2024年高考數(shù)學(xué)北京卷第19題的解法探析

摘 要：解析幾何是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，主要考查學(xué)生圓錐曲線的基本知識(shí)、基本運(yùn)算能力及探究能力.以2024年高考北京卷為例，對(duì)解析幾何解答題的常規(guī)解法進(jìn)行了一題多解的探討.

關(guān)鍵詞：聯(lián)立法；設(shè)點(diǎn)法；從特殊到一般；參數(shù)方程

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0094-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：劉磊（1984.10—），男，河北省文安人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

岳京川（1973.4—），男，四川省安岳人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2024年高考數(shù)學(xué)北京卷第19題綜合性強(qiáng)，題目設(shè)置簡(jiǎn)潔，解題入口寬，解法靈活多樣，不同解法之間運(yùn)算量差異明顯，能夠較好地區(qū)分不同層次的學(xué)生.有效考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸，以及運(yùn)算求解能力，是一道考查解析幾何的好題.

1 真題呈現(xiàn)

題目 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形，過(guò)（0，t）（tgt;2）的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），連接AC交橢圓E于點(diǎn)D.

（1）求橢圓E的方程和離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t的值.

2 解法探究

2.1 第（1）問(wèn)解析

解析 由題意得a2=b2+c2，b=c，b2+c2=4，解得

a=2，b=2，c=2.

所以橢圓E的方程為x24+y22=1，離心率e=22.

2.2 第（2）問(wèn)解析

官方解析 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4， 得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-41+2k2.

所以y1+y2=k（x1+x2）+2t=2t1+2k2，

y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=t2-4k21+2k2.

又直線AC的斜率為y1-1x1，方程為y=y1-1x1x+1.

由y=y1-1x1x+1，x2+2y2=4， 得

［1+2（y1-1）2x21］x2+4y1-4x1·x-2=0.

所以x1xD=-21+2（y1-1）2/x21=x212y1-3.

所以xD=x12y1-3，yD=3y1-42y1-3.

因?yàn)橹本€BD的斜率為0，所以

y2-yD=y2-3y1-42y1-3=2y1y2-3（y1+y2）+42y1-3=0.

所以2y1y2-3（y1+y2）-4=0.

所以2·t2-4k21+2k2-3·2t1+2k2+4=0.

所以2t2-8k2-6t+4+8k2=0.

整理，得t2-3t+2=0.解得t=1（舍）或t=2.

所以t=2.

角度1 常規(guī)曲直聯(lián)立.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4，得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-41+2k2.

解法1 因?yàn)橹本€BD的斜率為0，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-x2，y2）.因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以

kAC=kDC.所以y1-1x1=y2-1-x2.

所以kx1+t-1x1+kx2+t-1x2=0.

所以2kx1x2+（t-1）（x1+x2）=0.

所以2k·2t2-41+2k2+（t-1）·-4kt1+2k2=0.

所以kt-2t=0.

因?yàn)閗不恒為0，所以t=2.

解法2 連接BC.因?yàn)橹本€BD的斜率為0，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱.

所以直線AC和直線BC斜率互為相反數(shù)，即kAC+kBC=0.

所以y1-1x1+y2-1x2=0.

所以kx1+t-1x1+kx2+t-1x2=0.

所以2kx1x2+（t-1）（x1+x2）=0.

所以2k·2t2-41+2k2+（t-1）·-4kt1+2k2=0.

所以kt-2t=0.

因?yàn)閗不恒為0，所以t=2.

解法3 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)橹本€BD的斜率為0，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-x2，y2）.設(shè)直線l的方程為y=k1x+t.

由y=k1x+t，x2+2y2=4， 得x2+2（k1x+t）2=4.

整理，得（1+2k21）x2+4k1tx+2（t2-2）=0.

所以△=16k21t2-8（1+2k21）（t2-2）gt;0，x1x2=2t2-41+2k21.

設(shè)直線AD的方程為y=k2x+1，

同理可得-x1x2=-21+2k22.

所以2t2-41+2k21=21+2k22.

所以t2（1+2k22）=3+4k22+2k21.

由y=k1x+t，y=k2x+1， 得A（1-tk1-k2，k1-k2tk1-k2）.

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓E上，

所以（1-tk1-k2）2+2（k1-k2tk1-k2）2=4.

所以（1+2k22）t2-2（1+2k1k2）t+1-2k21+8k1k2-4k22=0.

所以3+4k22+2k21-2（1+2k1k2）t+1-2k21+8k1k2-4k22=0.

整理，得2（t-2）（1+2k1k2）=0.

因?yàn)?+2k1k2不恒為0，所以t=2.

角度2 設(shè)點(diǎn)法（坐標(biāo)法）.

解法4 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x21+2y21=4，x22+2y22=4.

因?yàn)橹本€BD的斜率為0，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-x2，y2）.

所以直線AB的方程為y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，令x=0，

得yP=x2y1-x1y2x2-x1，即t=x2y1-x1y2x2-x1.①

同理直線AD的方程為y-y1y2-y1=x-x1-x2-x1，令x=0，

得yC=x2y1+x1y2x2+x1，即1=x2y1+x1y2x2+x1.②

①×②，得

t=x22y21-x21y22x22-x21=x22（2-x21/2）-x21（2-x22/2）x22-x21=2.

角度3 參數(shù)方程法.

解法5 設(shè)A（2cosα，2sinα）（cosα≠0），B（x2，y2），

所以直線l的斜率k=2sinα-t2cosα，

方程為y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4， 得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

2cosα·x2=2（t2-2）1+2k2

=2（t2-2）1+2（2sinα-t）2/（2cos2α）

=2（t2-2）·2cos2α2-22sinα·t+t2.

所以x2=2（t2-2）·cosα2-22sinα·t+t2.

因?yàn)橹本€BD的斜率為0，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-x2，y2）.

同理可得-x2=-2cosα3-22sinα.

故2cosα3-22sinα=2（t2-2）·cosα2-22sinα·t+t2.

故（3-22sinα）（t2-2）-（2+t2-22tsinα）=0.

所以（t-2）［（1-2sinα）t+（2-2sinα）］=0.

即（1-2sinα）t2+2sinα·t-4+22sinα=0.

因?yàn)椋?-2sinα）t+（2-2sinα）不恒為0，

所以t=2.

解法6 設(shè)A（2cosα，2sinα），B（2cosβ，

2sinβ）.

因?yàn)橹本€BD的斜率為0，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2cosβ，2sinβ）.

所以直線AB的方程為

y-2sinα2sinβ-2sinα=x-2cosα2cosβ-2cosα.

令x=0，得t=2（sinαcosβ-cosαsinβ）cosβ-cosα.

同理直線AD的方程為

y-2sinα2sinβ-2sinα=x-2cosα-2cosβ-2cosα.

令x=0，得1=2（sinαcosβ+cosαsinβ）cosβ+cosα.

所以t=2（sin2αcos2β-cos2αsin2β）cos2β-cos2α=2.

3 結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在教學(xué)建議中提到：教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，理清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)^[1].作為一線高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)深入研究高考試題，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵，讓高考試題真正發(fā)揮其育人的功能.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責(zé)任編輯：李 璟］