重力，二是鐵鏈運(yùn)動(dòng)對(duì)地面造成的沖擊力.在解題過(guò)程中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)微元法，對(duì)時(shí)間進(jìn)行微元處理，構(gòu)建模型.

鐵鏈開(kāi)始下落時(shí)t=0，t時(shí)刻鐵鏈下落到地面的長(zhǎng)度是x時(shí)，未掉到地面的鏈條速度是v，假設(shè)ρ為鐵鏈的線密度，則ρ=ML.經(jīng)分析可以得出鐵鏈在落地后的速度是0，從t時(shí)刻起，取時(shí)間微元Δt，那么Δt內(nèi)落到地面鐵鏈的質(zhì)量為ΔM=ρ·Δx，設(shè)地面對(duì)ΔM的沖擊力F，由動(dòng)量定理得（F-ΔMg）Δt=ΔM·v=ρΔx·v，由于ΔMg·Δt≈0，所以F·Δt=ρΔx·v，F(xiàn)=ρvΔxΔt，由于ΔxΔt就是t時(shí)刻鐵鏈的速度v，故F=ρv2，鐵鏈在t時(shí)刻的速度v就是鐵鏈下落長(zhǎng)度是x時(shí)的速度，所以v2=2gx，t時(shí)刻鐵鏈對(duì)地面的壓力為N=ρxg+F，聯(lián)立解得N=3MgxL.

3.4" 在電磁學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用

在高中物理學(xué)習(xí)中，電磁學(xué)是一個(gè)難度比較高的知識(shí)點(diǎn)，教師在教學(xué)環(huán)節(jié)也可以利用經(jīng)典案例，結(jié)合微元法，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)其解題能力的提高.

如對(duì)電流微觀表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，在這一問(wèn)題中，教師先指引學(xué)生嘗試從導(dǎo)線中取一個(gè)小截面S及一段時(shí)間Δt，其長(zhǎng)度為Δl=v·Δt，該長(zhǎng)度內(nèi)所有自由電荷均通過(guò)截面S，若導(dǎo)體單位體積中的自由電荷數(shù)量是n，每個(gè)自由電荷的電荷量為q，可以得出Δt時(shí)間內(nèi)，該截面通過(guò)的總電荷量為Δq=nqSΔl=nqSv·Δt，電流I=ΔqΔt=nqSv.

這個(gè)問(wèn)題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但是求解過(guò)程比較復(fù)雜抽象，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)知識(shí)不貫通的情況.對(duì)此教師利用微元法，引領(lǐng)學(xué)生假設(shè)條件，構(gòu)建模型，實(shí)現(xiàn)作答.

4" 結(jié)束語(yǔ)

總而言之，在高中物理解題中，通過(guò)微元法的應(yīng)用，不僅能讓學(xué)生更加快速、便捷地解決物理問(wèn)題，

還能增強(qiáng)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化其物理思考能力.通過(guò)微元法，學(xué)生能夠從特殊的角度進(jìn)行問(wèn)題思考、解決，降低了解題難度，促進(jìn)了學(xué)生有效學(xué)習(xí)，這對(duì)于學(xué)生物理學(xué)習(xí)信心的提升有極大幫助.

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［責(zé)任編輯：李" 璟］