數(shù)列問題中閃爍的數(shù)學(xué)智慧

摘 要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的考查既可以檢驗(yàn)必備的數(shù)學(xué)知識(shí)，又可以聚焦數(shù)學(xué)的重點(diǎn)思維.文章將集中關(guān)注數(shù)列解題中出現(xiàn)的解題思想，觀察思維模式在數(shù)列問題中應(yīng)用的具體步驟及注意事項(xiàng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列解題；構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0016-03

收稿日期：2024-04-05

作者簡介：趙帥（1986.2—），男，山東省平陰人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考數(shù)學(xué)中數(shù)列作為我們必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，其中的解題方式不僅包含常用的三種方法，還有著與最基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合的巧妙做法.

數(shù)列問題中求數(shù)列通項(xiàng)公式是被重點(diǎn)關(guān)注部分，與數(shù)列求和并駕齊驅(qū).解決這類問題的過程中衍生出的各種數(shù)學(xué)方法，在其他板塊解題中也是可以遷移應(yīng)用的.這就是數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)的原因之一，它與其他部分看似割裂，但蘊(yùn)含的方法卻緊密相連.

1 同型構(gòu)造法解數(shù)列

構(gòu)造數(shù)列的本質(zhì)是什么？它對(duì)我們的解題有著怎樣的幫助？其實(shí)它的關(guān)鍵在于同構(gòu)，同構(gòu)又是什么？就是相同的結(jié)構(gòu)，相同的形式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)[1].這種解題方式的本質(zhì)就是利用了同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想，可是構(gòu)造數(shù)列從何開始，在過程中又該注意什么問題呢？

1.1 形如an+1=pan+指數(shù)函數(shù)+常數(shù)類型構(gòu)造例1 已知數(shù)列an滿足an=2an-1+2n+1（n≥2），a1=5，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 已知具有一個(gè)an與前一項(xiàng)的遞推式，可以發(fā)現(xiàn)前一項(xiàng)具有系數(shù)2，嘗試將其余部分與an-1結(jié)合，得到an+1=2（an-1+1）+2n，出現(xiàn)了一個(gè)相同的結(jié)構(gòu)，但是還存在一個(gè)指數(shù)函數(shù)需要解決，構(gòu)造新數(shù)列bn=an+1，再次觀察bn=2bn-1+2n，只需令相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系滿足特殊數(shù)列便可求解.兩邊同除2n，得bn2n=bn-12n-1+1，此時(shí)遞推式可以滿足等差數(shù)列，故令cn=bn2n，所以cn=cn-1+1，這是等差數(shù)列標(biāo)志性的遞推式，c1=b12=a1+12=62=3.

所以數(shù)列cn是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，得到cn通項(xiàng)公式cn=3+（n-1）×1=n+2.

即cn=bn2n=n+2，即bn=（n+2）·2n.

因?yàn)閎n=an+1，

所以an=（n+2）·2n-1（n≥2）.

因?yàn)?/p>

a1=（1+2）×2-1=5，滿足第二項(xiàng)開始的通項(xiàng)公式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=（n+2）·2n-1（n∈N*）.

點(diǎn)評(píng) 在構(gòu)造過程中，我們重點(diǎn)關(guān)注的是相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，使它們具有相同的形式或者結(jié)構(gòu)從而探究，而這種結(jié)構(gòu)的變換是為了使其滿足我們的特殊數(shù)列，利用特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而寫出最初數(shù)列的通項(xiàng)公式.

1.2 一次函數(shù)、二次函數(shù)型構(gòu)造

看到這類型題目，我們會(huì)產(chǎn)生疑問，它們的遞推式與我們學(xué)習(xí)的函數(shù)極為相似，是否可以通過函數(shù)知識(shí)進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，得出答案呢？還是說它們的本質(zhì)仍舊是構(gòu)造同型數(shù)列解題呢？

1.2.1 一次函數(shù)型構(gòu)造

例2 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=4，且滿足an=3an-1+2n-1（n≥2），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 遞推式中除掉含有相鄰項(xiàng)的部分，其余部分與一次函數(shù)十分相似，那在這種題目中，我們?nèi)绾螛?gòu)造數(shù)列呢？

我們可以通過將an與an-1構(gòu)造成具有相同結(jié)構(gòu)的式子進(jìn)行解題.an-1前的系數(shù)為3，將其余部分的系數(shù)通過加減變化為相同的系數(shù)，注意，我們的前一項(xiàng)為n-1，在變化時(shí)也可以將其利用起來，同時(shí)為了保證等式的性質(zhì)，等式左邊也要進(jìn)行相同的變化，可以得到an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，出現(xiàn)了一個(gè)新的形式an+n+1.

故令bn=an+n+1，即

bn=3bn-1（n≥2），

b1=a1+1+1=4+1+1=6.

所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列.

所以bn的通項(xiàng)公式bn=6×3n-1=2×3n.

所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

因?yàn)閍1=2×3-1-1=4，滿足通項(xiàng)公式，所以通項(xiàng)公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

點(diǎn)評(píng) 在形如一次函數(shù)的數(shù)列問題中，相鄰兩項(xiàng)之間的遞推式可以通過加減式子構(gòu)建等比數(shù)列，比如本題中我們根據(jù)想要的形式可以反推回去，

an+xn+y=3an-1+2n-1+xn+y

=3an-1+（x+2）n+y-1

=3an-1+（x+2）（n-1）+（x+2）+（y-1）

=3［an-1+x+23（n-1）+（x+2）+（y-1）3］，

x，y均為可以任意取值的常數(shù)，為使等式左右兩邊關(guān)于an與an-1的式子具有相同結(jié)構(gòu)，故我們進(jìn)行聯(lián)立，解出需要變化的數(shù)值.

x=x+23，y=（x+2）+（y-1）3，解得x=1，y=1.

此時(shí)可以列出an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，然后進(jìn)行求解.

1.2.2 二次函數(shù)型構(gòu)造

例3 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1，且滿足an+1=2an-n2+3n（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 二次函數(shù)的構(gòu)造與一次函數(shù)是否有相似之處呢？我們可以利用相同的方式嘗試將遞推式變換，注意在變換過程中，等式左右兩邊關(guān)于數(shù)列的式子要具有相同的結(jié)構(gòu).

an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2an-n2+3n+x（n+1）2+y（n+1）+z

=2an+（x-1）n2+（2x+y+3）n+（x+y+z）

=2［an+x-12·n2+2x+y+32·n+x+y+z2］，

等式左右兩邊關(guān)于an與an-1的式子要具有相同結(jié)構(gòu)，聯(lián)立

x=x-12，y=2x+y+32，z=x+y+z2，解得x=-1，y=1，z=0.

將原式變換為

an+1-（n+1）2+（n+1）=2（an-n2+n）.

令bn=an-n2+n，

則b1=a1-1+1=1-1+1=1.

所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.所以bn的通項(xiàng)公式bn=1×2n-1=2n-1

所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式

an=2n-1+n2-n（n∈N*）.

點(diǎn)評(píng) 使用這種方式，第一步，確定相鄰兩項(xiàng)的相同結(jié)構(gòu)式；第二步，將等式一邊只具有單獨(dú)一項(xiàng)的式子變化為這個(gè)相同式；第三步，為使等式性質(zhì)成立，等式另一邊也進(jìn)行相同變化；第四步，將變化后的式子整理成我們找到的結(jié)構(gòu)式;第五步，將對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)式系數(shù)對(duì)應(yīng)解出最終的遞推式［2］.

2 數(shù)量關(guān)系構(gòu)造法解數(shù)列

當(dāng)數(shù)列中沒有明顯的遞推關(guān)系，式子無法進(jìn)行分割配湊，我們又該如何求解數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？又該如何構(gòu)造輔助數(shù)列？

2.1 倒數(shù)類型構(gòu)造

例4 已知數(shù)列an滿足an+1=an2an+1，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 觀察題目，等式左右兩邊均出現(xiàn)了有關(guān)的式子且無法分割，面對(duì)這種情況我們要怎么處理遞推式呢？

其實(shí)可以取倒數(shù)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，為什么要取倒數(shù)？是因?yàn)槿〉箶?shù)后等式明顯出現(xiàn)了一個(gè)相同的倒數(shù)結(jié)構(gòu)，而且可以利用分式性質(zhì)將分式化為一個(gè)常數(shù)與倒數(shù)相加的形式，這樣就會(huì)出現(xiàn)等差數(shù)列的明顯特征.

1an+1=2an+1an=1an+2.

令bn=1an，則b1=1a1=1，bn+1=bn+2.

所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

所以bn的通項(xiàng)公式bn=1+（n-1）×2=2n-1.

故數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=12n-1（n∈N*）.

2.2 對(duì)數(shù)類型構(gòu)造

例5 數(shù)列an中，a1=2，滿足an+1=a2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 觀察題目，遞推關(guān)系式中出現(xiàn)平方形式，這種情況優(yōu)先考慮對(duì)數(shù)形式，利用對(duì)數(shù)變化，我們可以將式子降次，寫出通項(xiàng)公式.

因?yàn)閍n+1=a2n，a1=2，所以數(shù)列an中的所有項(xiàng)均大于零.

通常取對(duì)數(shù)我們會(huì)以e為底進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算，使用這種方式在于e不易與其他數(shù)字相同，不會(huì)造成我們?cè)谟?jì)算中的運(yùn)算混亂.在運(yùn)算中由于對(duì)數(shù)性質(zhì)，冪次數(shù)就會(huì)降低.

所以lnan+1=2lnan，出現(xiàn)新的數(shù)列bn=lnan，

b1=lna1=ln2.

數(shù)列bn是首項(xiàng)為ln2，公比為2的等比數(shù)列.

所以bn的通項(xiàng)公式bn=2n-1×ln2.

故數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=22n-1，n∈N*.

注意，題目開始為了降冪我們?nèi)?duì)數(shù)，在得出結(jié)論時(shí)還要進(jìn)行一次取對(duì)數(shù)得到原始數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3 結(jié)束語

數(shù)列通項(xiàng)公式解題思想主要分為兩部分：構(gòu)造同型數(shù)列和構(gòu)造數(shù)量關(guān)系數(shù)列.這兩種解題思路都應(yīng)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行變化.其中在數(shù)量關(guān)系構(gòu)造中，我們還跳脫出遞推式本身的加減變換，引入一個(gè)全新的關(guān)系數(shù)列構(gòu)造，具有整體思維.這些思想在我們的數(shù)學(xué)解題中都應(yīng)用廣泛.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 趙克發(fā).“先轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造”，巧解一類數(shù)列問題[J].數(shù)理天地（高中版），2022（14）：4-5.

［2］ 趙世瑜.求數(shù)列通項(xiàng)公式的新視角：構(gòu)造常數(shù)列[J].數(shù)理化解題研究，2023（33）：39-41.

［責(zé)任編輯：李 璟］