拋物線中與兩直線斜率的倒數(shù)之和有關(guān)的一個(gè)性質(zhì)

摘 要：從一道典型試題出發(fā)，探究得到拋物線中與兩直線斜率的倒數(shù)之和有關(guān)的一個(gè)性質(zhì).

關(guān)鍵詞：拋物線；斜率；倒數(shù)；定值

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0098-04

在拋物線的定點(diǎn)定值問題中，有一個(gè)熟知的結(jié)論，即過拋物線E上的點(diǎn)P，作兩條斜率之和（積）為定值的直線分別與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB過定點(diǎn)（或有定向）[1].若點(diǎn)P不在拋物線E上，過點(diǎn)P作兩條斜率的倒數(shù)之和為定值的直線分別與拋物線E交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（其中一個(gè)交點(diǎn)），則直線AB是否過定點(diǎn)？已知定點(diǎn)P，是否存在定點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和為定值？本文從一道典型試題出發(fā)，經(jīng)過深入探究，得到拋物線中與兩直線斜率的倒數(shù)之和有關(guān)的一個(gè)性質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)與解析

試題 已知拋物線E：y2=4x，點(diǎn)P（1，1）.

（1）證明：在直線y=1上存在定點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率k1，k2都存在且不等于0，則1k1+1k2是定值.

（2）證明：對(duì)于（1）中的定點(diǎn)Q，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率k′1，k′2都存在且不等于0，則1k′1+1k′2是定值.

分析 對(duì)于第（1）問，假設(shè)滿足題意的定點(diǎn)為Q（a，1），設(shè)直線AB的方程為x-a=t（y-1），將直線AB的方程與拋物線E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示1k1+1k2，由1k1+1k2是定值求出a，于是得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).對(duì)于第（2）問，仿照第（1）問寫出k′1，k′2的表達(dá)式，利用韋達(dá)定理得到1k′1+1k′2是定值.為了方便，本文中出現(xiàn)的直線斜率，均指直線斜率存在且表達(dá)式有意義的情況.

解析 （1）設(shè)Q（a，1）滿足題意，即過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值.

設(shè)直線AB的方程為x-a=t（y-1），即

x=ty+a-t.

聯(lián)立y2=4x，x=ty+a-t，消去x，得

y2-4ty+4（t-a）=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=4t，y1y2=4（t-a）.

于是直線PA的斜率

k1=y1-1x1-1=y1-1ty1+a-1-t，

直線PB的斜率

k2=y2-1x2-1=y2-1ty2+a-1-t.

所以

1k1+1k2=ty1+a-1-ty1-1+ty2+a-1-ty2-1

=2ty1y2+（a-1-2t）（y1+y2）-2（a-1-t）y1y2-（y1+y2）+1

=8t（t-a）+4t（a-1-2t）-2（a-1-t）4（t-a）-4t+1

=-2（2a+1）t+2（1-a）1-4a

=-2（2a+1）t1-4a+2（1-a）1-4a.

由1k1+1k2是定值得a=-12.

于是1k1+1k2=1.

所以在直線y=1上存在一個(gè)定點(diǎn)Q（-12，1），過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值，定值為1.

（2）由（1）得Q（-12，1），過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為x-1=t（y-1），

即x=ty+1-t.

聯(lián)立y2=4x，x=ty+1-t，消去x，得

y2-4ty+4（t-1）=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=4t，y1y2=4（t-1）.

于是直線QA的斜率

k′1=y1-1x1+1/2=2（y1-1）2ty1+3-2t，

直線QB的斜率

k′2=y2-1x2+1/2=2（y2-1）2ty2+3-2t.

所以

1k′1+1k′2=2ty1+3-2t2（y1-1）+2ty2+3-2t2（y2-1）

=4ty1y2+（3-4t）（y1+y2）-2（3-2t）2［y1y2-（y1+y2）+1］

=16t（t-1）+4t（3-4t）-2（3-2t）2［4（t-1）-4t+1］=1.

所以直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和是定值，定值為1.

2 推廣探究

由試題可得，對(duì)于拋物線E：y2=4x和點(diǎn)P（1，1），在直線y=1上存在一個(gè)定點(diǎn)Q（-12，1），過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值.注意到P（1，1），定點(diǎn)

Q（-12，1），點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，過點(diǎn)P作y軸的垂線，與拋物線E交于點(diǎn)N（14，1），則點(diǎn)Q在直線PN上且線段PQ的中點(diǎn)為N.

對(duì)于拋物線E：y2=2px（pgt;0）和點(diǎn)P（x1，y0）（P不在拋物線E上），作類似的操作，過點(diǎn)P作y軸的垂線，與拋物線E交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q在直線PN上且線段PQ的中點(diǎn)為N，設(shè)Q（x2，y0），由N（

y202p，y0）得x2=y20p-x1，于是y20=p（x1+x2）.這樣構(gòu)造的點(diǎn)對(duì)P，Q是否滿足條件，即過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是否為定值？過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和是否也為定值？若這樣構(gòu)造的點(diǎn)對(duì)P，Q（不）滿足條件，則在坐標(biāo)平面上是否存在其他點(diǎn)對(duì)滿足條件？本文經(jīng)過深入探究，得到以下結(jié)論.

結(jié)論1 已知拋物線E：y2=2px（pgt;0），點(diǎn)對(duì)P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且y20=p（x1+x2）.過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值，定值為2y0p；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值，定值為2y0p.

證明 過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為x-x2=t（y-y0），

即x=ty+x2-y0t.

聯(lián)立y2=2px，x=ty+x2-y0t，消去x，得

y2-2pty+2p（y0t-x2）=0.

設(shè)A（x′1，y′1），B（x′2，y′2），則

y′1+y′2=2pt，y′1y′2=2p（y0t-x2）.

于是直線PA的斜率

k1=y′1-y0x′1-x1=y′1-y0ty′1+x2-x1-y0t，

直線PB的斜率

k2=y′2-y0x′2-x1=y′2-y0ty′2+x2-x1-y0t.

所以

1k1+1k2=ty′1+x2-x1-y0ty′1-y0+ty′2+x2-x1-y0ty′2-y0

=2［y20-p（x1+x2）］t+2y0（x1-x2）y20-2px2

=2y0（x1-x2）p（x1+x2）-2px2

=2y0p.

所以直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值，定值為2y0p.

同理可證過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值，定值為2y0p.

注 （1）過點(diǎn)P作y軸的垂線，與拋物線E交于點(diǎn)N（2y0p，y0），拋物線E在點(diǎn)N處的切線lN的方程為y0y=p（x+y202p）.實(shí)際上，點(diǎn)Q在點(diǎn)P關(guān)于拋物線E的極線lP：y0y=p（x+x1）上，lP∥lN且定值2y0p是lN的斜率（y0≠0）的倒數(shù)的2倍.

（2）過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，直線PA與拋物線E的另一交點(diǎn)為C，直線PB與拋物線E的另一交點(diǎn)為D，則直線AB與CD交于點(diǎn)Q，直線AD與BC都與lN平行，且直線AC，BD的斜率的倒數(shù)之和是定值2y0p，直線AB，CD的斜率的倒數(shù)之和也是定值2y0p.

結(jié)論2 已知拋物線E：y2=2px（pgt;0），點(diǎn)對(duì)P，Q滿足以下條件：過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值，則P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且y20=p（x1+x2），過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值2y0p；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值2y0p.

證明 設(shè)P（x1，y0），Q（x2，b），易得P，Q不在拋物線E上，于是y20≠2px1，b2≠2px2.

（1）過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為x-x2=t（y-b），

即x=ty+x2-bt.

聯(lián)立y2=2px，x=ty+x2-bt，消去x，得

y2-2pty+2p（bt-x2）=0.

設(shè)A（x′1，y′1），B（x′2，y′2），則

y′1+y′2=2pt，y′1y′2=2p（bt-x2）.

于是直線PA的斜率

k1=y′1-y0x′1-x1=y′1-y0ty′1+x2-x1-bt，

直線PB的斜率

k2=y′2-y0x′2-x1=y′2-y0ty′2+x2-x1-bt.

所以

1k1+1k2=ty′1+x2-x1-bty′1-y0+ty′2+x2-x1-bty′2-y0

=2p（b-y0）t2+2（y0b-px1-px2）t+2y0（x1-x2）2p（b-y0）t+y20-2px2

由1k1+1k2是定值得b-y0=0，y0b-px1-px2=0且y20-2px2≠0，于是

b=y0，y20=p（x1+x2）.①

由y20-2px2≠0，得x1≠x2.

于是1k1+1k2=2y0（x1-x2）y20-2px2

=2y0（x1-x2）p（x1+x2）-2px2=2y0p.

（2）過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率k′1，k′2的倒數(shù)之和是定值，同（1）可得

y0=b，b2=p（x1+x2）.②

此時(shí)x1≠x2且1k′1+1k′2=2bp.

由①②得b=y0，y20=p（x1+x2），且x1≠x2，

1k1+1k2=2y0p，1k′1+1k′2=2y0p.

所以P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且

y20=p（x1+x2），過點(diǎn)Q的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值2y0p；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值2y0p.

3 結(jié)束語

拋物線是非常重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的重要內(nèi)容.拋物線不僅具有獨(dú)特的形狀，還有很多有趣的性質(zhì)[2].本文從一道典型試題出發(fā)，經(jīng)過深入探究，找到了點(diǎn)對(duì)P，Q滿足以下條件：過Q的動(dòng)直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率的倒數(shù)之和是定值；過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則直線QA，QB的斜率的倒數(shù)之和也是定值.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 曹軍.圓錐曲線上的定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)：圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦性質(zhì)的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2013（19）：19-21.

[2] 李鑫.常見二次曲線中斜率和或積為定值的性質(zhì)探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2022（13）：20-21.

［責(zé)任編輯：李 璟］