輔助函數(shù)與不等式的融合

摘 要：在不等式解題中，我們常常面對復(fù)雜的不等式無法一下解出，此時就可以引入輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行解題.文章通過導(dǎo)數(shù)公式構(gòu)造常見的四種輔助函數(shù)從而探究導(dǎo)數(shù)不等式的解題思路.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)公式；構(gòu)造函數(shù)；導(dǎo)數(shù)不等式

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0013-03

函數(shù)單調(diào)性是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它不僅可以顯示出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的運動趨勢，還可以反映函數(shù)值的增減變化.本文的解題思路就是利用這一點，將原函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)公式將題目條件構(gòu)造成一個新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式，在新函數(shù)基礎(chǔ)上求解不等式[1].這個新函數(shù)就是我們的輔助函數(shù).

1 構(gòu)造“冪函數(shù)”型輔助函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)可以從題目條件入手，尋找f（x）與f ′（x）有關(guān)的不等式，通過構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)數(shù)式滿足關(guān)系式，利用條件中的大小關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性，找到與未知不等式有關(guān)的函數(shù)值進行解答.

例1 已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），且滿足xf ′（x）+2f（x）gt;0，則不等式（x+2 023）f（x+2 023）5lt;5f（5）x+2 023的解集為（" ）.

A.x|xgt;-2 018

B.x|xlt;-2 018

C.x|-2 018lt;xlt;0

D.x|-2 023lt;xlt;-2 018

解析 題目要求的不等式中數(shù)值都比較大，是否可以利用函數(shù)的單調(diào)性解題呢？如果

可以將不等式放在一個函數(shù)中，通過分析函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而找到符合不等式的區(qū)間達到解題目的，這就是我們構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)不等式的具體思路.但是如何構(gòu)造這個全新的函數(shù)使得其能夠在求導(dǎo)后滿足題目條件呢？

此時我們可以從函數(shù)求導(dǎo)公式入手進行探究.題中條件有一個關(guān)于f（x）與f ′（x）的不等式xf ′（x）+2f（x）gt;0，其左邊部分與求導(dǎo)公式類似，兩個函數(shù)相乘求導(dǎo)時［f（x）g（x）］′=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x），所以我們需要分析什么形式的函數(shù)求導(dǎo)可滿足這個關(guān)系式.這個需要構(gòu)造的輔助函數(shù)為兩個函數(shù)相乘，其中一個函數(shù)已知，是本題中的f（x）；另一個函數(shù)中既要有未知數(shù)x，求導(dǎo)中還需出現(xiàn)二倍關(guān)系，聯(lián)想到二次函數(shù)，嘗試構(gòu)造F（x）=x2f（x），將其求導(dǎo)，F(xiàn)′（x）=2xf（x）+x2f ′（x），與題目已知條件類似，比較后發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造出的函數(shù)多乘一個未知數(shù)，但是這個構(gòu)造函數(shù)一定是錯誤的嗎？別忘記，題目中還規(guī)定了函數(shù)的定義域xgt;0，我們可以發(fā)現(xiàn)，在此時多乘一個未知數(shù)并不會影響題目的不等式條件，故此時條件變化為x2f ′（x）+2xf（x）gt;0，即F′（x）gt;0，故F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.但是這個輔助函數(shù)與我們要求解的不等式有何聯(lián)系呢？

可以先將題目要求不等式變換形式為（x+2 023）2f（x+2 023）lt;52f（5），此時可以看出這個不等式其實是

比較的大小函數(shù)值，即F（x+2 023）lt;F（5）.因為F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由單調(diào)性可知，0lt;x+2 023lt;5，解得-2 023lt;xlt;-2 018，故D選項正確.

2 構(gòu)造“指數(shù)函數(shù)”型輔助函數(shù)

當題目中沒有明顯的函數(shù)提示條件，我們又該如何構(gòu)造函數(shù)呢？

例2 定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為

f ′（x），若對任意x，有f（x）gt;f ′（x），且f（x）+2 023為奇函數(shù)，則不等式f（x）+2 023exlt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，0）""" B.（0，+∞）

C.（-∞，1e）D.（1e，+∞）

解析 題目條件中f（x）+2 023為奇函數(shù)，故我們可以根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)推斷f（x）的性質(zhì)，奇函數(shù)在x=0處函數(shù)值為零，可得f（0）=-2 023.

但是我們又該如何構(gòu)造函數(shù)呢？題目中出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)，我們是否可以構(gòu)造一個與指數(shù)函數(shù)和f（x）有關(guān)的輔助函數(shù)，通過尋求這個新函數(shù)的單調(diào)性求解不等式呢？

先將不等式變形，因為指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于零，變形后我們發(fā)現(xiàn)f（x）exlt;-2 023.因為f（0）=-2 023，e0=1，所以構(gòu)造F（x）=f（x）ex，通過探究這個新函數(shù)的單調(diào)性，尋找滿足F（x）lt;F（0）的條件.

F′（x）=f ′（x）-f（x）ex，在定義域內(nèi)exgt;0恒成立，題目中f（x）gt;f ′（x），所以F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上單調(diào)遞減.由單調(diào)性可知，xgt;0，故B選項正確.

3 構(gòu)造“三角函數(shù)”型輔助函數(shù)

題目條件均未出現(xiàn)明顯趨勢時，又該從哪里入手構(gòu)造輔助函數(shù)呢？

例3 對任意的x∈（0，π2），不等式f（x）tanxlt;f ′（x）恒成立，則下列不等式錯誤的是（" ）.

A.f（π3）gt;2f（π4）" B.f（π3）gt;2f（1）cos1

C.2f（1）cos1gt;2f（π4）D.2f（π4）lt;3f（π6）

解析 題目中出現(xiàn)了三角函數(shù)，而選項中也有三角函數(shù)值的有關(guān)選項，那是否可以構(gòu)造一個新的函數(shù)使得f（x）與cosx產(chǎn)生聯(lián)系，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解不同函數(shù)值之間的關(guān)系呢？

題目中選項有f（1）cos1，嘗試構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）cosx，則

F′（x）=-f（x）sinx+f ′（x）cosx.這個新函數(shù)會有具體的單調(diào)性嗎？嘗試變形不等式與導(dǎo)數(shù)式產(chǎn)生聯(lián)系，因為x∈（0，π2），所以sinxgt;0，cosxgt;0，所以f（x）tanxlt;f ′（x）恒等變換為f（x）sinx-f ′（x）cosxlt;0.即F′（x）=-f（x）sinx+

f ′（x）cosxgt;0.故對于任意的x∈（0，π2），F(xiàn)（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

對于A選項中有兩個f（x）的取值，那我們嘗試將這兩個取值代入新函數(shù).

F（π3）=12f（π3），F(xiàn)（π4）=22f（π4），根據(jù)單調(diào)性，F(xiàn)（π4）lt;F（π3），所以12f（π3）gt;22f（π4），化簡得f（π3）gt;2f（π4），故A選項正確.

那么，其余選項是否也可以利用新函數(shù)比較呢？

由單調(diào)性可知F（π6）lt;F（π4）lt;F（1）lt;F（π3）.

即f（π6）cosπ6lt;f（π4）cosπ4lt;f（1）cos1lt;f（π3）cosπ3.

所以32f（π6）lt;22f（π4）lt;f（1）cos1lt;12f（π3）.

即3f（π6）lt;2f（π4）lt;2f（1）cos1lt;f（π3）.

對比可知，只有D選項中不等式錯誤，故選D.

4 構(gòu)造“對數(shù)函數(shù)”型輔助函數(shù)

所求不等式明顯與輔助函數(shù)間存在差距，不能只利用輔助函數(shù)單調(diào)性，又該如何求解呢？

例4 已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（12）≠0，且f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，則不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是（" ）.

A.（-∞，-1）∪（0，12）∪（2，+∞）

B.（-1，0）∪（12，2）

C.（-1，0）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（0，2）

解析 不等式為二次函數(shù)與f（x）的乘積，我們是否可以探究出f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)二次函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化得出解集呢？

題目中有一條件f ′（x）ln（2x）+f（x）xlt;0，我們是否可以與兩函數(shù)相乘求出的導(dǎo)數(shù)式產(chǎn)生聯(lián)系？故構(gòu)造一個新函數(shù)F（x）=f（x）ln（2x），求導(dǎo)得F′（x）=

f ′（x）ln（2x）+f（x）x.由題意可知F′（x）lt;0在R上恒成立，即F（x）在R上單調(diào)遞減，所以不等式的解集我們需要找到兩個函數(shù)與零的大小.因為ln1=0，f（12）≠0，所以F（12）=f（12）ln（2×12）=0.所以在x∈（-∞，12），F(xiàn)（x）gt;0，x∈（12，+∞），F(xiàn)（x）lt;0.

又因為x∈（0，12）時，明顯ln（2x）lt;0，當x∈（12，+∞），ln（2x）gt;0，所以在x∈（0，+∞）時，恒有f（x）lt;0，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在

x∈（-∞，0）時，f（x）gt;0.

因為所求不等式為兩個函數(shù)相乘，所以我們需要找到它們同時大于零或者小于零的部分.前面的二次函數(shù)x2-x-2，可以利用十字相乘法變形為（x-2）（x+1），所以當-1lt;xlt;2時，x2-x-2lt;0，當xlt;-1或xgt;2時，x2-x-2gt;0.

二者需要取交集，即x2-x-2gt;0，f（x）gt;0或x2-x-2lt;0，f（x）lt;0， 解得xlt;-1或0lt;xlt;2.

所以不等式（x2-x-2）f（x）gt;0的解集是

（-∞，-1）∪（0，2），故D選項正確.

5 結(jié)束語

解導(dǎo)數(shù)不等式時，我們通常會根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式構(gòu)造一個新的輔助函數(shù)，利用其函數(shù)式與所求不等式間存在的關(guān)系，從而探索輔助函數(shù)的單調(diào)性，得到不同取值下的函數(shù)值大小，從而求解.

參考文獻：

［1］王勇.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)的有效應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2023（31）：50-52.

［責(zé)任編輯：李 璟］