活用全概率公式 破解概率計(jì)算題

摘" 要：分析了全概率公式的內(nèi)涵及復(fù)雜隨機(jī)事件完備事件組的尋找過程，總結(jié)了高考題中常見完備事件組的幾種典型場景及分析方法，有助于考生正確使用全概率公式，破解復(fù)雜隨機(jī)事件的概率計(jì)算問題.

關(guān)鍵詞：全概率公式；完備事件組；概率統(tǒng)計(jì)；遞推關(guān)系

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0073-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：周小興（1972—），男，江西省樂安人，碩士，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

朱麗華（1975—），女，江西省樂安人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：晉江市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題年度課題“‘四新’背景下基于深度學(xué)習(xí)理論的高中學(xué)段校本作業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：JJ2022-ZX08）.

復(fù)雜隨機(jī)事件的概率計(jì)算是高考概率部分?？純?nèi)容，對考生是一個(gè)難點(diǎn)，原因在于復(fù)雜事件過程復(fù)雜，此時(shí)要找出引起復(fù)雜事件發(fā)生的全部原因，從而找到樣本空間的一個(gè)劃分，即完備事件組.首先通過這個(gè)完備事件組把復(fù)雜事件分成若干個(gè)互不相容的簡單事件之和，于是把求一個(gè)復(fù)雜事件的概率問題轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)互斥事件概率和的問題，然后利用乘法公式求出各個(gè)積事件的概率，最后運(yùn)用全概率公式求出該復(fù)雜事件的概率.可見，找到樣本空間的一個(gè)劃分即完備事件組是使用全概率公式的關(guān)鍵.

1" 全概率公式

完備事件組" 一般n個(gè)事件A1，A2，…，An滿足下列三個(gè)條件：

①A1，A2，…，An是兩兩互斥，

②A1∪A2∪…∪An=Ω，

③P（Ai）gt;0，i=1，2，…，n，

則n個(gè)事件A1，A2，…，An構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組，也構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分.

定理

設(shè)n個(gè)事件A1，A2，…，An是樣本空間Ω的一個(gè)劃分，則對任意事件BΩ，有P（B）=

∑ni=1P（Ai）P（B|Ai），稱為全概率公式.2" 全概率公式的內(nèi)涵特征

2.1" 全概率公式簡要說明

遇到求復(fù)雜隨機(jī)事件概率時(shí)，可以按照某種標(biāo)準(zhǔn)，即樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組A1，A2，…，An，把一個(gè)復(fù)雜隨機(jī)事件BΩ拆分成幾個(gè)互斥簡單事件AiB（i=1，2…n）的和，記作B=∑ni=1AiB，也可以記作B=A1B∪A2B∪…∪AnB.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（∑ni=1AiB）=∑ni=1P（AiB）.又由概率的乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B|Ai）.所以P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）［1］.

2.2" 全概率公式使用說明

把引起某一目標(biāo)事件B發(fā)生的各種可能的“原因”所對應(yīng)的事件記作Ai（i=1，2，…，n），由Ai引起的事件B發(fā)生的概率記作P（AiB），于是事件B發(fā)生的概率就是∑ni=1P（AiB）.全概率公式中的“全”就是全部的意思，故對事件B發(fā)生有貢獻(xiàn)的原因必須全部找出來.

尋找與目標(biāo)事件B相關(guān)的完備事件組是應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵.當(dāng)事件的發(fā)生與相繼兩個(gè)步驟有關(guān)，第一步驟產(chǎn)生的各種結(jié)果直接影響第二步驟，因此可從第一步驟入手找出完備事件組.當(dāng)事件的發(fā)生是由一些兩兩互不相容的原因引起的，且只能在這些原因下發(fā)生，那么這些原因就構(gòu)成一個(gè)完備事件組.一定要把產(chǎn)生結(jié)果的原因全找出來，并且確保這些原因?yàn)閮蓛苫ゲ幌嗳菔录?

實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能出現(xiàn)這種情況：目標(biāo)事件B的發(fā)生與一系列互斥事件有關(guān)，但這一系列互斥事件概率相加之和肯定小于1，故其自身并不能構(gòu)成樣本空間，但是通過添加某些事件Aj（j=1，2，…，n）后可以構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分，但要確保所添加的這些Aj（j=1，2，…，n）事件對目標(biāo)事件B的發(fā)生沒有影響，即其條件概率P（B|Aj）為零，此時(shí)全概率公式仍然成立.

完備事件組和目標(biāo)事件并非一定來自同一個(gè)樣本空間.如兩層試驗(yàn)中第一層試驗(yàn)中樣本空間為Ω1，第二層試驗(yàn)中樣本空間為Ω2，一般來說Ω1≠Ω2，待求的目標(biāo)事件B是Ω2的子事件，而不是Ω1的子事件，此時(shí)全概率公式照樣適用［2］.

3" 活用全概率公式，破解概率計(jì)算題

3.1" 從導(dǎo)致目標(biāo)事件發(fā)生的兩兩互斥的諸原因?qū)ふ彝陚涫录M

例1" （2023年天津卷第13題節(jié)選） 甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球是白球的概率為．

解析" 設(shè)A1，A2，A3分別表示球來自甲乙丙盒，B表示三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球是黑球，且P（A1）=13，P（A2）=415，P（A3）=25，P（BA1）=40%，P（BA2）=25%，P（BA3）=50%，由全概率公式得P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）=13×40%+

415×25%+25×50%=25.

所以混合后任取一個(gè)球是白球的概率為

P（B）=1-P（B）=1-25=35．

3.2" 添加某些事件后構(gòu)成樣本空間完備事件組

例2" （2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第12題節(jié)選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0lt;αlt;1），收到0的概率為1-α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0lt;βlt;1），收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.證明：當(dāng)0lt;αlt;0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率.

解析" 記X表示三次傳輸0時(shí)收到的信號(hào)仍然為0的次數(shù)，則X∽B（3，1-α）.

即P（X=k）=Ck3（1-α）kα3-k（k=0，1，2，3）.

設(shè)A表示目標(biāo)事件“若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0”，按題目給的譯碼規(guī)則：三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼，因此導(dǎo)致目標(biāo)事件A發(fā)生原因?yàn)槿蝹鬏?時(shí)有兩次以上收到的信號(hào)均為0.顯然∑3k=2P（X=k）lt;1，故事件X=2∪X=3

不是樣本空間的一個(gè)完備事件組，還要添加事件X=0∪X=1才能構(gòu)成樣本空間的一個(gè)完備事件組.因?yàn)槿蝹鬏?時(shí)收到的信號(hào)仍然為0的次數(shù)所有可能情況有4種：0，1，2，3次，故四個(gè)事件X=k（k=0，1，2，3）構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分，也稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組.

又P（AX=k）=0（k=0，1），

P（AX=k）=1（k=2，3），

由全概率公式，得

P（A）=∑3k=0P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2Ck3（1-α）kα3-k·P（AX=k）

=C23（1-α）2α·P（AX=2）

+C33（1-α）3·P（AX=3）

=3（1-α）2α×1+（1-α）3×1

=（1-α）2（1+2α）.

又單次傳輸發(fā)送0，則譯碼是0的概率為1-α，而0lt;αlt;0.5，因此（1-α）2（1+2α）-（1-α）=

（1-α）α（1-2α）gt;0.

3.3" 從第一次試驗(yàn)入手尋找完備事件組

例3" （2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第21題） 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

解析" （1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，記第i次投籃的人是乙”為事件Bi，

所以，

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

3.4" 目標(biāo)事件的概率需要通過遞推等式推出

解決概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．筆者將其總結(jié)為兩類題型：第一類是題干給出數(shù)列的遞推關(guān)系，需要考生通過構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)公式;第二類是題干沒有給出數(shù)列的遞推關(guān)系，學(xué)生要懂得利用全概率公式獲得數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造等比數(shù)列再求出通項(xiàng)公式．

例3第（2）問解析

設(shè)P（Ai）=pi，依題可知

P（Bi）=1-pi.

則P（Ai）=P（AiBi-1）+P（AiAi-1）

=P（Ai-1）P（AiAi-1）+P（Bi-1）P（AiBi-1），

即pi=0.6pi-1+（1-0.8）（1-pi-1）

=0.4pi-1+0.2.

構(gòu)造等比數(shù)列pi+λ，

設(shè)pi+λ=25（pi-1+λ），解得λ=-13，則pi-13=25（pi-1-13）.

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首項(xiàng)為16，公比為25的等比數(shù)列，

即pi-13=16×（25）i-1.

所以pi=16×（25）i-1+13．

4" 結(jié)束語

利用全概率公式可以將求一個(gè)復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)互斥的簡單事件概率的和，再利用乘法公式求出各部分積事件的概率.全概率公式體現(xiàn)了化歸和分類的思想，對于實(shí)際應(yīng)用題，就是分情況討論.

參考文獻(xiàn)：

［1］

程?？?，章建躍.通過隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)現(xiàn)象加深理解隨機(jī)思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（1）：9-14.

［2］ 紀(jì)宏偉，李衛(wèi)平.全概率公式及其應(yīng)用分析［J］.呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，26（6）：134-137.

［責(zé)任編輯：李" 璟］