二次三項(xiàng)式在求解高中物理最值問題中的應(yīng)用

摘 要：通過描述二次三項(xiàng)式的基本概念與二次函數(shù)，詳細(xì)分析疊加場(chǎng)、平拋運(yùn)動(dòng)等多個(gè)物理實(shí)例，探討二次三項(xiàng)式在高中物理最值問題求解中的廣泛應(yīng)用，闡述如何利用二次三項(xiàng)式的性質(zhì)和求解方法，巧妙地解決涉及速度等最值問題，期望能為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供幫助.

關(guān)鍵詞：二次三項(xiàng)式；高中物理；最值問題

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0115-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：秦言濤（1979.10—），男，江蘇省沛縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：徐州市教育科學(xué)規(guī)劃課題“基于‘綜合實(shí)踐力’培養(yǎng)的高中物理跨學(xué)科教學(xué)策略研究”（編號(hào)：GH14-23-L116）.

在高中物理的學(xué)習(xí)中，最值問題是一類常見且重要的題型.這些問題往往涉及物理概念、規(guī)律和數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.二次三項(xiàng)式作為一種常見的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在求解這類最值問題時(shí)發(fā)揮著關(guān)鍵作用^[1].通過將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用二次三項(xiàng)式的相關(guān)知識(shí)，可以更加準(zhǔn)確和高效地找到問題的最優(yōu)解.

1 二次三項(xiàng)式的基本概念與二次函數(shù)

二次三項(xiàng)式通常表示為ax2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0.根據(jù)這個(gè)形式自然會(huì)想到二次函數(shù)，若設(shè)y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0），可根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)解決最值問題.當(dāng)agt;0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，有最小值；當(dāng)alt;0時(shí)，圖象開口向下，有最大值.函數(shù)的最值可通過頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b2a，4ac-b24a）求得.

2 疊加場(chǎng)中速度的最值問題

例1 如圖1所示，帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的小物塊A以v0的初速度從光滑絕緣的足夠高的高臺(tái)邊緣水平飛出.已知高臺(tái)邊緣右側(cè)整個(gè)空間內(nèi)存在著場(chǎng)強(qiáng)大小E=3mgq、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，g為重力加速度.下列選項(xiàng)正確的是（" ）.

A.小物塊不可能碰到高臺(tái)邊緣

B.小物塊肯定會(huì)碰到高臺(tái)邊緣，碰前小物塊加速度不變

C.小物塊距高臺(tái)邊緣的最大水平距離為v206g

D.運(yùn)動(dòng)過程中小物塊速度的最小值為10v010

解析 由于高臺(tái)右側(cè)足夠大，小物塊進(jìn)入電場(chǎng)后在水平方向先向右做勻減速，速度減為零后向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，所以肯定會(huì)碰到高臺(tái)邊緣，且在運(yùn)動(dòng)中小球受到重力和電場(chǎng)力，合力恒定，則加速度恒定，所以相碰前小物塊在做勻變速運(yùn)動(dòng)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.小物塊水平向右做勻減速過程，qE=ma，E=3mgq，聯(lián)立解得a=3g，當(dāng)向右速度減為零時(shí)，距高臺(tái)邊緣水平距離最大，根據(jù)速度位移公式，可得xm=v202×3g=v206g，故C選項(xiàng)正確.

小物塊水平方向分速度為vx=v0-3gt，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直分速度為vy=gt，合速度為v=v2x+v2y=（v0-3gt）2+（gt）2=10g2t2-6gtv0+v20，令y=10g2t2-6gv0·t+v20，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)，當(dāng)t=3v010g時(shí)，y有最小值，v有最小值為v=10v010，故D選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題D選項(xiàng)中，要求解小物塊運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度，而v=v2x+v2y=（v0-3gt）2+（gt）2=10g2t2-6gtv0+v20，根式下是關(guān)于t的二次三項(xiàng)式，而速度隨時(shí)間的變化而變化，可根據(jù)二次函數(shù)最值的求解方法求速度的最值.

3 平拋運(yùn)動(dòng)中水平位移的最值問題

例2 如圖2，豎直半圓軌道AC與水平平臺(tái)AB在A點(diǎn)平滑連接，平臺(tái)AB右側(cè)在B點(diǎn)與長為L=4 m的水平傳送帶BD無縫對(duì)接，平臺(tái)AB和半圓軌道AC均光滑.質(zhì)量為m1=0.3" kg和m2=1" kg的兩個(gè)小物體中間夾有一輕質(zhì)彈簧，用細(xì)繩將兩小物體連接起來，開始時(shí)處于壓縮狀態(tài).已知傳送帶向左以v0=1.5 m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，傳送帶與小物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.15.當(dāng)某時(shí)刻剪斷繩的瞬間，小物體m1以v1=10 m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，小物塊m2以v2=3 m/s的速度向右運(yùn)動(dòng).g取10 m/s2.求：

（1）從小物體m2滑上傳送帶到第一次滑離傳送帶的時(shí)間；

（2）從小物體m2滑上傳送帶到第一次滑離傳送帶的過程中，電動(dòng)機(jī)為維持傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)而多消耗的電能E；

（3）為了讓小物體m1從C點(diǎn)水平飛出后落至AB平面的水平位移最大，求豎直光滑半圓軌道AC的半徑R和小物體m1平拋的最大水平位移x的大小.

解析 （1）m2的加速度a=μg=0.15×10 m/s2=1.5 m/s2，勻減速到零的時(shí)間t1=v2a=2 s.

發(fā)生的位移x1=12at21=12×1.5×22 m=3 mlt;4 m，則m2先向右減速至速度為零，后向左加速至速度為v0=1.5 m/s，所用時(shí)間為t2=v0a=1 s，此時(shí)位移x2=12at22=0.75 m，則此后向左勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t3=x1-x2v0=1.5" s，故總時(shí)間為t=t1+t2+t3=4.5 s.

（2）m2與傳送帶速度相等之前的過程中，傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離x帶=v0（t1+t2）=4.5 m，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能為E=μm2g·x帶=0.15×1×10×4.5 J=6.75 J.

（3）設(shè)AC的半徑為R時(shí)，m1做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大為x，從A到C過程中，由動(dòng)能定理得-m1g2R=12m1v2c-12m1v21，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有x=vct，2R=12gt2，聯(lián)立整理得x=210R-4R2，令y=-4R2+10R，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)R=-102×（-4）m=1.25 m時(shí)y最大，即R=1.25 m時(shí)水平位移最大，最大值為x=210R-4R2=210×1.25-4×1.252m=5 m.

點(diǎn)評(píng) 本題第（3）問中，要求解小物體m1平拋的最大水平位移x的大小，根據(jù)物理規(guī)律解得x=

210R-4R2，根式下是關(guān)于R的二次三項(xiàng)式的形式，令y=-4R2+10R后，根據(jù)二次函數(shù)的方法求解y的最大值，進(jìn)而得出水平位移x的最大值.

4 電源輸出功率的變化問題

例3 如圖3所示電路中，電源內(nèi)阻不能忽略，電流表A1、A2和電壓表V均為理想電表.當(dāng)滑動(dòng)變阻器R2滑片向左移動(dòng)時(shí)（" ）.

A.電流表A1示數(shù)增大

B.電流表A2示數(shù)減小

C.電壓表V的示數(shù)減小

D.電源的輸出功率可能減小

解析 根據(jù)電路圖可知：電阻R1和滑動(dòng)變阻器R2并聯(lián)，通過R2的電流用電流表A1測(cè)量，干路的總電流用電流表A2測(cè)量，R2兩端的電壓用電壓表V測(cè)量.當(dāng)R2的滑片向左移動(dòng)的過程中，R2的阻值逐漸減小，由1R總=1R1+1R2得：整個(gè)外電路的總電阻R總逐漸減小，而電源內(nèi)阻是不變的，由I=Er+R總得：總電流I變大，所以電流表A2的示數(shù)變大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)和內(nèi)阻不變，總電流變大，根據(jù)U外=E-Ir，可得：外電壓變小，即電壓表V的示數(shù)減小，故C選項(xiàng)正確；電阻R1不變，外電壓減小，根據(jù)I1=U外R1可知，流過R1的電流逐漸減小，而總電流在變大，根據(jù)I總=I1+I2得：通過R2的電流逐漸增大，所以電流表A1的示數(shù)逐漸增大，故A選項(xiàng)正確；電源的輸出功率P出=I2R，變形整理得P出=E2RR2+2rR+r2-4Rr+4Rr=E2（R-r）2/R+4r，因?yàn)橥怆娮鑂和內(nèi)電阻r的大小關(guān)系不能確定，所以電源的輸出功率可能減小，也可能增大，故D選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題D選項(xiàng)中，需要分析電源輸出規(guī)律的變化情況，而電源的輸出功率P出=I2R，變形整理得P出=E2（R+r）2R=E2RR2+2rR+r2，分母是二次三項(xiàng)式，但是分子的R也是變量，因此較難分析其最值，進(jìn)一步變形得P出=E2RR2+2rR+r2-4Rr+4Rr=E2（R-r）2/R+4r，可得：當(dāng)R=r時(shí)電源輸出功率最大，電阻R和內(nèi)電阻r的大小關(guān)系不能確定，所以電源輸出功率的變化情況不能確定.

5 結(jié)束語

二次三項(xiàng)式在求解高中物理最值問題中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.通過將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用二次三項(xiàng)式的性質(zhì)和求解方法，能夠更加深入地理解物理概念和規(guī)律，提高解決問題的能力^[2].在學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中，要注重物理與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合，培養(yǎng)綜合分析和解決問題的思維能力^[3].總之，熟練掌握二次三項(xiàng)式在高中物理最值問題中的應(yīng)用，將為學(xué)生解決物理難題提供有力的工具，有助于提高學(xué)生的物理學(xué)習(xí)水平和科學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］龔栩.利用函數(shù)解決高中物理的最值問題[J].中國教師，2010（S1）：275-276.

[2] 代國紅，岳娜娜.二次函數(shù)在解決高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)最值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（10）：96-97.

[3] 鄧開應(yīng).靈活運(yùn)用二次函數(shù)，物理問題快速求解[J].高考，2018（15）：52.

［責(zé)任編輯：李 璟］