高中物理中追及相遇問(wèn)題的解題思路與策略

摘 要：針對(duì)追及相遇這一高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題，分別應(yīng)用了分析法、函數(shù)法、圖像法三種常用的解法，并進(jìn)行了深度探究總結(jié).旨在讓學(xué)生深刻理解掌握解題的多種思路方法和技巧，培養(yǎng)學(xué)生的深度思維能力.

關(guān)鍵詞：追及相遇；方法技巧；核心素養(yǎng)；深度思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0118-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：宋銀遠(yuǎn)（1968.10—），男，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)物理教學(xué)研究.

在高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中，追及相遇問(wèn)題既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，它涉及物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、運(yùn)動(dòng)圖像等多方面知識(shí)，考查學(xué)生通過(guò)審題，呈現(xiàn)物理情景，分析條件和兩物體之間物理量的關(guān)系，從而找到解題的有效途徑.同時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題的解法和技巧較多，常用的方法主要有物理分析法、數(shù)學(xué)函數(shù)法和圖像法.下面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解題思路和方法，作以具體闡述，為廣大物理教師的教學(xué)提供借鑒經(jīng)驗(yàn).

1 基本關(guān)鍵思路

解決追及相遇問(wèn)的基本思路可以概括為：一個(gè)條件、一個(gè)臨界和兩個(gè)關(guān)系.

（1）一個(gè)條件：同一時(shí)刻到達(dá)同一位置.

（2）一個(gè)臨界：兩物體速度相等，它往往是物體間能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析的突破口.

（3）兩個(gè)關(guān)系：通過(guò)繪制運(yùn)動(dòng)示意圖，可以清晰地呈現(xiàn)兩物體的位移關(guān)系與時(shí)間關(guān)系^[1].

2 典型問(wèn)題分析解答

2.1 速度小的物體追速度大的物體

2.1.1 典型問(wèn)題

當(dāng)一輛警車(chē)?？吭诼愤厵z查站時(shí)，另一輛摩托車(chē)正以v=8 m/s的速度緩慢行駛，從警車(chē)的后方經(jīng)過(guò)時(shí)，警車(chē)立即以a=4 m/s2的加速度開(kāi)始追趕.那么，在警車(chē)追上摩托車(chē)之前，兩輛車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間距離最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少^[2]？

2.1.2 分析解答

第一步：通過(guò)審題，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖（如圖1），將過(guò)程形象化.

第二步：通過(guò)分析，將解題過(guò)程問(wèn)題化.

（1）開(kāi)始追趕過(guò)程，警車(chē)和摩托車(chē)各自做什么運(yùn)動(dòng)？

（2）滿足兩車(chē)相距最遠(yuǎn)的關(guān)鍵條件是什么？

解法一 物理分析法

當(dāng)警車(chē)和摩托車(chē)的速度相同時(shí)，它們之間的距離最遠(yuǎn).設(shè)此時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，則有 v警=at=v，解得：t=va=84 s=2 s.兩車(chē)的距離為 Δxm=x摩-x警=vt-12at2，解得：Δxm=8×2 m-12×4×22m=8 m.所以經(jīng)過(guò)2 s時(shí)間距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為8 m.

解法二 數(shù)學(xué)函數(shù)法

如果警車(chē)在追上摩托車(chē)之前，兩輛車(chē)的距離最遠(yuǎn)，那么就可以得出以下結(jié)論：Δxm=vt-12at2，代入已知數(shù)據(jù)得：Δxm=-2t2+8t，由二次函數(shù)求極值的條件可知：t=2 s時(shí)，有最大值Δxm=8 m.

解法三 圖像法

根據(jù)圖像（如圖2所示），在相遇之前，兩者的速度相同時(shí)，它們的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)的距離為三角形陰影部分的面積.因此則有：t1=v1a=2 s，Δxm=12×8×2 m=8 m.

2.1.3 拓展延伸

這道題還可以進(jìn)一步追問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間警車(chē)追上摩托車(chē)？追上時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

解法一 分析法

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t警車(chē)追上摩托車(chē)，此時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離為x則有：12at2=vt， 代入數(shù)據(jù)得 t=4 s.x=x摩=x警=12at2 ，代入數(shù)據(jù)得：x=32 m.所以經(jīng)4 s警車(chē)追上摩托車(chē)，追上時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)32 m.

解法二 函數(shù)法

設(shè)任意t時(shí)刻兩物體之間的距離為 Δx則有：Δx=8t-2t2，當(dāng)Δx=0時(shí)，警車(chē)恰好追上摩托車(chē)，即8t-2t2=0，此時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離x=x摩=x警=12at2，聯(lián)立解得x=32 m.

解法三 圖像法

當(dāng)警車(chē)追上摩托車(chē)時(shí)，兩者的位移相等，根據(jù)v-t圖像（圖3所示）的物理意義可知，兩個(gè)三角形全等面積相等，由圖可得t2時(shí)刻相遇，則有：t2=2t1=4 s，v2=2v1=16 m/s.

此時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)的距離：

x=12×4×16 m=32 m.

函數(shù)v-t圖像

2.1.4 探究結(jié)論

（1）當(dāng)兩者速度相等時(shí)，兩者間有最大距離.

（2）當(dāng)追趕者的速度超過(guò)被追趕者的速度，兩者距離要逐漸減小.

2.2 速度大的物體追速度小的物體

2.2.1 典型問(wèn)題

如圖4，當(dāng)甲和乙兩輛汽車(chē)在平坦的道路上同向行駛時(shí)，甲車(chē)的速度為v甲=4 m/s，乙車(chē)在后以v乙=

20 m/s的速度行駛，但由于沙塵暴的影響，當(dāng)乙車(chē)距離甲車(chē)x0=80 m時(shí)，它才意識(shí)到前方有一輛車(chē)，于是它立即剎車(chē)，但它還需要行駛100 m才能停下來(lái).問(wèn)：乙車(chē)剎車(chē)時(shí)如果甲汽車(chē)?yán)^續(xù)保持原來(lái)的速度，它們是否會(huì)發(fā)生碰撞？如果不發(fā)生碰撞，那么兩輛汽車(chē)之間的最近距離是多少？

運(yùn)動(dòng)流程圖（B）

2.2.2 分析解答

（1）甲車(chē)在前，乙車(chē)在后，乙車(chē)追趕甲車(chē).

（2）乙車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng)，甲車(chē)做勻速運(yùn)動(dòng).

（3）兩者速度相等是判斷是否相撞的臨界條件.

解法一 物理分析法

設(shè)乙車(chē)的加速度大小為a，則由v2乙=2ax得a=v2乙2x=400200 m/s2=2 m/s2.當(dāng)兩車(chē)速度相等時(shí)有v甲=v乙-at1，解得t1=8 s.

在此過(guò)程中，x乙=v乙t1-12at21=96 m，x甲=v甲t1=32 m.通過(guò)比較顯然可知：x乙lt;x甲+x0，所以兩車(chē)不會(huì)相撞.

兩車(chē)的最近距離 Δx=x甲+x0-x乙=32 m+80 m-96 m=16 m.

解法二 數(shù)學(xué)函數(shù)法

（1）極值法：設(shè)任意時(shí)刻t兩物體之間的距離為y，則有y=x甲+x0-x乙，代入數(shù)據(jù)整理得y=t2-16t+80=（t-8）2+16gt;0.因此兩車(chē)不會(huì)相撞，兩車(chē)的最近距離ymin=16 m.

（2）如果兩輛汽車(chē)發(fā)生碰撞，那么可以采用判別式法來(lái)確定：根據(jù)相撞時(shí)二者的位移相等，整理得t2-16t+80=0，由于162-4×80lt;0，因此關(guān)于t的一元二次方程無(wú)解，說(shuō)明兩車(chē)不相撞，兩車(chē)的最近距離ymin=16 m.

解法三 圖像法

如圖5所示，v甲=4 m/s，v乙=20 m/s，x0=80 m，設(shè)t1時(shí)刻兩車(chē)速度相等，則t1=8 s. 在此時(shí)間內(nèi)兩車(chē)的位移差為Δx=12×8×（20-4） m=64 m， 由于Δxlt;x0， 所以兩車(chē)不相撞，兩車(chē)的最近距離Δxmin=80 m-64 m=16 m.

2.2.3 探究結(jié)論

（1）即使兩個(gè)物體的速度相同，如果追隨者的位移仍然比被追隨者的位移與初始間隔的總和小，那么它們永遠(yuǎn)無(wú)法相遇.

（2）如果兩個(gè)物體的速度相同，追隨者的位移正好為被追隨者的位移與初始距離的總和，那么，這就是兩物體在相遇時(shí)避免碰撞的臨界值^[3].

3 方法小結(jié)

求解追及相遇問(wèn)題的常用方法主要有以下三種.

3.1 物理分析法

通過(guò)物理分析法，我們可以確定兩個(gè)物體之間的臨界狀態(tài)，并利用運(yùn)動(dòng)學(xué)的原理來(lái)推導(dǎo)它們之間的位移、速度和時(shí)間的關(guān)系，從而求得它們之間的相互影響.

3.2 數(shù)學(xué)函數(shù)法

（1）根據(jù)題設(shè)條件得出兩物體間的距離y隨時(shí)間t的函數(shù)f（t），如果在任何時(shí)刻，都存在y=f（t）gt;0的情況，那么這兩個(gè)物體將永遠(yuǎn)不會(huì)相遇.但是，如果存在y=f（t）≤0的情況，那么它們將有可能相遇.

（2）如果兩個(gè)物體在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生碰撞，我們可以通過(guò)分析它們之間的位移關(guān)系，將其轉(zhuǎn)換成一元二次方程，以便更好地描述它們之間的碰撞情況.若Δgt;0兩者相遇兩次，若Δ=0兩者恰好相遇，若Δlt;0兩者不會(huì)相遇.

3.3 圖像法

通過(guò)在同一坐標(biāo)系上繪制兩個(gè)物體的v-t圖像，并利用它們的物理特征來(lái)研究和解決相關(guān)的問(wèn)題.

4 結(jié)束語(yǔ)

高中物理直線運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題包括勻加速追勻速、勻減速追勻加速、勻速追勻加（或減）速以及勻加速追勻加（或減）速等.盡管運(yùn)動(dòng)形式有多種多樣，然而基本思路方法不會(huì)改變.只有教師在教學(xué)中善于鉆研、積極拓展引導(dǎo)，才能夠取得事半功倍的效果.對(duì)于學(xué)生，可以避免機(jī)械刷題，從“題?！敝忻撾x出來(lái)，提高物理的核心素養(yǎng)和綜合能力.

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[2] 張任君，多題歸一法減輕學(xué)生的物理課業(yè)負(fù)擔(dān)[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2021（5）：20-22.

[3] 沈蔡林，追趕及相遇問(wèn)題的常用分析方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2004（2）：13-16.

［責(zé)任編輯：李 璟］