對“速度合成與分解”和“力的合成與分解”問題的再商榷

摘 要：對教材中“速度合成（分解）”與“速度變換（疊加）”概念進行區(qū)分，并重新審視了關(guān)聯(lián)速度分解與力的分解問題，得出分解速度與分解力在數(shù)學上是相“兼容”的結(jié)論，即速度分解也可以像力的分解一樣運用平行四邊形定則沿任意方向分解，只是按作用效果，運用“投影矢量”的正交分解法，在計算時會更加簡潔，進而培養(yǎng)學生類比推理的能力。

關(guān)鍵詞：速度分解；速度變換；投影矢量；類比推理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）12-0058-6

速度合成與分解是學習高中物理曲線運動的基礎(chǔ)，同時也是高考常考的一類重要題型，甚至作為壓軸題中的一個命題點。尤其在繩、桿的關(guān)聯(lián)速度問題中，教師通常會告訴學生，此類問題要根據(jù)運動的實際效果進行分解，一般沿繩（桿）和垂直于繩（桿）正交分解合速度。事實上，相當一部分學生在對速度進行矢量合成與分解時，會類比力的合成與分解，但最終所得結(jié)果卻與答案不同，從而產(chǎn)生困惑。既然都是矢量運算，為什么運用數(shù)學中平面向量的平行四邊形定則對速度分解時會“出錯”，而力的分解卻不會？此外，大部分學生甚至一些教師也會產(chǎn)生迷思概念，誤將速度合成（分解）等同于速度變換（或速度疊加），實際上這是兩個完全不同的物理概念。如何理解分解速度與分解力在數(shù)學上的“不兼容”問題？速度合成（分解）與速度變換（疊加）又有什么區(qū)別？下面將圍繞這兩個問題進行辨析。

１ 真題解析與問題爭鳴

例１ （２０２２年高考物理湖北卷第１６題）打樁機是基建常用工具。某種簡易打樁機模型如圖１所示，重物Ａ、Ｂ和Ｃ通過不可伸長的輕質(zhì)長繩跨過兩個光滑的等高小定滑輪連接，Ｃ與滑輪等高（圖中實線位置）時，Ｃ到兩定滑輪的距離均為Ｌ。重物Ａ和Ｂ的質(zhì)量均為ｍ，系統(tǒng)可以在如圖虛線位置保持靜止，此時連接Ｃ的繩與水平方向的夾角為６０°。某次打樁時，用外力將Ｃ拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放。設(shè)Ｃ的下落速度為時，與正下方質(zhì)量為２ｍ的靜止樁Ｄ正碰，碰撞時間極短，碰撞后Ｃ的速度為零，Ｄ豎直向下運動距離后靜止（不考慮Ｃ、Ｄ再次相碰）。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均可視為質(zhì)點。

（１）求Ｃ的質(zhì)量；

（２）若Ｄ在運動過程中受到的阻力Ｆ可視為恒力，求Ｆ的大??；

（３）撤掉樁Ｄ，將Ｃ再次拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放，求Ａ、Ｂ、Ｃ的總動能最大時Ｃ的動能。

圖１ 高考試題示意圖

解析 （１）以Ｃ為研究對象，受力分析如圖２所示，則有

2Tcosθ=mCg（１）

T=mg（２）

由幾何關(guān)系，θ＝３０°。所以解得

mC=m（３）

圖２ Ｃ物體受力分析圖

（２）過程１：碰撞階段，Ｃ、Ｄ組成的系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定豎直向下為正方向，所以有

mv=mv（４）

解得

v=（５）

過程２：碰后對Ｄ用動能定理，則

（2mg-F）=0-·2mv（６）

聯(lián)立（５）（６）式解得

F=6.5mg（７）

（３）根據(jù)對稱性，設(shè)其中一根繩子與豎直方向的夾角為θ，Ａ、Ｂ兩物體上升的速度均為ｖ，上升的距離為ｈ２；物體Ｃ下降的距離為ｈ１，下降的速度為ｖC。對三物體組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律有

mgh-（m+m）gh=mv+（m+m）v（８）

如圖３所示，沿繩方向速度關(guān)聯(lián)，因此可得

vCcosθ=v（９）

根據(jù)幾何關(guān)系，不難看出

h1=Lcotθ（１０）

h2=L（-1）（１１）

Ek=mC v+（mA+mB）v2（１２）

EkC1rtImCqXrxRL2PxU2K23Cz/t4TQGd30W5gQL49AgGxU==mC v（１３）

聯(lián)立（８）—（１３）式并化簡可得

Ek=mgL［ｃｏｔθ－２（－１）］（１４）

利用導數(shù)分析（１４）式函數(shù)的單調(diào)性，易得θ＝３０°（原靜止虛線位置處）時有Ｅｋｍａｘ，因此可知

EkC=（4-2）mgL（１５）

圖３ 關(guān)聯(lián)速度正交分解圖

問題：在分解速度時是否可以不沿繩和垂直于繩正交分解Ｃ物體的速度，而是仿照第一問分解力的形式，將Ｃ物體的速度應(yīng)用平行四邊形定則沿兩繩方向分解（圖４）？若按第二種分解方式計算可得

vC=2vcosθ（１６）

圖４ ｖC沿繩分解示意圖

顯然（１６）式不等于（９）式。同為矢量運算，關(guān)聯(lián)速度分解為什么不能像分解力那樣用平行四邊形定則沿任意方向分解？文獻［１］指出：“力的合成與分解”和“速度的合成與分解”之間是有區(qū)別的。速度不能隨意按照平行四邊形定則進行合成與分解，但是可以按照“投影矢量合成法”得到原始速度。只有當兩個分速度相互垂直（即相互獨立）時，才能按照平行四邊形定則進行合成（分解）。

事實上，矢量在數(shù)學上又稱向量，向量是可以自由移動的。若不加限制，只要滿足平行四邊形定則，一個向量可以有無數(shù)種分解形式，正交分解只是比較簡單的一種分解方式。因此，速度分解理應(yīng)可以不按其效果分解，即上述沿兩繩方向分解速度的想法是可行的。下面，以夾角更一般的情況進行討論。

２ 繩（桿）關(guān)聯(lián)速度分解與力的分解

例２ （２０１３年高考物理上海卷第２０題）如圖５所示，為在平靜海面上，兩艘拖船Ａ、Ｂ拖著駁船Ｃ運動的示意圖。Ａ、Ｂ的速度分別沿著纜繩ＣＡ、ＣＢ方向，Ａ、Ｂ、Ｃ不在同一條直線上。由于纜繩不可伸長，因此Ｃ的速度在ＣＡ、ＣＢ方向的投影分別與Ａ、Ｂ的速度相等，由此可知Ｃ的 （ ）

Ａ．速度大小可以介于Ａ、Ｂ的速度大小之間

Ｂ．速度大小一定不小于Ａ、Ｂ的速度大小

Ｃ．速度方向可能在ＣＡ和ＣＢ的夾角范圍外

Ｄ．速度方向一定在ＣＡ和ＣＢ的夾角范圍內(nèi)

圖５ 高考試題示意圖

解析

方法一 按效果正交分解。

由題干已知條件“由于纜繩不可伸長，因此Ｃ的速度在ＣＡ、ＣＢ方向的投影分別與Ａ、Ｂ的速度相等”可知，Ｃ的速度要沿繩和垂直于繩的方向正交分解，屬于傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)速度問題的做法。將Ａ、Ｂ、Ｃ視為質(zhì)點，正交分解船Ｃ的速度，如圖６所示。因為繩子不可伸長，所以有

v1=vCcosθ=vA（１）

同理可得

v2=vCcosα=vB（２）

解得

vC =≥vA（３）

vC =≥vB（４）

所以，Ｂ選項正確。

由于Ｃ船合速度方向不確定，可能在Ａ、Ｂ之間，也可能在Ａ、Ｂ之外。但無論在Ａ、Ｂ之間，還是在Ａ、Ｂ之外，均滿足上述（１）（２）式，所以Ｃ選項也正確。綜上所述，正確答案為Ｂ、Ｃ選項。

圖６ 關(guān)聯(lián)速度正交分解圖

方法二 類比力的平行四邊形定則，將Ｃ的速度沿Ａ、Ｂ兩繩方向分解。

?。脼檠芯繉ο螅瑢ⅲ么乃俣龋鯟沿兩繩方向用平行四邊形定則分解為ｖ１和ｖ２，如圖７所示。

兩繩作為Ａ、Ｂ、Ｃ三船的幾何約束條件，顯然ｖ１與ｖ２并不獨立，ｖ２會在ｖ１繩方向產(chǎn)生貢獻，這不同于方法一中的正交分解，所以ｖ１≠ｖＡ，要保證繩子不可伸長，只需要滿足ｖ１與ｖ２沿ｖ１方向的分量之和等于Ａ船的速度ｖＡ即可，反之亦然。所以，在Ａ船方向，根據(jù)幾何約束有

vA=v1+v2cos（θ＋α）（５）

對Ｃ船用平行四邊形定則進行速度分解，根據(jù)余弦定理可得

v=v+v-2vvcosθ（６）

v=v+v-2vvcosα（７）

由數(shù)學知識可知

sin2θ+cos2θ=1（８）

sin2α+cos2α=1 （９）

聯(lián)立（５）—（９）式解得

v=（１０）

同理，在Ｂ船方向，根據(jù)幾何約束亦有

vB=v2+v1cos（θ+α）（１１）

聯(lián)立（６）（７）（８）（９）（１１）式解得

vC=（１２）

顯然，（１０）（１２）式與（３）（４）式結(jié)果一致，即類比力的分解，運用平行四邊形定則分解關(guān)聯(lián)速度，并結(jié)合約束條件的計算與方法一沿繩、垂直于繩的正交分解結(jié)果完全一樣。

圖７ ｖC的平行四邊形定則分解示意圖

討論１ 若?。觯粒剑觯拢剑觯蓪ΨQ性可知ｖ１＝ｖ２，θ＝α，代入上述方程組可解得

vC=（１３）

顯然，（１３）式與例１中２０２２年湖北卷高考試題的常規(guī)正交分解法得到的（９）式完全一樣。由于湖北卷Ａ、Ｂ兩物體繞過定滑輪，定滑輪只改變方向，若將繞過定滑輪的繩子Ａ、Ｂ拉直以后與此題形式上也完全一致（圖８）。

圖８ ｖC沿繩分解示意圖

小結(jié) 關(guān)聯(lián)速度分解可以類比力，使用平行四邊形定則進行分解，從而保持與數(shù)學中向量分解方法的一致性。但需要注意的是，物理中的矢量與數(shù)學中的向量有所不同，物理中矢量的作用點作用于研究對象上，數(shù)學中向量起始端無具體研究對象。所以，物理中所有矢量的合成（分解），即矢量和與矢量差必須滿足對應(yīng)的是同一參考系下的同一研究對象。

如例１中，?。梦矬w為研究對象，Ｃ物體實際受到三個力（圖２）。但Ｃ物體的實際速度只有自身向下的一個速度ｖC （其中，ｖC１與ｖC２是ｖC的兩個分速度），繩子只是關(guān)聯(lián)三個物體的約束條件（圖８）?？紤]特殊情況，假設(shè)Ａ、Ｂ兩物體以共同速度ｖ拉著Ｃ物體向前運動，兩繩夾角為零（圖９），?。脼檠芯繉ο?，那么Ｃ物體的速度矢量只有Ｃ向前運動的速度ｖC，而速度ｖ只作用于Ａ、Ｂ物體，兩段繩子僅僅是關(guān)聯(lián)三個物體的約束條件，并不能傳遞速度。如果認為 Ｃ的速度ｖC等于Ａ、Ｂ的速度之和２ｖ，這就混淆了矢量的作用對象。

圖９ 特殊情況下的速度關(guān)聯(lián)

討論２ 上述推導證明了關(guān)聯(lián)速度可以用平行四邊形定則沿任意方向分解，但是要保證分解的“完整性”，且滿足繩子不能被拉長的幾何約束。即研究Ａ物體的運動方向時還要考慮沿Ｂ物體方向的速度對Ａ物體運動方向的貢獻，而正交分解時，Ａ、Ｂ兩方向相互獨立，所以用正交分解法分解速度明顯會更簡單。然而，對于湖北卷高考試題中，第一問分解力的時候，為什么沒考慮沿繩Ｂ方向的力對Ａ方向的貢獻呢？

分析 例１的圖２中，Ｃ物體實際受到３個力，Ｃ物體自身的重力，以及Ａ、Ｂ兩繩的拉力。由于兩繩拉力大小相等，夾角也相等，考慮對稱性，連結(jié)Ｂ繩子的拉力在Ａ方向的貢獻與連結(jié)Ａ繩子的拉力在Ｂ方向的貢獻恰好相抵消，所以就給人一種沒有考慮Ａ、Ｂ繩子間“相互干擾”的錯覺（圖１０）。

圖１０ Ｃ物體力的分解圖

綜上所述，關(guān)聯(lián)速度的分解與力的分解在數(shù)學上是“兼容”的，都滿足向量運算的平行四邊形定則，可以“任意”分解。但需要特別注意的是，物理中矢量的起始端有嚴格的作用對象，而數(shù)學中向量在自由移動時，起始端無具體研究對象。

３ 速度合成（分解）與速度變換（疊加）的區(qū)別

既然矢量的合成與分解只能是同一參考系下的同一研究對象，那么如何理解教材“運動合成與分解”一節(jié)中“小船過河”“自動扶梯”類問題？自動扶梯上升速度的研究對象是扶梯，人相對于扶梯向上行走速度的研究對象則是人體自身，很明顯這是兩個不同的研究對象，而且也不是同一個參考系。

實際上，教材中混淆了速度合成（分解）與速度變換（疊加）這兩個概念，新人教版教材中已經(jīng)刪除了“小船過河問題”，保留了蠟塊運動［２］，但魯科版教材仍保留了“小船過河”問題［３］。

查閱教材可知，伽利略速度變換在人教版教材必修二第七章第五節(jié)“相對論時空觀與牛頓力學的局限性”一節(jié)中也有所涉及（圖１１），因此建議將“小船過河”等一類問題移至該節(jié)作為課后習題補充。

圖１１ 教材“伽利略速度變換”

根據(jù)狹義相對論洛倫茲變換可知

v=

在宏觀低速情況下，→0，所以有v=v'+u，即速度變換退化為速度矢量和的形式。顯然，速度變換（疊加）與速度合成（分解）的物理意義是不同的。伽利略變換是兩個研究對象在不同參考系下的速度疊加（絕對運動＝相對運動＋牽連運動），正如在學習受力分析時初學者容易混淆一對平衡力和一對相互作用力的概念一樣。

其實，伽利略速度變換在高中物理中也是非常重要的一個物理概念［４］。例如，在學習動生電動勢的產(chǎn)生原理時（圖１２），導體棒以速度ｖ向右運動切割磁感線。為了研究方便，不妨認為導體中是正電荷做定向移動（本質(zhì)是導體中電子的定向移動），取其中一個正電荷為研究對象，正電荷跟隨導體向右運動時由于受到洛倫茲力還將以速度ｕ向上運動。根據(jù)伽利略速度變換，該正電荷的對地速度是牽連速度ｖ與相對速度ｕ的矢量疊加，而非速度合成。但由于電荷向右的運動速度可以認為和導體棒向右的牽連速度相同（電荷被限制在導體棒內(nèi)部，只能相對于導體棒上下運動），所以此時就可以近似看成正電荷也具有向右的速度ｖ，將其視為速度合成，這與必修二“運動合成與分解”一節(jié)蠟塊在玻璃管中的運動模型相一致。

圖１２ 導體棒切割磁感線

綜上所述，速度合成（分解）與伽利略速度變換（疊加）均滿足矢量運算的平行四邊形定則，但前者是指同一研究對象、同一參考系下速度的矢量加減，如關(guān)聯(lián)速度、拋體運動分解等；后者則是兩個不同研究對象、不同參考系下的速度疊加，如自動扶梯、跳傘運動等。因此，建議教師在實際教學時要給學生嚴格區(qū)分這兩個不同的物理概念，不可將二者混為一談。

４ 結(jié) 語

類比推理是從已知的一般性結(jié)論到未知一般性結(jié)論的過程，推出的新結(jié)論還需要進一步嚴格證明，這可以培養(yǎng)學生思維活動的嚴謹性。高中物理的學習離不開類比推理，在平時的教育教學過程中，教師要引導學生深挖物理概念，敢于質(zhì)疑，善于類比，這樣才有益于強化物理觀念，落實核心素養(yǎng)，真正提高學生解決問題的能力。

最后，本文特別鳴謝深圳市晟才高級中學物理教師陳敏華教授，微信公眾號“陳敏華物理教育研究”推文《不同參考系下的速度可以合成和分解嗎？》留給我們的思考。

參考文獻：

［１］盧玉龍，邵云．論力的合成與分解和速度的合成與分解的區(qū)別［Ｊ］．物理教學，２０２３，４５（１０）：５２－５４，５１．

［２］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書物理必修第二冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［３］廖伯琴．普通高中教科書物理必修第二冊［Ｍ］．濟南：山東科學技術(shù)出版社，２０１９．

［４］秦笑春．從伽利略速度變換角度理解相對運動中速度的合成與分解［Ｊ］．物理教師，２０１５，３６（４）：６２－６３．

（欄目編輯 蔣小平）

收稿日期：2024-09-15

基金項目：濟南大學教學改革項目“智慧實踐體系建設(shè)及教學模式改革研究”（JZD2401）；濟南大學課程思政示范課程“原子物理”（KCSZ2204）。

作者簡介：劉存輝（1997-），男，碩士研究生，研究方向為學科教學（物理）。

*通信作者：劉海英（1976-），女，副教授，主要從事中學物理教育研究。