“一元二次方程”考點(diǎn)例析

從近幾年全國(guó)各地的中考題可以看出，有關(guān)一元二次方程的知識(shí)是中考的必考點(diǎn)，主要考點(diǎn)為一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．下面舉例分析.

一、一元二次方程的解法

例1 方程x2+4x+3=0的兩個(gè)根為（ ）．

A.x1=1，x2=3 B.x1=-1，x2=3

C.x1=1，x2=-3 D.x1=-1，x2=-3

解析：利用因式分解法將方程轉(zhuǎn)化為（x+1）（x+3）=0，則該方程的根為x1=-1，x2=-3.選D．

點(diǎn)撥：用因式分解法解一元二次方程的步驟是：（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的根就是原方程的根，若解一元二次方程時(shí)發(fā)現(xiàn)配方法、因式分解法不適用，則選用公式法．

二、一元二次方程的根的判別式

例2 已知方程x2-2根號(hào)下3x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____．

解析：根據(jù)該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知△=（-2根號(hào)下3）2-4mgt;0，解得m＜3.

點(diǎn)撥：當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△gt;0;當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△=0;當(dāng)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，△＜0.反之亦成立．

三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例3 若一元二次方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1x2的值是____.

解析：依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2=3.

點(diǎn)撥：解此類試題時(shí)，需要先將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），在方程有根（即△≥0）的情況下，再利用x1+x2=-b/a，x1x2=c/a來求解．

四、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

例4 某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2022年注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，2024年注冊(cè)用戶數(shù)為169萬．設(shè)注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，則x=_____．

解析：2022年注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，則2023年注冊(cè)用戶數(shù)比2022年增長(zhǎng)了100x萬，到2023年底注冊(cè)用戶數(shù)達(dá)到了100+1000x =100（1+x）萬.2024年注冊(cè)用戶數(shù)比2023年增長(zhǎng)了100x（1+x）萬，則2024年底注冊(cè)用戶數(shù)達(dá)到了100 （1+x） +100x（1+x）=100（1+x）2萬，即100（1+x）2=169，運(yùn)用直接開平方法求解，得到x1=-2.3（不合題意，舍去），x2=0.3=30%.

點(diǎn)撥：對(duì)于這種增長(zhǎng)率的應(yīng)用題，我們可以建立模型，設(shè)基礎(chǔ)量為a，平均增長(zhǎng)率為x，則增長(zhǎng)一次后的量為a+ax=a（1+x）；以a（1+x）為基礎(chǔ)量，再增長(zhǎng)一次后的量為a（1+x）+a（1+x）·x=a（1+x）2．這樣我們就可以根據(jù)等量關(guān)系建立一元二次方程，從而解決問題．