導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線問題中的應(yīng)用探究指導(dǎo)

［摘 要］ 開展導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線問題中的應(yīng)用教學(xué)至關(guān)重要，教師應(yīng)注重針對(duì)不同問題類型進(jìn)行思路分析，并構(gòu)建相應(yīng)的解題策略，同時(shí)結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行深入強(qiáng)化. 研究者圍繞圓錐曲線的三大問題，開展導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 導(dǎo)數(shù)；圓錐曲線；應(yīng)用；最值；切線

作者簡(jiǎn)介：周佳琳（1996—），碩士研究生，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，常作為數(shù)學(xué)工具用于探究解析函數(shù)的極值、最值等問題，以及圓錐曲線問題.

應(yīng)用探究

探究導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用，具體步驟是：先構(gòu)建函數(shù)模型，再利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，最后完成求解.

1. 最值與取值范圍問題

在探討圓錐曲線中的最值與取值范圍問題時(shí)，如果學(xué)生構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜，以至于難以應(yīng)用不等式法或函數(shù)法求解，那么可以考慮采用導(dǎo)數(shù)分析法. 即關(guān)注模型中的數(shù)式，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建函數(shù)，并引入導(dǎo)數(shù)知識(shí)來研究其性質(zhì)，進(jìn)而求解最值或取值范圍.

例1 設(shè)橢圓T：+=1（a>b>0），直線l（不與x軸重合）過橢圓的左焦點(diǎn)F，并與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)K，KF=2. 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，PQ=.

（1）求橢圓T的方程；

（2）直線l繞著F旋轉(zhuǎn)，與圓O：x2+y2=5相交于A，B兩點(diǎn)，若AB∈［4，］，求△FPQ的面積S的取值范圍（F為橢圓T的右焦點(diǎn)）.

分析指導(dǎo) 本題以橢圓與直線相交為背景，構(gòu)建了圓、三角形等特殊幾何圖形，并融入了旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)，整體綜合性較強(qiáng). 本題第（1）問求的是橢圓T的方程，較為簡(jiǎn)單. 第（2）問探究的是三角形面積的取值范圍，需要構(gòu)建一個(gè)面積模型，有一定難度. 在分析面積模型時(shí)，建議通過構(gòu)建函數(shù)并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究其性質(zhì)，從而確定面積的取值范圍.

過程指導(dǎo) （1）（簡(jiǎn)答）橢圓T的方程為+=1.

（2）總體思路：先聯(lián)立方程，再構(gòu)建面積模型，最后利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)完成求解.

第一步，聯(lián)立方程.

設(shè)直線l：x－my+1=0，圓心O到l的距離d=. 根據(jù)圓的性質(zhì)可得AB=2=2. 又AB∈［4，］，故m2∈［0，3］. 聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得x=my－1，+=1，整理得（2m2+3）y2－4my－4=0. 由韋達(dá)定理得y+y=，yy=.

第二步，構(gòu)建面積模型.

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為P（x，y），Q（x，y），構(gòu)建△FPQ的面積模型，得S=FF·y－y=y－y==.令t=m2+1∈［1，4］，則S=.

第三步，構(gòu)建函數(shù)，導(dǎo)數(shù)解析.

針對(duì)上述面積模型，可以構(gòu)建一個(gè)函數(shù)來表示其中的分母部分. 即設(shè)f（t）=4t+，t∈［1，4］，其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)f′（t）=4－=>0（t∈［1，4］）恒成立，所以函數(shù)f（t）=4t+在區(qū)間［1，4］上單調(diào)遞增. 所以，f（t）=4t+∈5，. 所以，S∈，.

評(píng)析與反思 上述展示的是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解圓錐曲線中的取值范圍問題的“三步法”. 在這一過程中，函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要集中在最后一步. 具體來說，先通過建立面積模型來構(gòu)造局部函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的性質(zhì)，最后確定取值范圍.

對(duì)于學(xué)生而言，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是函數(shù)的構(gòu)建——可整體構(gòu)建，也可局部構(gòu)建；二是函數(shù)的性質(zhì)——應(yīng)用分類討論思想，明確函數(shù)的性質(zhì).

2. 切線問題

圓錐曲線中的切線問題十分常見，傳統(tǒng)方法為解析法，即設(shè)定切點(diǎn)，求出切線斜率后構(gòu)建方程，但該過程較為復(fù)雜. 實(shí)際上，可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)直接求出切線方程. 教師可以拋物線的切線方程為例，指導(dǎo)學(xué)生掌握以下求解思路.

求過拋物線E：x2=2py（p>0）上一點(diǎn)P（x，y）的切線方程，可以將拋物線方程視為關(guān)于x的二次函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)后，再代入切點(diǎn)坐標(biāo)推得切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式構(gòu)建切線方程.

例2 若點(diǎn)Q是直線y=x－4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作拋物線C：x2=4y的兩切線QA，QB，其中A，B為切點(diǎn)，試證明直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析指導(dǎo) 本題證明直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是求出切線QA，QB的方程. 可以利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，直接構(gòu)建切線方程.

過程指導(dǎo) 先求切線方程，再分析定點(diǎn).

第一步，推導(dǎo)切線方程.

對(duì)函數(shù)y=x2求導(dǎo)，得y′=x. 設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則過該切點(diǎn)的切線的斜率為x，所以切線方程為y－y=x（x－x）=xx－x=xx－2y，即xx－2y－2y=0. 設(shè)點(diǎn)Q（t，t－4），由于切線經(jīng)過點(diǎn)Q，所以tx－2y－2（t－4）=0.

設(shè)A（x，y），B（x，y），則兩切線的方程分別為tx－2y－2（t－4）=0，tx－2y－2（t－4）=0，

第二步，分析定點(diǎn).

根據(jù)兩切線方程可知，過A，B兩點(diǎn)的直線方程是tx－2y－2（t－4）=0，即t（x－2）+8－2y=0. 分析該式可知，當(dāng)x=2，y=4時(shí)，方程恒成立，從而確定對(duì)任意實(shí)數(shù)t，直線AB恒過定點(diǎn)（2，4）.

評(píng)析與反思 上述展示的是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解切線方程的過程. 具體而言，先將曲線方程視為關(guān)于x的函數(shù)，然后對(duì)其求導(dǎo)以確定切線的斜率，最后據(jù)此確定切線的方程.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)常見的圓錐曲線的切線方程，例如過雙曲線-=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)P（x，y）的切線方程為－=1，過橢圓+=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)P（x，y）的切線方程為+=1. 學(xué)生可以直接利用上述結(jié)論來解題，從而提高解題效率.

3. 極點(diǎn)與極線問題

極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征. 學(xué)生先要明晰概念，再總結(jié)用導(dǎo)數(shù)破解極點(diǎn)與極線問題的思路.

對(duì)于圓x2+y2=r2，與點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的極線方程為xx+yy=r2. 若點(diǎn)（x，y）在圓上，則極線方程就是切線方程；若點(diǎn)（x，y）在圓外，則極線方程就是切點(diǎn)弦方程.

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以探求與極點(diǎn)和極線相關(guān)的定值問題. 這種方法適用于A是圓錐曲線C上的定點(diǎn)，E，F(xiàn)是圓錐曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情形.

例3 如圖1所示，已知E，F(xiàn)是橢圓+=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A1，是橢圓上的定點(diǎn)，如果直線AE與AF關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

分析指導(dǎo) 本題為與橢圓和直線相關(guān)的斜率定值探究題，解決此類問題有兩種方法：一是傳統(tǒng)的解析法；二是特殊的導(dǎo)數(shù)法. 解析法先聯(lián)立方程，然后根據(jù)斜率定義進(jìn)行推導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)法則利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)直接推導(dǎo). 在教學(xué)中，教師可將這兩種方法都展示出來，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析與對(duì)比.

解析法 因?yàn)橹本€AE與AF關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以直線AE與AF的斜率互為相反數(shù). 設(shè)直線AE的方程為y=k（x－1）+，則直線AF的方程為y=－k（x－1）+. 聯(lián)立直線AE與橢圓的方程，整理可得（3+4k2）x2+4k（3－2k）x+4－k－12=0.

設(shè)E（x，y），F(xiàn)（x，y），注意x=1是上述方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理可得x=. 同理可得x=. 所以，k==. 將x和x的值代入上式，可得k=.

導(dǎo)數(shù)法 分析可知，當(dāng)直線AE與AF的傾斜角均趨近于90°時(shí)，則直線EF的斜率就趨近于過A′1，－的切線的斜率. 對(duì)橢圓+=1中的x求導(dǎo)，得+=0. 將A′1，－代入上式，可得+=0，解得y′=，從而可直接確定所求的定值為.

評(píng)析與反思 上述展示的是用解析法與導(dǎo)數(shù)法探究直線過定點(diǎn)的過程. 顯然，傳統(tǒng)的解析法更復(fù)雜，涉及大量的運(yùn)算，而導(dǎo)數(shù)法則直接觸及核心，簡(jiǎn)潔明了. 在教學(xué)中，教師需要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是探討導(dǎo)數(shù)法在解題過程中的構(gòu)建方式及其本質(zhì)含義；二是通過對(duì)比解析法與導(dǎo)數(shù)法，直觀揭示兩種方法在思路方面的差異.

教學(xué)建議

上文概述了導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線三大問題中的應(yīng)用，并展示了探究方法的參考價(jià)值. 接下來，筆者提出一些教學(xué)建議.

建議1：挖掘知識(shí)本質(zhì)

導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)分析的重要工具，在解決圓錐曲線問題時(shí)展現(xiàn)了其兩大關(guān)鍵特性：一是能夠通過研究導(dǎo)數(shù)來深入探討函數(shù)曲線的變化特性；二是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能夠建立斜率與切線之間的聯(lián)系. 教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生深入探究這些知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)，并從本質(zhì)上理解其應(yīng)用的根源. 在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要關(guān)注教材的基礎(chǔ)內(nèi)容，從基本定理和定義出發(fā)進(jìn)行深入探討.

建議2：解讀應(yīng)用思路

上述內(nèi)容概括了三大題型中導(dǎo)數(shù)研究的方法和思路，整體上遵循“思路解讀→實(shí)例指導(dǎo)→評(píng)價(jià)反思”的流程展開. 其中，“思路解讀”應(yīng)作為教學(xué)的重點(diǎn)，即在探究過程中，學(xué)生應(yīng)聚焦問題的特性，梳理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用技巧，并構(gòu)建相應(yīng)的解題策略. 在構(gòu)建解題策略時(shí)，需要注意兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是解讀導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識(shí)基礎(chǔ)；二是深入分析問題，揭示其核心本質(zhì).

建議3：過程分步構(gòu)建

指導(dǎo)實(shí)例時(shí)，教師應(yīng)采取分步構(gòu)建的策略，引導(dǎo)學(xué)生深入解讀問題，并明確每一步解析的關(guān)鍵點(diǎn). 以例1的探究為例，探究過程可以分為三個(gè)階段：首先，聯(lián)立方程并進(jìn)行整理；其次，構(gòu)建面積模型；最后，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì). 分步構(gòu)建策略并非僅僅是對(duì)過程的簡(jiǎn)單拆解，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入分析問題，理解不同條件之間的內(nèi)在聯(lián)系.

建議4：深度總結(jié)思考

研究案例時(shí)，教師需精心挑選具有代表性的題目，確保這些題目能夠清晰地展示解題方法的應(yīng)用. 一旦構(gòu)建了完整的過程，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié)，深入探討解決問題的細(xì)節(jié)，并歸納總結(jié)解題策略和經(jīng)驗(yàn)，以便更深刻地理解方法的應(yīng)用過程. 在必要時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種解法的探究，比較解析法與導(dǎo)數(shù)法的思路差異，直觀地感受導(dǎo)數(shù)法的優(yōu)勢(shì). 此外，教師應(yīng)適時(shí)總結(jié)構(gòu)建過程和解題技巧，以助于學(xué)生更好地應(yīng)用和鞏固所學(xué)知識(shí).

寫在最后

綜上所述，導(dǎo)數(shù)作為一種解題工具，對(duì)處理圓錐曲線問題具有重要作用. 在教學(xué)中，教師應(yīng)注重問題的梳理和思路方法的總結(jié)，并通過具體實(shí)例來提供指導(dǎo). 在探索解題方法時(shí)，建議教師以引導(dǎo)學(xué)生思考為主，確保學(xué)生能夠深入理解并掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問題的基本策略. 此外，教師還應(yīng)適時(shí)地融入數(shù)學(xué)思想，以此來培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力，并提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).