在解決問題中利用數(shù)量關(guān)系的策略

基本的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)模型之一。新課標(biāo)教材加入了大量實(shí)物插圖，通過這種方式來加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)和了解，強(qiáng)化了數(shù)量關(guān)系分析在教學(xué)中的重要性。在數(shù)據(jù)整理過程中，新課標(biāo)提倡從量變到質(zhì)變，從信息到關(guān)系，從生活到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。這意味著學(xué)生不僅要關(guān)注數(shù)據(jù)的收集和整理，還要注重理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系以及將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)概念和模型。

針對(duì)當(dāng)前五年級(jí)學(xué)生尚不能清晰完整地分析題目的情況，按照“先畫出線段圖，再說出數(shù)量關(guān)系”的步驟會(huì)使得學(xué)生很難理解題目，不利于教學(xué)，并且容易導(dǎo)致學(xué)生不理解線段圖的意義?；诖耍P者有了以下構(gòu)想，期望在教學(xué)中得以助益。

一、先以解題思路為先導(dǎo)，其次考慮數(shù)量關(guān)系

在問題解決教學(xué)過程中，我們應(yīng)先講解題思路再突現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。在對(duì)一道應(yīng)用題進(jìn)行了分析、整理之后，教師要首先指導(dǎo)學(xué)生說出自己解決問題的想法，以此來展現(xiàn)并梳理學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生的思維由對(duì)問題的直覺感知提升到對(duì)數(shù)學(xué)的理解。在整個(gè)分析、整理過程中，通過運(yùn)用“先……再……”“由于……因此……”“從……可知……”等表述方式將數(shù)學(xué)問題的解題思想表達(dá)出來，從而增強(qiáng)學(xué)生語言表達(dá)的條理性、邏輯性。另外，在具體教學(xué)時(shí)，還可以強(qiáng)化老師提問的能力。特別是把使用數(shù)學(xué)來表達(dá)、解釋數(shù)學(xué)算式的訓(xùn)練也加入進(jìn)來，這樣可以幫助他們提煉和把握應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。

其次，在變式練習(xí)中，我們可以通過設(shè)計(jì)一系列補(bǔ)充條件的練習(xí)來加強(qiáng)學(xué)生在形成數(shù)學(xué)模型過程中的有效解釋能力。這種練習(xí)可以幫助學(xué)生快速提取問題的核心條件，并將其轉(zhuǎn)化為可解決的形式。再次，針對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，我們可以提出相應(yīng)的習(xí)題。比如，給出兩種情況：A是8，B是6，如果可能的話，讓學(xué)生問各種各樣的問題。在教學(xué)中，應(yīng)先指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)一些能一步解決的問題，例如，A比B多多少？B比A少幾個(gè)？在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生設(shè)計(jì)一些需要分兩步來解決的問題，例如，A要給B幾個(gè)百分點(diǎn)，B要給A幾個(gè)點(diǎn)數(shù)，B是兩個(gè)數(shù)字之和的幾分之一？這樣的練習(xí)有助于學(xué)生培養(yǎng)從已知條件出發(fā)迅速思考并將問題轉(zhuǎn)化的能力。同時(shí)，在提出不同類型問題時(shí)，可以促進(jìn)他們的發(fā)散性思維。這一過程從分析到建立模型再到應(yīng)用模型，將變得得心應(yīng)手，使學(xué)生不僅經(jīng)歷了模型形成的全過程，還積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，避免了死記硬背的學(xué)習(xí)方式。這樣的課堂教學(xué)生動(dòng)有趣，通過交流與互動(dòng)，悄無聲息地將數(shù)量關(guān)系植入學(xué)生心中，為他們打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、問題信息顯象，數(shù)量關(guān)系隱質(zhì)

在哲學(xué)上，顯象只是現(xiàn)實(shí)世界呈現(xiàn)的一部分，而隱象才更接近真理的本質(zhì)。在某種應(yīng)用題新題型的學(xué)習(xí)完成后，再遇到此類問題我們將鼓勵(lì)學(xué)生先從分析題意入手。解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量之間的關(guān)系，并讓他們自主發(fā)現(xiàn)問題，親身感受到這些關(guān)系。通過精心設(shè)計(jì)的問題，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索解決問題的規(guī)律。學(xué)生已掌握了很多常用的數(shù)量關(guān)系，例如“距離=速度×?xí)r間”“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”、“工作量=工作效率×工時(shí)”等。這些基礎(chǔ)的數(shù)量關(guān)系都是等效的，只要把它們的基本數(shù)量關(guān)系（包括它們的變化）都記下來，就能很好地把它們列出來。所以，學(xué)生要深刻地認(rèn)識(shí)和歸納分?jǐn)?shù)乘法的解題要點(diǎn)，正確地掌握題中隱含的量的相等關(guān)系。這種方法能夠幫助他們更有效地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問題的技巧。小學(xué)生的思維正處于從直觀到抽象、從簡單到復(fù)雜的發(fā)展過程中，思維的深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性都在蓄勢待發(fā)。由于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成屬于心智技能活動(dòng)，因此在形成過程中必須依靠外界的信息，并且結(jié)合顯性活動(dòng)為形成過程打基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中應(yīng)該融合學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們通過應(yīng)用題的“再創(chuàng)造”來探索知識(shí)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，促進(jìn)能力的發(fā)展。

三、數(shù)量關(guān)系率道，模型應(yīng)用正己

人們常說：率道而行，端然正己。同樣道理，在實(shí)際教學(xué)中，我們讓學(xué)生遵循數(shù)量呈現(xiàn)出來的規(guī)律和關(guān)系，提煉出模型，并在應(yīng)用模型解決問題的過程中不斷自我修正和完善。在解決應(yīng)用題過程中極其重要的一部分便是分析數(shù)量關(guān)系。傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)通常只重視教授學(xué)生記憶類型和套用公式，這種方式將實(shí)際問題與抽象成數(shù)學(xué)模型的過程分割開來，不利于提升學(xué)生解答應(yīng)用題的能力。分析數(shù)量關(guān)系指的是研究題目中已知條件與問題之間以及已知條件之間的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)四則運(yùn)算的含義確定正確的解題策略。如果學(xué)生掌握了分析數(shù)量關(guān)系的方法就可以通過自己的理解來解答各種類型的題目。通過這種形式來提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。因此，教學(xué)中應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的能力，讓他們能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，而不僅僅是機(jī)械地套用公式和記憶模式。

例如：

（1）某校計(jì)劃組織學(xué)生參加足球比賽，原計(jì)劃報(bào)名參賽隊(duì)員400人，實(shí)際報(bào)名參賽的隊(duì)員為450人，實(shí)際報(bào)名人數(shù)超額了幾分之幾？

（2）某校計(jì)劃組織學(xué)生參加足球比賽，原計(jì)劃報(bào)名參賽隊(duì)員500人，實(shí)際報(bào)名參賽的隊(duì)員比原計(jì)劃報(bào)名參賽隊(duì)員多了50人，實(shí)際報(bào)名人數(shù)超額了幾分之幾？

（3）某校計(jì)劃組織學(xué)生參加足球比賽，實(shí)際報(bào)名參賽的隊(duì)員400人，比原計(jì)劃報(bào)名參賽隊(duì)員多了50人，實(shí)際報(bào)名人數(shù)超額了幾分之幾？

這樣的數(shù)學(xué)題目，其基本數(shù)量關(guān)系是不變的：原計(jì)劃報(bào)名參賽人數(shù)×實(shí)際超額完成的幾分之幾=超額完成的人數(shù)。學(xué)生只需將該數(shù)量關(guān)系記牢，無論題目中哪個(gè)要素不清楚，都能通過列出算式求解。

新課程理念下的“應(yīng)用題”教學(xué)，是教學(xué)環(huán)節(jié)中的一大難題，因?yàn)閷W(xué)生往往缺少分析問題的能力，經(jīng)常是在閱讀完題目后并沒有完全理解的情況下就立馬列出公式，造成失誤頻發(fā)。只會(huì)死記硬背，套用公式，不能隨機(jī)應(yīng)變。學(xué)生甚至不會(huì)用、不愿意用一些十分普遍的分析方法，因此導(dǎo)致了不應(yīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。在今后的“應(yīng)用題”教學(xué)中，我們將努力秉承解應(yīng)用題的一般步驟引導(dǎo)學(xué)生分析思考，比如在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)按照以下步驟：① 根據(jù)關(guān)鍵找單位“1”練習(xí)。② 畫線段圖，列出數(shù)量關(guān)系式的練習(xí)。③ 用不同的方式說同一種數(shù)量關(guān)系的練習(xí)。對(duì)于數(shù)量關(guān)系的闡述，不需要拘泥于形式。只要能夠結(jié)合具體情境和自身經(jīng)驗(yàn)描述出解決問題的思考過程就可以了。希望一步步地穩(wěn)扎穩(wěn)練能讓學(xué)生們?cè)谡页鰯?shù)量關(guān)系后感受到解決“應(yīng)用題”的樂趣。

通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“解決問題”中的數(shù)量關(guān)系，教師不應(yīng)該僅僅引導(dǎo)學(xué)生直接記憶相關(guān)公式，更應(yīng)該看清問題本質(zhì)來找到解決方法，這是鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的方法。俗話說：“萬丈高樓平地起”，我們應(yīng)該在每節(jié)課教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維，拓寬思維空間，訓(xùn)練思維的靈活性，讓數(shù)量關(guān)系植入孩子的心靈，讓數(shù)量關(guān)系更好地幫助孩子解題，為往后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，埋下種子。數(shù)量關(guān)系是助飛的翅膀，不是束手束腳的牢籠；是深植于心的素養(yǎng)，不是可有可無的形式。

（作者單位：山東省威海山大實(shí)驗(yàn)學(xué)校）