數(shù)學文化 源于生活

摘 要：文章將近幾年的數(shù)學文化高考題進行歸類賞析，旨在透視高考信息，把脈數(shù)學文化高考命題，體會數(shù)學之美，感受數(shù)學學習的重要性.

關鍵詞：數(shù)學文化；核心素養(yǎng)；題型分析；教學建議

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0053-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：崔緒軍（1972.10—），男，江蘇省淮安人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動^［1］.

在近年來的高考數(shù)學試題中，對數(shù)學文化的考查十分常見.從題目類型方面看，主要以選擇題或填空題為主；從難易程度方面看，屬于容易題或中檔題；從知識考點方面看，分布十分廣泛；從問題背景方面看，主要有以下六個方面內(nèi)容：（1）源自古今中外數(shù)學名題，（2）源自古今中外著名定理，（3）源自古今中外數(shù)學名著，

（4）源自古今中外數(shù)學家故事，（5）源自古今中外數(shù)學發(fā)展史，（6）源自數(shù)學與生活應用問題.著重考查了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng).

1 對數(shù)學文化高考題進行歸類賞析

1.1 滲透數(shù)學文化的立體幾何問題

例1 （2020年全國新高考Ⅱ卷第3題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（" ）.

A. 5-14 B. 5-12 C. 5+14 D. 5+12

分析 畫出金字塔對應的正四棱錐示意圖（如圖1），設CD=x，PE=y，利用PO2=12CD·PE得到關于x，y的方程，解方程即可得到答案.

解析

化簡，得4（yx）2-2·yx-1=0，解得yx=1+54.故選C.

1.2 滲透數(shù)學文化的概率統(tǒng)計問題

例2 （2023年天津高考數(shù)學試卷第7題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍于淵.”鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖2所示，計算得出的樣本相關系數(shù)為r=0.864 2，利用最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.750 1x+0.610 5，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（" ）.

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關關系

B.花瓣長度和花萼長度負相關

C.花萼長度為7 cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為5.861 2 cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數(shù)一定是0.864 2

分析 由散點圖的特征及經(jīng)驗回歸方程可以進行結論的判斷.

解析 如圖2，由散點的集中程度易知，花瓣長度和花萼長度具有相關性，A選項錯誤.

本題散點的分布是從左下到右上，所以花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關性，B選項錯誤.

把x=7代入經(jīng)驗回歸方程y^=0.750 1x+

0.610 5可得y^=5.861 2 cm，C選項正確.

由于r=0.864 2是相關系數(shù)，從樣本中取出來一部分數(shù)據(jù)，直接影響這組數(shù)據(jù)的相關性，相關性可能變強，也可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關系數(shù)不一定是0.864 2，D選項錯誤.

故選C.

1.3 滲透數(shù)學文化的解析幾何問題

例3 （2024年全國新高考Ⅰ卷第11題）造型“”可以做成美麗的絲帶，將其看作圖3中曲線C的一部分.已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于-2，到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（alt;0）的距離之積為4，則（" ）.

A.a=-2

B.點（22，0）在C上

C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點（x0，y0）在C上時，y0≤4x0+2

分析 本題以幾何造型“”為背景，給出了幾何曲線問題，根據(jù)題設可得到造型的曲線方程，將原點代入曲線方程后可求出參數(shù)a，進一步即可驗證求解.

解析 如圖3，對于A：設曲線上的動點P（x，y），則xgt;-2且（x-2）2+y2×|x-a|=4.

因為曲線過坐標原點，所以（0-2）2+02×|0-a|=4，解得a=-2，故A正確.

對于B：曲線方程為（x-2）2+y2×|x+2|=4，而xgt;-2，故（x-2）2+y2×（x+2）=4.

當x=22，y=0時，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，故（22，0）在曲線上，故B正確.

對于C：由曲線的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，則y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4gt;0，故此時y2gt;1，故C在第一象限內(nèi)點的縱坐標的最大值大于1，故C錯誤.

對于D：當點（x0，y0）在曲線上時，由C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，故4x0+2≤y0≤-4x0+2，故D正確.

故選ABD.

1.4 滲透數(shù)學文化的數(shù)列問題

例4 （2022年全國新高考Ⅱ卷第3題）圖4是中國古代建筑中的舉架結構，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖5是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3.已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=.

分析 本題以古代建筑為背景，考生需讀懂題中的“舉”和“步”，根據(jù)題意中k1，k2，k3成等差數(shù)列即可求解.

解析 "如圖5，設OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3.

依題意，有k3-0.2=k1，k3-0.1=k2，且

DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，

所以0.5+3k3-0.34=0.725.

故k3=0.9.

2 學習數(shù)學文化題的建議2.1 重視夯實基礎

所謂“基礎”，是指基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗，它是學生形成素養(yǎng)的前提.脫離了“基礎”，素養(yǎng)就成了

無源之水、無本之木.對于數(shù)學文化的學習應當立足課本，緊扣高考真題，把教材中的顯性和隱性的文化資源加以挖掘和拓展.教師要具有文化育人的思想意識，善于把國內(nèi)外優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化、時代發(fā)展的背景等文化素材整合于我們的常態(tài)教學之中，并強化學生的數(shù)學閱讀與理解.解數(shù)學文化試題的關鍵是過好語言這一關，解題基本通法是：認真閱讀→數(shù)學建?！鷮誓繕恕侠磙D化.閱讀是解題的門戶，建模是解題的關鍵.

2.2 培育核心素養(yǎng)，讓學生學習更有內(nèi)驅(qū)力

學生學習數(shù)學，除了要掌握必備的數(shù)學知識和必要的數(shù)學技能之外，更重要的是獲得基本的數(shù)學素養(yǎng)，會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界.數(shù)學教師要嚴格執(zhí)行新課程標準，用數(shù)學的思考方式引導學生分析問題，揭示問題所蘊含的數(shù)學背景，再進一步將問題一般化.這不但能解決一個問題，還能解決一類問題，起到舉一反三、觸類旁通的作用.我們的課堂中要不斷地滲透數(shù)學文化，譬如數(shù)學史的滲透、數(shù)學家故事的融入、理性精神的領會等，通過這樣的文化滲透，數(shù)學“美”的享受，不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，更能促進他們的深度學習.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李 璟］