立足“一題多解” 進(jìn)行“一題多變”

摘 要：以2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷第15題為例，并與以往高考題比較，尋求其通性通法；比較此題與教材中的題，揭示高考題源于教材并高于教材；利用一題多解研究其不同解法，尋求解題本質(zhì)，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過(guò)一題多變，發(fā)散數(shù)學(xué)思維.

關(guān)鍵詞：一題多解；一題多變；新課標(biāo)卷；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0069-04

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：何順?lè)迹?999.1—），貴州省銅仁人，碩士，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解三角形是新高考命題的熱門(mén)話題.新課標(biāo)卷打破了以往的命題模式，靈活科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、順序，有助于打破學(xué)生機(jī)械應(yīng)試的套路，打破教學(xué)中僵化、固定的訓(xùn)練模式；考查的內(nèi)容依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和靈活運(yùn)用.

1 真題再現(xiàn)

高考真題 （2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周長(zhǎng).

2 試題分析

第一題主要考查的是輔助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）的化解；第二題利用正弦定理和二倍角公式化解2bsinC=csin2B，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)求出周長(zhǎng).本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 題源追蹤

（2017年全國(guó)Ⅲ卷第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2.

（1）求c;

（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解析 （1）因?yàn)閟inA+3cosA=0，

所以2sin（A+π3）=0.

又A∈（0，π），所以A=2π3.

根據(jù)余弦定理，有

cosA=b2+c2-a22bc.

代入得-12=4+c2-284c，解得c=4.

（2）在△ABC中，由正弦定理，得

sinC=sinAa·c=3/227×4=217.

所以cosC=287.

所以tanC=32.

在Rt△ADC中，AD=AC·tanC=3，則

S△ADC=12×2×3=3.

由（1）知S△ABC=12·sinA·bc=23.

所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=3.

比較兩道高考題發(fā)現(xiàn)，解三角形是高考題的熱點(diǎn)話題，主要考查正弦定理、余弦定理、萬(wàn)能公式等知識(shí)點(diǎn)，重在提升學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.研究發(fā)現(xiàn)高考題強(qiáng)調(diào)通性通法的考查^[1]，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重通法的教學(xué)，讓學(xué)生在掌握通性通法的基礎(chǔ)上，再根據(jù)題目的具體呈現(xiàn)形式，靈活選擇并嘗試變形，最終完成解題.

4 課本溯源

（2019年人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第48頁(yè)第3題）在△ABC中，已知cosA=45，B=π3，b=3，

求a，c.

解析 因?yàn)閏osA=45，A∈（0，π），所以sinA=35.

根據(jù)正弦定理，得

a=bsinAsinB=3×3/53/2=65.

又因?yàn)锽=π3，A+B+C=π，

所以C=2π3-A.

于是sinC=sin（2π3-A）=32cosA+12sinA=43+310.

由正弦定理，得

c=bsinCsinB=3×（43+3）/103/2=43+35.

教材中題的條件比較簡(jiǎn)單直接，知道一個(gè)角及其所對(duì)的邊的長(zhǎng)度，還已知另外一個(gè)角的余弦值，要求另外兩邊的邊長(zhǎng).而高考題是先給出一個(gè)等式，需要用萬(wàn)能公式將其化解得到特殊的正弦值，再結(jié)合三角形的特征得到角的大小，接著題目給出了一條邊的邊長(zhǎng)和一個(gè)式子，將這個(gè)式子進(jìn)行化解，得到的是另外一個(gè)角的余弦值，最后要求三角形的周長(zhǎng)，也就是需要求出另外兩邊的邊長(zhǎng).總結(jié)該題所給的條件，即已知一個(gè)角及其所對(duì)邊的大小，還知另外一角的余弦值，求此三角形的周長(zhǎng).兩道題的本質(zhì)是一樣的，都是已知一個(gè)角及其所對(duì)邊的大小，還知另外一個(gè)角的余弦值，求另外兩邊的長(zhǎng)度.所以，此高考題的原型就是2019年人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第48頁(yè)的第3題.這說(shuō)明這道高考題源于課本但高于課本，因此，教師在教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生立足于課本，適當(dāng)提高，就能提質(zhì)減負(fù)！

5 一題多解

5.1 第（1）問(wèn)解析

解析 因?yàn)閟inA+3cosA=2sin（A+π3）=2，

所以sin（A+π3）=1.

所以A+π3=π2+2kπ.

因?yàn)锳∈（0，π），

所以A=π6.5.2 第（2）問(wèn)解析

分析1 要求三角形的周長(zhǎng)，先求出三邊長(zhǎng).由正弦定理，對(duì)2bsinC=csin2B化解得cosB=22，根據(jù)三角形三個(gè)角的范圍是（0，π），進(jìn)而得出B=π4，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π，求出角C=7π12.又根據(jù)特殊角的正弦值求出sinB和sinC，進(jìn)而得出a，b，c的大小，最后由三角形的周長(zhǎng)公式

求出△ABC的周長(zhǎng).

解法1 因?yàn)?bsinC=csin2B，

所以2bsinC=2csinBcosB.

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π4.

由A+B+C=π，得C=7π12.

所以sinB=22，sinC=6+24.

再根據(jù)正弦定理，得

b=22，c=6+2.

所以三角形的周長(zhǎng)為

C=a+b+c=2+32+6.

分析2 根據(jù)正弦定理對(duì)2bsinC=csin2B化解得出cosB=22，由于三角形三個(gè)角度范圍的限制，得到B=π4，再由正弦定理求出b，根據(jù)余弦定理，將a和b的值代入得一元二次方程c2-22c-4=0，解該一元二次方程得到c有兩個(gè)值，但由于c是三角形邊長(zhǎng)且它所對(duì)的角是鈍角，所以

c=6+2，進(jìn)而將a，b，c代入三角形周長(zhǎng)公式，最終完成解題.

解法2 因?yàn)?bsinC=2csinBcosB，

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

所以sinB=22.

由asinA=bsinB，得b=22.

根據(jù)余弦定理，得c2-22c-4=0.

因此c=6+2.

故C=a+b+c=2+32+6.

分析3 求三角形的周長(zhǎng)先要求出三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)第一題的結(jié)論，這些角都是特殊角或者由特殊角進(jìn)行加減所得，那么就可以根據(jù)特殊角構(gòu)造特殊三角形.

解法3 構(gòu)造如圖1所示的等腰△BCD，由（1）知A=π6.圖1 解法3示意圖

因?yàn)?bsinC=csin2B，

所以2bsinC=2csinBcosB.

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π4.

由A+B+C=π，得C=7π12.

所以∠CDB=∠B=45°.

所以BD=22.

所以∠CDA=135°，∠DCA=15°.

在△ACD中，AC=22，

由正弦定理，得

22sin135°=ADsin15°.

所以AD=6-2.

所以AB=AD+BD=6+2.

故三角形的周長(zhǎng)為AB+BC+CA=2+6+32.

6 一題多變

在高考真題的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)該題進(jìn)行了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

變式1 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的面積.

變式2 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的周長(zhǎng).

變式3 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的面積.

變式4 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB≤0，

（1）求B的取值范圍;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的周長(zhǎng)的取值

范圍.

變式5 記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB≤0，

（1）求B的取值范圍;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的面積的取值

范圍.

變式6 在銳角△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC=csin2B，

（1）求B;

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

7 結(jié)束語(yǔ)

解三角形問(wèn)題需要充分挖掘題目所給條件的內(nèi)涵與本質(zhì)，深入理解題意條件與所求是解決問(wèn)題的前提，將所給條件與所求結(jié)論進(jìn)行不同層面的整合，從不同的方面分析問(wèn)題進(jìn)行“一題多解”.在一般解法的基礎(chǔ)上，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，尋求其他解法，拓展自己的思維，并從多種解法中尋求最佳的解法，其他解法可以幫助檢驗(yàn)問(wèn)題的答案，一勞多逸；從不同的思維視角“一題多變”與拓展，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，達(dá)到“一題多得”，做到真正的融會(huì)貫通；從數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用、數(shù)學(xué)能力的提升、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育等多方面多層次融合，形成數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，獲得良好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力，獲得數(shù)學(xué)創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)：

［1］于丹.借助“一題多解”，進(jìn)行“一題多變”：以2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第5題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（03）：76-77.

［責(zé)任編輯：李 璟］