對(duì)三個(gè)典型位置物體重力的辨析

摘 要：用非慣性參考系、慣性力等概念去理解重力有其優(yōu)越性，但這些知識(shí)并不適合高中教學(xué)的實(shí)際情況。針對(duì)用萬(wàn)有引力定律理解重力的困惑，以重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力為基礎(chǔ)，辨析了地球上空、地球表面和地球內(nèi)部三個(gè)位置物體所受的重力。

關(guān)鍵詞：重力；萬(wàn)有引力；自轉(zhuǎn)；分力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）12-0063-3

人教版高中物理必修一中對(duì)重力的定義是：由于地球的吸引而使物體受到的力叫做重力［１］，這個(gè)定義僅指出了物體重力產(chǎn)生的原因。人教版必修二中提出“若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為ｍ的物體所受的重力ｍｇ等于地球?qū)ξ矬w的引力”［２］，這個(gè)定義雖明確指出了物體重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系，卻是有條件的。那么，在地球自轉(zhuǎn)時(shí)物體的重力等于多少？在空中和地面以下的重力又如何？如果利用非慣性參考系和慣性力作出解釋，顯然不適合中學(xué)課堂，因此教師需要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，厘清物體重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系。

１ 地球表面物體的重力

１．１ 不考慮地球自轉(zhuǎn)

若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面質(zhì)量為ｍ的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即

mg=（1）

如果沒(méi)有區(qū)分赤道和兩極的重力加速度，或直接交代地表的重力加速度為ｇ，這就表明重力與萬(wàn)有引力相等。將（1）式ｍ消去得到，GM=R2g，這就是俗稱的“黃金代換式”［３］，它不僅對(duì)其他天體適用，而且涉及到具體計(jì)算時(shí)誤差較小，所以也叫“萬(wàn)能代換式”。

１．２ 考慮地球自轉(zhuǎn)

若考慮地球的自轉(zhuǎn)，并將地球視為慣性系，物體隨地球一起做圓周運(yùn)動(dòng)，除兩極外，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力需要提供垂直指向地軸的向心力，另一個(gè)分力就是物體的重力［４］，如圖１所示。這時(shí)，重力不再等于萬(wàn)有引力（兩極除外）。

圖１ 萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供向心力

也可以這樣理解，物體在地球表面受到兩個(gè)力，萬(wàn)有引力和支持力，如圖２所示，物體的萬(wàn)有引力Ｆ與支持力ＦＮ的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向，軌道半徑ｒ＝Ｒｃｏｓθ。重力等于支持力，它們是一對(duì)平衡力。由于物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)，所以重力不指向地心（赤道和兩極除外）。如圖３所示，將mg和Ｆ沿著Ｆ方向分解，滿足關(guān)系

圖２ 合力提供向心力

圖3 三力近似關(guān)系

mgcosσ=F-Fcosθ=-mRω2cos2θ（2）

因?yàn)棣液苄。剩悖铮螃摇郑?，將?）式變形得

mg=-mRω2cos2θ（3）

（3）式表明，θ越大，即物體的緯度越高，那么物體所受的重力就越大。討論特殊情況：

當(dāng)θ＝０時(shí)，物體處在赤道，mg1=-mRω2；

當(dāng)θ＝９０°時(shí)，物體處在兩極，mg2=。

在這里學(xué)生會(huì)質(zhì)疑：支持力方向是球體切線的垂線方向，重力的方向就應(yīng)該指向地心才對(duì)，但圖１中重力卻不是指向地心，這是為何？其實(shí)，地球并不是嚴(yán)格的球體，地球表面主要由海水組成，赤道附近的海水比重小，地球自轉(zhuǎn)使得兩極距地心近、赤道距地心遠(yuǎn)形成橢球體，形似“哈密瓜”。如圖４所示，支持力垂直于海平面，萬(wàn)有引力指向橢圓中心，萬(wàn)有引力Ｆ與支持力ＦＮ的合力提供物體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F。

圖４ 哈密瓜形

以上是在慣性系下解釋了物體所受重力與萬(wàn)有引力的差異，特別是用橢球體解釋重力的方向，學(xué)生容易理解，如果不糾結(jié)重力方向的問(wèn)題，完全可以將地球簡(jiǎn)化為球體。不過(guò)，高中階段主要考查赤道和兩極處物體的重力，這兩處重力的方向與萬(wàn)有引力的方向相同。

２ 地球上空物體的重力

２０２２年１１月３０日，神舟十五號(hào)成功將三位航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸送入中國(guó)空間站，與神舟十四號(hào)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”，他們將在軌生活半年，完成２０２２年的第六次飛行任務(wù)。航天員們?cè)诳臻g站里面處于完全失重狀態(tài)，按照失重的概念，當(dāng)物體對(duì)懸掛物的拉力或?qū)χС治锏膲毫Φ扔诹銜r(shí)，物體處于完全失重狀態(tài)，所以完全失重只能說(shuō)明航天員的視重為０，并不代表航天員就沒(méi)有重力。那么，在地球上空，物體所受的重力等于什么？

假設(shè)ｈ高處有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有=F向。此時(shí)衛(wèi)星已脫離地球，重力不再受自轉(zhuǎn)的影響，（3）式中的ω＝０，但（3）式還是可以用來(lái)計(jì)算重力，即mg=，所以

mg==F向（4）

（4）式表明，當(dāng)物體繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力等于萬(wàn)有引力，重力就是萬(wàn)有引力的一個(gè)代名詞而已，此時(shí)也可以說(shuō)重力提供了衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。（4）式還表明，物體所受重力隨高度ｈ的增加而減小，對(duì)于衛(wèi)星而言，高度ｈ少則也有幾十千米。如果只是幾層樓的高度，那就只能當(dāng)作地面上的物體來(lái)處理，參考系也會(huì)隨之改變，因?yàn)楫?dāng)ｈ遠(yuǎn)小于地球半徑Ｒ時(shí)，完全沒(méi)有必要考慮海拔高度對(duì)重力的影響，即使是在最高峰珠穆朗瑪峰的頂端，重力加速度也僅比海平面的小不到３‰［５］。

以上分析了在高空不受地球自轉(zhuǎn)影響時(shí)物體的重力，下面再來(lái)分析一下在高空且受地球自轉(zhuǎn)影響時(shí)物體的重力。假想從赤道鋪設(shè)一條豎直的電梯至同步衛(wèi)星，設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，當(dāng)物體上升至某一高度ｈ（ｈ≤ｈ０）時(shí)，物體受到萬(wàn)有引力和電梯的支持力，支持力等于重力，有

mg'=-m（R+h）ω2（5）

當(dāng)物體上升至同步衛(wèi)星的高度ｈ０時(shí)，滿足等式

=m（R+h0）ω2（6）

聯(lián)立（5）（6）式，解得

mg'==

（7）

由（7）式得，當(dāng)ｈ＜ｈ０時(shí)，物體的重力隨高度的增加而減??；當(dāng)ｈ＝ｈ０時(shí)，物體的重力等于０。這說(shuō)明空中物體的重力還與地球自轉(zhuǎn)的角速度有關(guān)。

３ 地球內(nèi)部物體的重力

如果物體到了地表以下，那重力又如何呢？教學(xué)中，我們會(huì)碰到結(jié)論“質(zhì)量分布均勻的球殼在其內(nèi)部產(chǎn)生的引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)處處為零”。這個(gè)結(jié)論可以用微元法證明（證明略），也可以采用類比法理解，因?yàn)辄c(diǎn)電荷間的靜電力公式與物體間的萬(wàn)有引力公式形式相同，電場(chǎng)強(qiáng)度與引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)形式也相同，既然均勻帶電的球殼內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，那么“質(zhì)量均勻的球殼在內(nèi)部產(chǎn)生的引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)處處為零”也成立。

受上面結(jié)論的啟發(fā)，如圖５所示，可以將地球分為厚度ｈ的球殼與半徑（Ｒ－ｈ）的球體兩個(gè)部分，認(rèn)為地球是質(zhì)量分布均勻的球體，那么物體在ｈ處的重力就等于半徑為（Ｒ－ｈ）的球體對(duì)它的萬(wàn)有引力，有

mg1=

M=ρ·πR3

M1=ρ·π（R-h）3

得到mg1=，當(dāng)ｈ增大（深度變大）時(shí)，重力減小。令R-h=x，得到

mg1=∝x（8）

圖５ 地球分為兩部分

由（8）式可知，距離地心ｘ處的物體重力與ｘ成正比，當(dāng)ｘ＝０，即ｈ＝Ｒ時(shí)，得到地心處的重力為０。

如果以地球某一直徑挖出一條貫穿地球的隧道，并規(guī)定正方向，容易證明

F=-πGρmx=-kx∝x（9）

（9）式可以說(shuō)明物體在這個(gè)隧道里面做以地心為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

４ 啟 示

綜上所述，高中階段只要不考慮地球的自轉(zhuǎn)或區(qū)分赤道與兩極的重力，那么重力與萬(wàn)有引力就是相等的，但是不能等同［６］；如果考慮地球的自轉(zhuǎn)，限于高中不講非慣性系與離心慣性力的概念，所以只能認(rèn)為重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，盡管這一觀點(diǎn)與“重力是萬(wàn)有引力與慣性離心力的合力”存在一定的分歧［７］。總之，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都不是一蹴而就的，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，我們對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)會(huì)更全面、更深刻。

參考文獻(xiàn)：

［１］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)物理必修第一冊(cè)［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５５．

［２］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)物理必修第二冊(cè)［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５１．

［３］段石峰．高中階段如何理解重力和地球引力的關(guān)系［Ｊ］．湖南中學(xué)物理，２０２２（９）：７８－８０．

［４］金清鎮(zhèn)．重力與萬(wàn)有引力誰(shuí)是“合力”［Ｊ］．物理教師，２０１５，３６（３）：５９．

［５］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)物理必修第二冊(cè)教師用書(shū)［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：５１．

［６］王太軍，唐忠敏．關(guān)于重力定義的再探討——重力與萬(wàn)有引力應(yīng)該“分家”［Ｊ］．物理教師，２０１０，３１（１０）：３６－３８．

［７］馬亞鵬．重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系及其對(duì)中學(xué)物理教學(xué)的啟示［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０１３，４２（６）：５０－５２．

（欄目編輯 蔣小平）

收稿日期：2024-05-17

作者簡(jiǎn)介：張育森（1981-），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中物理教學(xué)工作。