一道課本習(xí)題的變式與拓展

課本習(xí)題 用一條長(zhǎng)40 cm的繩子怎樣圍成一個(gè)面積為75 cm2的矩形？能圍成一個(gè)面積為101 cm2的矩形嗎？如能，說(shuō)明圍法；如不能，說(shuō)明理由.

解析：設(shè)出矩形的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)，表示出該邊的鄰邊長(zhǎng)，根據(jù)矩形面積列出方程，判斷方程是否有根．

設(shè)圍成面積為75 cm2的矩形的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為xcm．則該邊的鄰邊長(zhǎng)為（20-x）cm.

根據(jù)題意得x（20-x）=75，解得xi=5，x2=15．

∴能圍成面積為75 cm2的矩形，這個(gè)矩形的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為15 cm，該邊的鄰邊長(zhǎng)為5 cm.

同理，設(shè)圍成面積為101cm2的矩形的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為y cm，則該邊的鄰邊長(zhǎng)為（20-y） cm.

根據(jù)題意得y（20-y）=101，整理得y2-20y+101=0.

∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，

∴此方程無(wú)解，即不能圍成面積為101 cm2的矩形.

答：較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為15 cm，該邊的鄰邊長(zhǎng)為5 cm時(shí)，所圍成的矩形的面積為75 cm2.用一條長(zhǎng)40 cm的繩子不能圍成面積為101 cm2的矩形．

變式1 圍成一邊靠墻的一個(gè)矩形

例1 如圖1，某農(nóng)戶準(zhǔn)備圍成一個(gè)面積為120 m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻AB（AB=18 m），另三邊用現(xiàn)有的34 m長(zhǎng)的籬笆．若要在與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各開一扇2m寬的門，且籬笆沒有剩余，則這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)與墻垂直的一邊長(zhǎng)和與墻平行的一邊長(zhǎng)各是多少米？

解析：設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（38-2x）m．

根據(jù)題意得x（38-2x）=120，解得x1=15，X2=4.

當(dāng)x=15時(shí)．38-2x=8＜18．符合題意．

當(dāng)x=4時(shí)．38-2x=30＞18．不符合題意，故x=4應(yīng)舍去．

答：這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)與墻垂直的一邊長(zhǎng)是15 m，與墻平行的一邊長(zhǎng)是8 m．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道課本習(xí)題的變式題，求解時(shí)應(yīng)注意考慮兩扇門的寬度和墻的長(zhǎng)度．

變式2 圍成一邊靠墻的兩個(gè)矩形

例2 如圖2，用長(zhǎng)為24 m的籬笆，圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為10 m）中間隔有一道籬笆的矩形花圃，設(shè)花圃的寬AB為xm．

（1）若圍成的花圃面積為36 m2，求此時(shí)寬AB.

（2）能圍成面積為52 m2的花圃嗎？若能，請(qǐng)說(shuō)明圍法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：（1）花圃的寬AB為xm，則花圃的長(zhǎng)AD為（24-3x）m．

根據(jù)題意得x（24-3x）=36，解得x1=2，X2=6.

當(dāng)x=2時(shí)，24-3x=24-3x2=18gt;10，不合題意，故x=2應(yīng)舍去．

當(dāng)x=6時(shí)，24-3x=24-3×6=6＜10，符合題意．

答：此時(shí)寬AB為6m．

（2）不能圍成面積為52 m2的花圃，理由如下：

若x（24-3x）=52成立，則整理得3x2-24x+52=0．

∵△=（-24）2-4×3×52=-48＜0.

∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

∴不能圍成面積為52 m2的花圃．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和根的判別式．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．當(dāng)△＜0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，另外求解時(shí)可將兩個(gè)矩形看成一個(gè)大矩形，應(yīng)注意考慮墻的長(zhǎng)度．

變式3 圍成兩邊靠墻的矩形

例3 如圖3．農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形ABCD），兩邊靠現(xiàn)有墻（AD位置的墻最大可用長(zhǎng)度為21 m，AB位置的墻最大可用長(zhǎng)度為15 m），另兩邊用木欄，中間也用木欄隔開，分成兩個(gè)場(chǎng)地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1 m寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長(zhǎng)為45 m．設(shè)飼養(yǎng)場(chǎng)的一邊AB的長(zhǎng)為xm．

（1）若飼養(yǎng)場(chǎng)ABCD的面積為180 m2，求x的值．

（2）飼養(yǎng)場(chǎng)ABCD的面積能達(dá)到192 m2嗎？如果能，請(qǐng)求出x的值，并說(shuō)明圍法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：（1）由題意得x（48-3x） =180，解得x1=6，x2=10.

由1＜48-3x≤21，1＜x≤15，可得9≤x≤15，故x=10.

（2）不能，理由如下：

若x（48-3x）=192成立，則整理得3x2-48x+192=0．

解得x=8，由（1）知9≤x≤15，故此種情況不存在．

∴飼養(yǎng)場(chǎng)ABCD的面積不能達(dá)到192 m2.

點(diǎn)評(píng)：求解本題應(yīng)注意矩形兩邊靠墻，根據(jù)木欄總長(zhǎng)正確表示出矩形的長(zhǎng)和寬，依據(jù)矩形面積列出方程，并判斷方程根的情況得出答案．