利用“凹凸反轉(zhuǎn)”解導數(shù)題

摘 要：利用“凹凸反轉(zhuǎn)”思想解題的關(guān)鍵是利用指對分離將函數(shù)一分為二，使得這兩個函數(shù)的凹凸性相反，而且其中一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值.文章通過舉例對利用“凹凸反轉(zhuǎn)”解導數(shù)題進行剖析.

關(guān)鍵詞：導數(shù)；函數(shù)不等式；凹凸反轉(zhuǎn)；解題策略；應(yīng)用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0063-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：劉薇（1984.2—），女，河南省上蔡人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

很多時候，我們需要證明f（x）gt;0，但不代表就要證明f（x）mingt;0，因為大多數(shù)情況下，f ′（x）的零點可能是解不出來的.如果隱零點法不好處理，可嘗試用凹凸反轉(zhuǎn). 如要證明f（x）gt;0，可把f（x）拆分成兩個函數(shù)g（x），h（x），放在不等式的兩邊，即要證g（x）gt;h（x），只要證明了g（x）mingt;h（x）max即可，如圖1，這個命題顯然更強，注意反過來不一定成立.很明顯，g（x）是凹函數(shù)，h（x）是凸函數(shù)，因為這兩個函數(shù)的凹凸性剛好相反，所以稱為凹凸反轉(zhuǎn)^[1].

1 凹凸反轉(zhuǎn)的應(yīng)用

如果待證不等式中的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，則需要將指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)分離，然后分別求出兩邊的函數(shù)的最值，并進行比較即可.很多時候，需要化為我們所熟悉的單峰函數(shù)，比如lnxx（或xlnx，xlnx）或者xex（xex，exx）^[2].

例1 已知函數(shù)f（x）＝1+（a+1）x+ln x，證明：對任意xgt;0，2exxe2+1+（1+a）xgt;f（x）.

證明 把f（x）代入化簡，得2e^x-2xgt;ln x.

即證2e^x-2x2gt;

lnxx（xgt;0）.

令g（x）＝2e^x-2x2（xgt;0），則

g′（x）＝2e^x-2（x-2）x3.

當x∈（0，2）時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減；

當x∈（2，+∞）時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增.

所以g（x）最小值＝g（x）極小值＝g（2）＝

12，

故g（x）≥12，當且僅當x＝2時取等號.

令h（x）＝lnxx（xgt;0），則h′（x）＝1-lnxx2.

當x∈（0，e）時，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增；當

x∈（e，+∞）時，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減.

所以h（x）最大值＝h（x）極大值＝h（e）＝1e，即

h（x）≤1e，當且僅當x＝e時取等號.

由于12gt;1e，故2e^x-2x2gt;lnxx成立，即原不等式得證.

例2^[3] 設(shè)函數(shù)f（x）＝ln x+1x-x，證明：

f（x）-1ex+xgt;0在（0，+∞）上恒成立.

證明 由題意知，f（x）-1ex+x＝ln x+1x-1ex，

下面證ln x+1xgt;1ex，即證xln x+1gt;xex.

設(shè)g（x）＝xln x+1，則g′（x）＝1+ln x.

在（0，1e）上，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減；在

（1e，+∞）上，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增.

所以g（x）≥g（1e）＝1-1e.

設(shè)h（x）＝xex，則h′（x）＝1-eex.

在（0，1）上，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增；在

（1，+∞）上，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，

所以h（x）≤h（1）＝1elt;1-1e.所以h（x）lt;g（x）.

即f（x）-1ex+xgt;0在（0，+∞）上恒成立 .

例3 已知函數(shù)f（x）＝exln x+2e^x-1x，證明：f（x）gt;1.

證明 要證明f（x）＝exln x+2e^x-1xgt;1，兩邊同乘以xex，得xln x+2egt;xex，即證明xln xgt;xex-2e.

令h（x）＝xln x，g（x）＝xex-2e.

由h′（x）＝ln x+1知，h（x）在（0，1e）上單調(diào)遞減，在（1e，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）≥h（1e）＝-1e.

而g′（x）＝1-eex，可知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以g（x）≤g（1）＝-1e.

所以有h（x）≥h（1e）＝-1e＝g（1）≥g（x），

又上述的兩式等號不同時取到，所以有h（x）gt;g（x），即f（x）gt;1，問題得證.

有時，我們需要先對待證不等式進行放縮處理，再使用凹凸反轉(zhuǎn)思想來解題.

例4 "已知函數(shù)f（x）＝axln x+x2，若0lt;a≤1，求證：f（x）lt;ex-sinx+1.

證明 因為f（x）＝axlnx+x2，所以待證不等式為axlnx+x2lt;

ex-sinx+1.

由于當xgt;0時，sinxlt;x，故只需證x2+axlnxlt;ex-x+1.

即證ex-x+1x2gt;

alnxx+1.①

令g（x）＝alnxx+1，g′（x）＝a（1-lnx）x2（0lt;a≤1）.

當x∈（0，e）時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增；當x∈（e，+∞）時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，

易得g（x）最大值＝g（x）極大值＝g（e）＝

ae+1≤1e+1.

令h（x）＝ex-x+1x2，h′（x）＝（ex+1）（x-2）x3，

當x∈（0，2）時，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減；當

x∈（2，+∞），h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增.

易得h（x）最小值＝h（x）極小值＝h（2）＝e2-14.

由于e2-14-（1e+1）＝（e+1）（e2-e-4）4egt;0，故①式成立，原不等式得證.

還可以利用凹凸反轉(zhuǎn)思想來求參數(shù)的取值范圍.

例5 若exln x+mx2+（1-ex）x+m≤0（xgt;0），求正實數(shù)m的取值范圍.

解析 不等式等價于e^-x（mx2+x+m）≤x-lnx.

令g（x）＝e^-x（mx2+x+m），h（x）＝x-ln x，

則g′（x）＝e^-x（x-1）（-mx+m-1）.

令g′（x）＝0，解得x＝1或x＝1-1m.

因為mgt;0，所以1-1mlt;1.

①當0lt;m≤1時，1-1m≤0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

故g（x）max＝g（1）＝e^-1（2m+1）.

欲使不等式恒成立，則

g（1）≤h（1）e^-1（2m+1）≤1，

解得0lt;m≤e-12.

②當mgt;1時，0lt;1-1mlt;1，所以g（x）在（0，

1-1m），（1，+∞）上單調(diào)遞減，

在（1-1m，1）上單調(diào)遞增，而g（1）＝2m+1egt;1，有g(shù)（1）gt;h（1），從而不等式exlnx+mx2+（1-ex）x+m≤0不恒成立.

綜上，當0lt;m≤e-12時，不等式恒成立.

例6 已知f（x）＝xex，g（x）＝a（1+2lnxx），若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析 取a＝e，則f（x）＝xex，g（x）＝e（1+2lnxx），得f（1）＝g（1）＝e，知兩函數(shù)圖象至少有一個交點.由f（x）＝xex得f ′（x）＝（x+1）ex.

當xlt;-1時，f ′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減，f（x）lt;0且f（0）＝0.

當x→-∞時，f（x）→0；

當xgt;-1時，f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，

當x→+∞時，f（x）→+∞.

由g（x）＝e（1+2lnxx）得g′（x）＝2e（1-lnx）x2，

當0lt;xlt;e時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增，

當x→0時，g（x）→-∞，

當xgt;e時， g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，

且g（x）gt;0，當x→+∞時，g（x）→0.

根據(jù)以上信息，畫出f（x）＝xex，g（x）＝e（1+2lnxx）的圖象如圖2所示.

圖2 例6圖

因為f（1）＝g（1）＝e，f ′（1）＝g′（1）＝2e，所以兩曲線在點（1，e）有相同的公切線.

由g（x）＝a（1+2lnxx）與y＝e（1+2lnxx）圖象間的伸縮關(guān)系，

易知，當agt;e時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點.

2 結(jié)束語

凹凸反轉(zhuǎn)是證明函數(shù)不等式的一種新思路、新方法.在直接證明f（x）gt;0不容易時，可考慮將f（x）一分為二，分離為兩個具有相反凹凸性的函數(shù)g（x）和h（x），則問題轉(zhuǎn)化為證明g（x）gt;h（x），然后分別求出g（x）和h（x）的最值并進行比較即可. 在解題教學中，教師要引導學生從多角度來思考解決問題的方法. 每一種解題方法只有熟練了，才能做到熟能生巧.

參考文獻：

［1］劉海濤.談凹凸反轉(zhuǎn)法在解題中的妙用[J].數(shù)理化解題研究，2023（31）：2-5.

[2] 何勇，李鴻昌.一道摸底考試導數(shù)壓軸題的多解、推廣與背景分析[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2023（23）：18-21.

[3] 李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對數(shù)平均的一個不等式的推廣[J].數(shù)學通報，2023，62（08）：50-52.

［責任編輯：李 璟］