基于Mathematica的彈簧擺模型研究

摘 要：在高中物理教學(xué)中，彈簧擺模型涉及的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題較為復(fù)雜，利用Mathematica軟件對(duì)該物理模型的動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解和仿真模擬，通過(guò)模擬復(fù)雜的物理現(xiàn)象及仿真交互實(shí)驗(yàn)來(lái)幫助學(xué)生更好地理解物理知識(shí)。

關(guān)鍵詞：彈簧擺；Mathematica；仿真模擬

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）12-0079-3

信息技術(shù)與物理教學(xué)的結(jié)合已逐漸成為推進(jìn)物理課程改革的有效途徑之一。Mathematica是一款功能強(qiáng)大的通用計(jì)算軟件，其內(nèi)置豐富的函數(shù)和算法，可進(jìn)行代數(shù)、微分方程、線性代數(shù)等方面的計(jì)算，解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題。它還具有豐富的數(shù)據(jù)分析和可視化功能，支持交互式的實(shí)驗(yàn)演示和模擬。因此，可結(jié)合彈簧擺，探索Mathematica在物理教學(xué)中的應(yīng)用。

1 典型例題及答案

例題 一輕質(zhì)彈簧，其勁度系數(shù)為k，一端固定在O點(diǎn)，另一端掛一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），不計(jì)空氣阻力，試求：

（1）如圖1所示，若將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持自然長(zhǎng)度l0的A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，求小球經(jīng)過(guò)豎直位置P點(diǎn)時(shí)的速度，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l1；

（2）如圖2所示，若靜止時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l2，現(xiàn)突然給小球一個(gè)水平速度v0=，則小球在向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中到達(dá)的最高點(diǎn)是否在O點(diǎn)上方，并說(shuō)明理由。

圖1 情境1示意圖 圖2 情境2示意圖

答案 （1）設(shè)小球到豎直位置P點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由功能原理得mgl1=k（l1-l0）2+mv2。此時(shí)，小球的速度沿水平方向。結(jié)合k（l1-l0）-mg=m，可得v=。

（2）假設(shè)小球剛好運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)等高處。此時(shí)，速度和彈簧彈力都為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為mgl2。由于v0=，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為mv+EpF>mgl2，小球運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)等高處時(shí)速度不為零，水平方向的合外力也不能為零，故彈簧彈力不能為零，小球繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，使得最高點(diǎn)高于O點(diǎn)。

2 誤區(qū)分析

以上是比較常見(jiàn)的“答案”，但存在誤區(qū)，甚至是錯(cuò)誤。問(wèn)題（1）直接把P點(diǎn)默認(rèn)為彈簧擺運(yùn)動(dòng)軌跡的最低點(diǎn)［１］，并單純地假設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓周，那么最低點(diǎn)處的彈簧長(zhǎng)度就是小球曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑。同樣，問(wèn)題（2）的解題思路是簡(jiǎn)單地認(rèn)為有了mv+EpF>mgl2這一條件，就能確定小球到達(dá)的最高點(diǎn)在O點(diǎn)的上方。

3 彈簧擺的動(dòng)力學(xué)微分方程組

對(duì)于勁度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為l0及小球質(zhì)量為m的彈簧擺，考慮空氣阻力的影響時(shí)，將彈簧懸掛點(diǎn)作為原點(diǎn)，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系。接著，在水平和豎直兩個(gè)方向分別對(duì)小球進(jìn)行受力分析，從而得到兩個(gè)方向的動(dòng)力學(xué)方程，即

mx''=-（-l）-μx'my'NGyVEQJqMY/9sCPIcrWfyw=='=-（-l）-mg-μy'

式中，μ為空氣阻力系數(shù)，可設(shè)μ=0。

4 Mathematica仿真模擬程序設(shè)計(jì)

彈簧擺的仿真模擬程序主要運(yùn)用了Mathematica軟件中的交互式操作Manipulate、求微分方程組數(shù)值解的NDSolve、繪制參數(shù)圖命令ParametricPlot、二維圖形命令Graphics和圖形顯示命令Show等。Mathematica軟件的交互式操作功能可以在程序中將彈簧擺的屬性以及初始條件設(shè)置成多個(gè)控制變量，通過(guò)移動(dòng)滑尺輸入不同的變量值，仿真不同參數(shù)條件的彈簧擺運(yùn)動(dòng)。使用NDSolve求解動(dòng)力學(xué)微分方程組，ParametricPlot命令不僅可以繪制出彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡，還可以繪制出彈簧長(zhǎng)度、速度大小、軌跡的曲率半徑、動(dòng)能、彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能等與水平位移的關(guān)系。

為了更好地模擬和研究彈簧擺的運(yùn)動(dòng)情況，利用二維圖形命令Graphics配合線段Line命令和圓盤Disk命令繪制出彈簧擺，并在圖形命令中加入箭頭命令A(yù)rrow、文本命令Text等以更直觀地觀察小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度和能量變化的情況；程序命令Manipulate中的圖形顯示命令Show搭配使用條件命令I(lǐng)f可以通過(guò)設(shè)置控件選擇同時(shí)顯示多個(gè)圖像。在程序中通過(guò)加入控件命令Trigger設(shè)置觸發(fā)器按鍵，即開(kāi)始鍵、暫停鍵和重置鍵，可方便觀察任意時(shí)刻彈簧擺的運(yùn)動(dòng)情況。

5 Mathematica數(shù)值模擬結(jié)果分析

5.1 水平位置保持原長(zhǎng)無(wú)初速度釋放的運(yùn)動(dòng)

根據(jù)問(wèn)題（1）情境，g=9.8，參數(shù)隨機(jī)取m=1，k=10，l0=3，初始條件設(shè)為x0=l0，y0=0，x'0=0，y'0=0，借助Mathematica軟件進(jìn)行數(shù)值仿真模擬。

5.1.1 彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡

彈簧擺在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

在此程序中可以觀察到每一時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)的位置、速度大小和方向。如圖3（a）所示，當(dāng)彈簧擺第一次擺到豎直位置時(shí)，小球速度不在水平方向上，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的最低點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)，并且在豎直位置下方。如圖3（b）和圖3（c）所示，彈簧擺的運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，彈簧擺的最低點(diǎn)第二次出現(xiàn)在原點(diǎn)左側(cè)。由此可知，最低點(diǎn)不一定在原點(diǎn)正下方，也可以在原點(diǎn)兩側(cè)，難以確定。由于彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸形成包絡(luò)面，視覺(jué)上容易造成最低點(diǎn)在原點(diǎn)正下方的錯(cuò)覺(jué)［２］。經(jīng)過(guò)模擬可知，彈簧擺的自然長(zhǎng)度l0一定時(shí)，k/m越大，運(yùn)動(dòng)軌跡越接近半圓周。

（a）t=1.46 s （b）t=4.74 s

（c）t=25.1 s

圖3 不同時(shí)刻彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡

5.1.2 彈簧擺的速度大小與水平位移的關(guān)系

速度大小與水平位移的關(guān)系如圖4所示，小球的最大速度在原點(diǎn)兩側(cè)，不在最低點(diǎn)。彈簧擺擺動(dòng)到最左側(cè)或最右側(cè)時(shí)的速度并不一定為零。在每次的往返運(yùn)動(dòng)中，速度大小總是先增大后減小再增大然后減小，彈簧擺每次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)正下方時(shí)的速度也是變化的。

圖4 彈簧擺的速度大小與水平位移的關(guān)系

5.1.3 彈簧長(zhǎng)度、軌跡曲率半徑與水平位移的關(guān)系

彈簧長(zhǎng)度、軌跡曲率半徑與水平位移的關(guān)系如圖5所示，在彈簧擺的每一次從右往左再?gòu)淖笸业倪\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧長(zhǎng)度均是先增加后減小，彈簧長(zhǎng)度和軌跡曲率半徑在小球經(jīng)過(guò)原點(diǎn)正下方時(shí)都是變化的。且彈簧擺在最低點(diǎn)處的曲率半徑是小于此時(shí)彈簧長(zhǎng)度的。

圖5 彈簧長(zhǎng)度、軌跡曲率半徑與水平位移的關(guān)系

5.1.4 動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能與水平位移的關(guān)系

取m=0.5，l0=1，其他條件不變。如圖6所示，彈簧擺由靜止開(kāi)始釋放，做往返運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力勢(shì)能的變化是先減小后增大，彈性勢(shì)能是先增大后減小，動(dòng)能是先增大后減小再增大然后減小，任意時(shí)刻三者相加和為零，系統(tǒng)能量守恒。

圖6 動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能與水平位移的關(guān)系

5.2 豎直位置僅有一水平初速度的運(yùn)動(dòng)

根據(jù)問(wèn)題（2）情境，參數(shù)可仍取m=1，l0=3，初始條件為x0=0，y0=-l2=-（l0+mg/k），y'0=0，x'0=，只改變k值，運(yùn)行程序得到結(jié)果如圖7所示。

當(dāng)k=8 N/m，t=30 s時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7（a）所示，發(fā)現(xiàn)小球所能到達(dá)的最高點(diǎn)位置在O點(diǎn)下方。如圖7（b）所示，當(dāng)k=40 N/m時(shí)，小球在30 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡仍在O點(diǎn)下方，無(wú)法高于O點(diǎn)。改變k的取值再進(jìn)行多次模擬，通過(guò)觀察和分析數(shù)值模擬的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可得出結(jié)論：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡包括小球到達(dá)的最高點(diǎn)能否高于O點(diǎn)，是由彈簧的自然長(zhǎng)度、勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量共同決定的［３］，并且由于彈簧擺的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，小球運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)高于O點(diǎn)的情況，其所需滿足的具體數(shù)據(jù)條件較苛刻。

（a）k=8 N/m （b）k=40 N/m

圖7 不同k值時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡

6 結(jié)束語(yǔ)

利用Mathematica軟件設(shè)計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)程序，通過(guò)改變變量的輸入值，能實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)地模擬出不同條件下彈簧擺的運(yùn)動(dòng)情況。Mathematica軟件的符號(hào)和數(shù)值計(jì)算功能、虛擬模擬功能、圖形繪制功能、交互式操作功能以及數(shù)據(jù)處理功能都非常強(qiáng)大。在物理教學(xué)過(guò)程中，不僅能模擬各種復(fù)雜的物理現(xiàn)象，還能設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)仿真交互實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解抽象的物理概念，使其在物理教學(xué)中具有巨大的潛力。

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（欄目編輯 賈偉堯）

收稿日期：2024-06-06

作者簡(jiǎn)介：江小萍（1999－），女，碩士研究生，主要從事物理學(xué)科教學(xué)研究。

*通信作者：文偉（1985－），男，副教授，主要研究凝聚態(tài)體系和離子阱系統(tǒng)中的量子計(jì)算和量子信息基礎(chǔ)。