例析奇偶分析法在數(shù)列前n項和中的求解策略

摘" 要：數(shù)列求和問題中，一般可以根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行必要的奇偶項分析.文章借助幾個典型問題，剖析這類數(shù)列前n項和問題的幾種求解策略.

關(guān)鍵詞：奇偶分析；數(shù)列前n項和；求解策略

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" ""文章編號：1008-0333（2024）22-0017-06

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：吳茂龍（1972.10—），男，安徽省宿州人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在數(shù)列求和問題中，我們經(jīng)常遇到一些數(shù)列中的項數(shù)不確定，或者數(shù)列的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，從而整體上數(shù)列不易求和，這類問題是數(shù)列問題考查的難點之一，也更容易出錯.面對這類數(shù)列求和問題時，我們可以根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點，選取有效的求和處理策略，進(jìn)行必要的奇偶項分析.本文借助幾個典型問題，剖析這類數(shù)列前n項和問題的求解策略，希望能給廣大師生提供解題思路和幫助.

1" 等和等積結(jié)構(gòu)，使用典型公式

例1" 定義：若一個數(shù)列每相鄰兩項的和都等于同一個常數(shù)，則稱這個數(shù)列為等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作公和.同樣道理，若一個數(shù)列每相鄰兩項的積都等于同一個常數(shù)，則稱這個數(shù)列為等積數(shù)列，這個常數(shù)叫作公積.已知數(shù)列{an}是首項為1，公和為4的等和數(shù)列，前n項的和為Sn，數(shù)列{bn}是首項為1，公積為4的等積數(shù)列，前n項和為Tn，則S2 012T2 012=.

解析" 由題意可得，an+an+1=4，a1=1，a2=3，a3=1，a4=3，…，則an=1，n為奇數(shù)，3，n為偶數(shù).

所以S2 012=2 0122·（1+3）=4 024.

又bnbn+1=4，b1=1，有b2=4，b3=1，b4=4，…

則bn=1，n為奇數(shù)，4，n為偶數(shù).

所以S2 012=2 0122·（1+4）=5 030.

故S2 012T2 012=4 0245 030=45.

評注" 等和數(shù)列與等積數(shù)列都是通項為an=a，n為奇數(shù)，b，n為偶數(shù)的數(shù)列，求其前n項和Sn時，要分類討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=n2（a+b）；當(dāng)n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)，可利用Sn=Sn-1+an（ngt;1，n∈N）求解.

變式" 定義等積數(shù)列{an}：若an·an-1=p（p為非零常數(shù)，n≥2，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為等積數(shù)列，p稱為公積.若數(shù)列{an}為等積數(shù)列，公積為1，首項為a，則a2 007=；S2 007=.

答案" a；1 004a+1 003a.

2" 數(shù)列（-1）n位置不同，進(jìn)行奇偶分析

例2" 設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=1-3（-1）n+12n+2（n∈N*），求該數(shù)列的前n項和Sn.

解法1" 由an=1-3（-1）n+12n+2=12n+2-（-1）n+1×32n+2，

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=（123+124+…+

12n+2）-3（123-124+…+12n+2）=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-

3×（1/23）（1+1/2n）1-（-1/2）=-12n+1，

當(dāng)n為偶數(shù)時，

Sn=（123+124+…+12n+2）-3（123-124+…-12n+2）

=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-3×（1/23）（1-1/2n）1-（-1/2）=0.

所以Sn=-12n+1，n為奇數(shù)，0，n為偶數(shù).

解法2" 由于

an=1-3（-1）n+12n+2=-12n+1，n為奇數(shù)，12n，n為偶數(shù)，

當(dāng)n為奇數(shù)時，an=-12n+1，奇數(shù)項構(gòu)成以-14為首項，14為公比的等比數(shù)列，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=（-1/4）（1-1/4n+12）1-1/4+（1-1/4n-12）/41-1/4

=-13（1-14n+12）+13（1-14n-12）

=13×2n+1-13×2n-1

=-12n+1.

當(dāng)n為偶數(shù)時，an=12n，偶數(shù)項構(gòu)成以14為首項，14為公比的等比數(shù)列，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=（-1/4）（1-1/4n2）1-1/4+（1-1/4n2）/41-1/4

=0.

所以Sn=-12n+1，n為奇數(shù)，0，n為偶數(shù)..

評注" 由于因數(shù)（-1）n引起數(shù)列的項的表達(dá)式在奇數(shù)和偶數(shù)位置上的規(guī)律不同，因此需要對數(shù)列的通項進(jìn)行奇偶分析.在此之后求和時，因為Sn的項數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時，最后的尾數(shù)是奇數(shù)項還是偶數(shù)項是不同的，所以需要繼續(xù)進(jìn)行奇偶分析.如當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）；當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）.所以，當(dāng)n為奇數(shù)時，an=-12n+1絕對不能認(rèn)為是奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列自身的一個通項公式，否則你就會認(rèn)為奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的公比是12，因為奇數(shù)項a1，a3，…，an-1是間隔等比［1］.

變式" 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1=2，公差d=2，設(shè)bn=（-1）n·lnSn（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

答案" Tn=ln（n+1），n為偶數(shù)，-ln（n+1），n為奇數(shù).

3" 優(yōu)先確定偶數(shù)項，合理分組求和

例3" 在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=3an，求其前n項和Sn.

解法1" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*）是首項為a1=1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}（n∈N*）是首項為a2=2，公比為3的等比數(shù)列.因此a2n-1=3n-1，a2n=2·3n-1.

則

S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）

=（1+3+32+…+3n-1）+2（1+3+32+…+3n-1）

=3（1+3+32+…+3n-1）

=32（3n-1）.

所以S2n-1=S2n-a2n

=32（3n-1）-2×3n-1

=32（5×3n-2-1）.

令2n=N1，得n=N12.

令2n-1=N2，得n-2=N2-32.

綜上，Sn=32（5×3n-32-1），n為奇數(shù)，32（3n2-1），n為偶數(shù).

解法2" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以數(shù)列的奇數(shù)項a1，a3，…，a2n-1構(gòu)成首項為a1=1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項a2，a4，…，a2n構(gòu)成首項為a2=2，公比為3的等比數(shù)列.

當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1）.

當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，

Sn=a1+a2+…+an=Sn-1+an

=32×（3n-12-1）+1×3n+12-1

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

綜上，Sn=32（5·3n-32-1），n為奇數(shù)，32（3n2-1），n為偶數(shù).

解法3" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以數(shù)列的奇數(shù)項a1，a3，…，a2n-1構(gòu)成首項為a1=1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項a2，a4，…，a2n構(gòu)成首項為a2=2，公比為3的等比數(shù)列.

當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1），

當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=1-3n+121-3+2（1-3n-12）1-3

=12×（3n+12-1）+（3n-12-1）

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

綜上，Sn=32（5·3n-32-1），n為奇數(shù)，32（3n2-1），n為偶數(shù).

評注" an+2=3an，說明數(shù)列{an}的項間隔構(gòu)成等比數(shù)列，即所有的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等比數(shù)列，所以分組求和可得到S2k-1，S2k.但是分組之后要綜述Sn的表達(dá)式，就會遇到n與k的轉(zhuǎn)化問題.解法1令2k-1=n，2k=n即可轉(zhuǎn)化，可惜理解起來有難度；解法2計算n為偶數(shù)時直接判斷項數(shù)n，沒有通過2k-1，2k間接轉(zhuǎn)化，那么，在最后的綜述時，就不需要k與n的轉(zhuǎn)化.但是解法1、解法2在計算項數(shù)為奇數(shù)時的前n項和都是借助項數(shù)為偶數(shù)時的結(jié)果，不過有一個難點是最后的那一項an容易出錯，除非題目給出通項公式；解法3理解起來較為容易，只要正確判定項數(shù)即可，且確定奇數(shù)項和偶數(shù)項的項數(shù)的最佳策略就是將偶數(shù)項的項數(shù)最先確定.

變式" 已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2·3n-1+（-1）n·（ln2-ln3）+（-1）nnln3，求其前n項和Sn.

答案" Sn=3n+n2ln3-1，n為偶數(shù)，3n-n-12ln3-ln2-1，n為奇數(shù).

4" 奇偶恰當(dāng)分組，靈活選用公式

例4" 在數(shù)列{an}中，a1=0，a2=3，an-an-2=2（n≥3），求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析" 由題意可知，數(shù)列{an}中的奇數(shù)項是由0，2，4，…構(gòu)成的以2為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{an}中的偶數(shù)項是由3，5，7，…構(gòu)成的以2為公差的等差數(shù)列.

解法1" 當(dāng)n為偶數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=n2×0+n/2×（n/2-1）2×2+n2×3+（n/2）×（n/2-1）2×2

=12n2+12n.

當(dāng)n為奇數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=n+12×0+［（n+1）/2］［（n+1）/2-1］2×2+n-12×3+［（n-1）/2］［（n-1）/2-1］2×2

=12n2+12n-1.

解法2" 當(dāng)n為偶數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=a1+an-12·n2+a2+an2·n2

=12n2+12n.

當(dāng)n為奇數(shù)時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=a1+an2·n+12+a2+an-12·n-12

=12n2+12n-1.

綜上，Sn=12n2+12，n為偶數(shù)，12n2+12n-1，n為奇數(shù).

評注" 當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，奇數(shù)項有n2項，偶數(shù)項有n2項；當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，奇數(shù)項有n+12項，偶數(shù)項有n-12項.奇數(shù)項和偶數(shù)項的項數(shù)確定后，需要選擇數(shù)列的前n項和公式，而等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式都有兩個，如本例中兩個公式都可以選用，但難易程度很明顯.利用Sn=a1+an2·n時就需要專門計算an，如當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，需要計算a1+an-12·n2，其中an-1易錯；而采用Sn=

a1n+n（n-1）2d就可以避免求尾項.

變式" 已知數(shù)列{an}滿足an=2n，若從數(shù)列{an}中剔除第1項，第4項，第7項，…，第3n-2項，…，剩下的項保持順序不變組成一個新的數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

答案" Sn=127·8n2-127，n為偶數(shù).57·8n+12-127，n為奇數(shù). 5" 依據(jù)奇偶分類，分別求和解決

例5" 設(shè)an=n·（12）n-1，n為奇數(shù)，1n（n+2），n為偶數(shù)，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析" 當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，

Sn=［1×（12）n+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2］+12［（12-14）+（14-16）+（1n-1n+2）］.

設(shè)Tn=1×（12）0+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2，①

則（12）2Tn=1×（12）2+3×（12）4+…+（n-3）×（12）n-2+（n-1）×（12）n.②

①-②，得

34Tn=1×（12）0+2×［（12）2+（12）4+…+（12）n-2］-（n-1）×（12）n

=1+2×1/4-（1/2）n1-1/4-（n-1）·（12）n.

則Tn=209-12n+209·（12）n.

所以Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2）.

當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，

Sn=Sn+1-an+1

=［209-12n+329·（12）n+1+n+14（n+3）］-1（n+1）（n+3）

=209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1）.

綜上，

Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2），n為偶數(shù)，209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1），n為奇數(shù).

評注" 對于一個奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成特殊數(shù)列的數(shù)列求和問題，由于所求項數(shù)是奇數(shù)與偶數(shù)在分組求和時，奇數(shù)項的項數(shù)有所變化，因此需要對數(shù)列的項數(shù)進(jìn)行討論.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an），奇數(shù)項和偶數(shù)項的項數(shù)都是n2.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=（a1+a3+…+

an）+（a2+a4+…+an-1），偶數(shù)項的項數(shù)是n-12，奇數(shù)項的項數(shù)是n+12；簡便起見，當(dāng)數(shù)列的通項已知，項數(shù)n為奇數(shù)時，只需要利用關(guān)系式Sn=Sn+1-an+1或Sn=Sn-1-an，其中Sn+1，Sn-1可以借助項數(shù)n為偶數(shù)時Sn的公式［2］.

變式" 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an+（-1）nlog3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

答案" an=3n（n∈N*），

Tn=3n+12-n2-2，n奇數(shù)，3n+12+n2-32，n為偶數(shù).

6" an+an+1位置相鄰，可以合并求和

例6" 已知數(shù)列{an}滿足an+an+1=4n-3（n∈N*）.

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；

（2）當(dāng)a1=2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析" （1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則

an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd.

由an+an+1=4n-3，得

d=2，a1=-12.

（2）由an+an+1=4n-3，得

an+1+an+2=4n+1.

兩式相減，得an+2-an=4.

所以數(shù)列{a2n-1}是首項為a1，公差為4的等差數(shù)列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1.

所以an=2n，n為奇數(shù)，2n-5，n為偶數(shù).

當(dāng)n為奇數(shù)時，

an=2n，an+1=2n-3.

則Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an

=1+9+…+（4n-11）+2n

=2n2-3n+52.

當(dāng)n為偶數(shù)時，

Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）

=1+9+…+（4n-7）

=2n2-3n2.

所以Sn=2n2-3n+52，n為奇數(shù)，2n2-3n2，n為偶數(shù).

評注" 本題采用分組求和法，將相鄰的兩項分在一組；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=

Sn-1-an+1.

變式" 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=13an+n，n為奇數(shù)，an-3n，n為偶數(shù)，

（1）證明數(shù)列{a2n-32}是等比數(shù)列，并求a2n.

（2）求數(shù)列{an}的前2n項和S2n.

答案" a2n=-12（13）n+32，

S2n=（13）n-3n2+6n-1.

7" 結(jié)束語

通過以上這五個數(shù)列求和問題中的奇偶項分析，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列前n項求和問題的類型都是大同小異，基本原理和數(shù)學(xué)方法也是一致的，對于數(shù)學(xué)推理和計算的能力、技巧要求也并不高，以上這些解題策略也都是數(shù)列求和問題中的常用求解技巧.只要我們抓住數(shù)列結(jié)構(gòu)特征，注意項數(shù)變化和位置規(guī)律，利用奇偶分析法，選取典型問題，舉一反三、多多練習(xí)，領(lǐng)悟解題本質(zhì)和方法，就能對這類典型問題的解題策略做到熟練于心，真正實現(xiàn)輕松解決.

參考文獻(xiàn)：

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王懷學(xué)，宋衛(wèi)東.高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題型全解析［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2019.

［2］ 杜志建.一遍過 數(shù)學(xué) 選擇性必修第二冊（RJA）［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2021.

［責(zé)任編輯：李" 璟］