核心素養(yǎng)導(dǎo)向下問(wèn)題驅(qū)動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的策略探索

［摘 要］ 學(xué)貴有疑. 問(wèn)題是開(kāi)啟思維的利器. 借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在課堂中想說(shuō)、敢說(shuō)，不僅能夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)、完善知識(shí)體系，還能提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等能力. 文章從幾個(gè)教學(xué)實(shí)例出發(fā)，具體談?wù)勅绾卫秒A梯式提問(wèn)、啟發(fā)式提問(wèn)與質(zhì)疑式提問(wèn)等方法驅(qū)動(dòng)學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”，讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正扎根于教育實(shí)踐中.

［關(guān)鍵詞］ 問(wèn)題；說(shuō)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：馮聯(lián)英（1971—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲福建省微課大賽一等獎(jiǎng)，龍巖市名師、泉州市高層次人才.

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，既是新課改背景下落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一種教學(xué)手段，又是在“以生為本”教學(xué)理念的基礎(chǔ)上以問(wèn)題為導(dǎo)向，驅(qū)動(dòng)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與行為的一種教學(xué)方式. “說(shuō)數(shù)學(xué)”給學(xué)生提供了“說(shuō)”的機(jī)會(huì)，將自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程與結(jié)果、感想與體會(huì)等“說(shuō)”出來(lái)，在老師和同學(xué)面前表現(xiàn)自我，增加了獲得教師獎(jiǎng)勵(lì)性評(píng)價(jià)的機(jī)會(huì)［1］. 在一些需要邏輯推理與思辨分析的教學(xué)中，教師通過(guò)提問(wèn)設(shè)疑的方法引發(fā)學(xué)生主動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”，在學(xué)生的自我表達(dá)中，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等的理解和掌握，從而為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的意義

數(shù)學(xué)學(xué)科建立在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言之上，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)精確描繪數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是保障數(shù)學(xué)思想與方法能夠順暢無(wú)阻地進(jìn)行交流的根本基石. 在教學(xué)中，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生表達(dá)，這不僅能夠使學(xué)生在自然語(yǔ)言的語(yǔ)境中深刻領(lǐng)悟教學(xué)內(nèi)容，還能有效激活學(xué)生的思維潛能. 它引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)庫(kù)中的相關(guān)信息，對(duì)新獲取的知識(shí)進(jìn)行深度加工，以構(gòu)建出條理清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系，并通過(guò)準(zhǔn)確的語(yǔ)言進(jìn)行闡述和表達(dá). 事實(shí)上，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的過(guò)程，是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言閱讀理解、轉(zhuǎn)譯并加工數(shù)學(xué)現(xiàn)象的過(guò)程. 而“說(shuō)”這一過(guò)程，則是揭示思維脈絡(luò)，鍛煉辨析能力，以及不斷優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.

具體措施

“說(shuō)數(shù)學(xué)”是一種聽(tīng)得到的外部表述活動(dòng)，屬于教學(xué)的外化表現(xiàn). 借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，可有效激發(fā)學(xué)生的表達(dá)欲，讓學(xué)生自主組織并加工內(nèi)在的思維活動(dòng)，再借助外化的語(yǔ)言進(jìn)行傳遞. 在此過(guò)程中，學(xué)生邊說(shuō)邊思考，邊思考邊說(shuō)，凸顯了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與思維的緊密性. 為了增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，教師可以在課堂上巧妙設(shè)計(jì)各類(lèi)問(wèn)題，構(gòu)建一個(gè)積極的語(yǔ)言交流環(huán)境，激發(fā)學(xué)生想說(shuō)、敢說(shuō)，從而真正促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生. 因此，提問(wèn)方式的選擇至關(guān)重要.

1. 階梯式提問(wèn)，誘導(dǎo)語(yǔ)言表達(dá)

階梯式提問(wèn)是指將復(fù)雜的目標(biāo)問(wèn)題分解成一系列由淺入深、層層遞進(jìn)的小問(wèn)題，通過(guò)逐一攻克這些小問(wèn)題，學(xué)生能夠自然而然地觸及并解答目標(biāo)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深入理解和掌握. 階梯式提問(wèn)可促使學(xué)生在層層遞進(jìn)的小問(wèn)題中穩(wěn)步前行，實(shí)現(xiàn)思維的螺旋式攀升，從而為提高邏輯推理能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在層層遞進(jìn)問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生借助外化言語(yǔ)闡述所觀所感，展現(xiàn)個(gè)人的思維過(guò)程，獲得寶貴的經(jīng)驗(yàn)感悟. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，階梯式提問(wèn)不僅能夠激發(fā)學(xué)生間的數(shù)學(xué)交流，還能有效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，從而為知識(shí)體系的構(gòu)建奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

案例1 “函數(shù)的概念”的教學(xué).

為了迅速抓住學(xué)生的注意力，課程伊始，教師運(yùn)用多媒體來(lái)展示以下材料：①一組數(shù)據(jù)（如表1所示）；②函數(shù)y=2x的圖象；③函數(shù)y=的圖象.

表1

問(wèn)題1 觀察以上材料，若任意取一個(gè)x的值，能確定y的值嗎？是否唯一？

生1：可以，只要x的值確定了，就有對(duì)應(yīng)且唯一的y值.

問(wèn)題2 分析以上材料，可知自變量x的值分別在什么范圍內(nèi)？

生2：材料①，x的值可以取任意整數(shù)；材料②，x的值可以取任意實(shí)數(shù)；材料③，x≥0.

設(shè)計(jì)意圖 上述問(wèn)題旨在讓學(xué)生明確，在不同情況下自變量x的取值范圍有所區(qū)別.

問(wèn)題3 對(duì)于“函數(shù)圖象中y值的唯一性”，你們是怎樣理解的？（合作交流，作圖觀察.）

生3：作與x軸垂直的一條直線，該直線與已知的函數(shù)圖象只存在一個(gè)交點(diǎn).

生4：這么說(shuō)不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)描述為在自變量x的取值范圍內(nèi)作與x軸垂直的直線.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過(guò)對(duì)函數(shù)定義的描述，理解其中的“對(duì)應(yīng)”與“唯一性”，為后面揭露函數(shù)定義中的要素做鋪墊.

問(wèn)題4 說(shuō)說(shuō)你們對(duì)“對(duì)應(yīng)”與“唯一”的理解.

生5：從定義來(lái)看，函數(shù)就是映射的特殊情況，任意的x值，都有與它唯一對(duì)應(yīng)的y值.

問(wèn)題5 由此可見(jiàn)，函數(shù)定義中的要素有哪些？

生6：①兩個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②x的值有唯一對(duì)應(yīng)的y值.

設(shè)計(jì)意圖 上述問(wèn)題旨在探究函數(shù)的定義，即函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x的取值范圍稱為定義域，因變量y的取值范圍稱為值域，而定義域與值域之間呈對(duì)應(yīng)的關(guān)系，記作f：x→y，通常以y=f（x）來(lái)表示，符號(hào)f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系.

分析 綜上可知，函數(shù)關(guān)系可以用三種方法來(lái)表達(dá)，即解析法、列表法和圖象法. 上述教學(xué)過(guò)程帶來(lái)的啟示為：階梯式提問(wèn)可增進(jìn)師生的有效互動(dòng)與溝通. 在此過(guò)程中，學(xué)生在逐步深入的問(wèn)題的引導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言全面且精準(zhǔn)地闡述了自己對(duì)函數(shù)定義的深刻理解. 這不僅極大地鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力，還使他們學(xué)會(huì)了從同類(lèi)事物中捕捉關(guān)鍵的數(shù)形特征，從而提煉出了有力的例證，有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維能力的深入發(fā)展和提升.

啟發(fā)式提問(wèn)，引發(fā)新的感悟

階梯式提問(wèn)促使學(xué)生的思維拾級(jí)而上、逐層深入，而啟發(fā)式提問(wèn)則能在學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，激發(fā)其深層次的思考與感悟. 以啟發(fā)式問(wèn)題作為教學(xué)載體，創(chuàng)新知識(shí)的傳輸方式，可讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)的漏洞與自身認(rèn)知的不足，從而建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，并引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生良好的情感傾向，激起求知欲，為解決難題搭建平臺(tái).

案例2 “圓錐曲線與直線位置關(guān)系”的教學(xué).

原題 已知雙曲線x2－=1，過(guò)點(diǎn)P（1，2）且與該雙曲線僅存在一個(gè)公共點(diǎn)的直線有多少條？求出滿足條件的所有直線的方程.

學(xué)生初次拿到本題，感覺(jué)無(wú)從下手. 為了啟發(fā)學(xué)生思維，理清問(wèn)題的本質(zhì)，教師通過(guò)以下問(wèn)題，與學(xué)生展開(kāi)了積極而深入的互動(dòng).

問(wèn)題1 從點(diǎn)P的位置來(lái)看，能不能快速找出一條滿足題設(shè)條件的直線？（學(xué)生作圖略）

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生感到茫然時(shí)，誘導(dǎo)學(xué)生以點(diǎn)P的位置作為切入點(diǎn). 學(xué)生作圖的過(guò)程，也是思考的過(guò)程.

生7：點(diǎn)P位于雙曲線的漸近線上，橫坐標(biāo)與雙曲線的右頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，因此直線x=1滿足題設(shè)條件.

生8：除此之外，過(guò)點(diǎn)P且與另一條漸進(jìn)線平行的直線也符合條件.

師：大家還能發(fā)現(xiàn)符合條件的其他直線嗎？（學(xué)生沉默）

問(wèn)題2 問(wèn)題提到雙曲線與直線僅存在一個(gè)公共點(diǎn)，可采取哪些辦法獲得這些直線呢？（合作學(xué)習(xí)）

設(shè)計(jì)意圖 將學(xué)生的思維引至聯(lián)立方程的角度上去，以期獲得突破.

生9：可以從聯(lián)立方程的角度去思考，然后通過(guò)方程消元，再用判別式Δ=0獲得直線的斜率.

生10：如果直線的斜率不存在，怎么辦？

生11：如果不存在，就可以確定只有直線x=1符合條件.

師：不錯(cuò)！你們說(shuō)得都有道理，哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)具giZOx/4S8M/bAfQpcZByoNkZ7u9kWDnw9fKAAQQD5+Q=體的求解過(guò)程？

生12：假設(shè)直線的方程是y－2=k（x－1），與雙曲線x2－=1進(jìn)行聯(lián)立.

生13：不行，這種方法太片面. 在假設(shè)直線的方程時(shí)，首先要對(duì)直線斜率的存在性進(jìn)行討論. 若直線的斜率不存在，則直線為x=1；若直線的斜率存在，則可假設(shè)直線為y－2=k（x－1）.

師：斜率是假設(shè)直線方程首要關(guān)注的點(diǎn)，現(xiàn)在請(qǐng)大家著手推理.

生14：推導(dǎo)出關(guān)于x的二次方程（4－k2）x2－2k（2－k）x－（2－k）2－4=0，但判別式無(wú)法使用.

師：為什么呢？

生14：判別式為0用在方程存在重根的情況下，這里的切線方程為x=1（無(wú)斜率），而假設(shè)的直線有斜率，因此矛盾了.

問(wèn)題4 從幾何直觀來(lái)看，為什么求不出與漸近線平行的直線？如何確定求得的“二次方程”一定就是二次方程呢？

設(shè)計(jì)意圖 這是一個(gè)典型的啟發(fā)式問(wèn)題，在教師的提醒下，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)當(dāng)4－k2=0時(shí)，該方程并非二次方程，也就是當(dāng)4－k2≠0時(shí)，判別式才有用.

問(wèn)題5 怎樣才能求出另一條直線？若4－k2=0，一次方程有解，則會(huì)怎樣？

生10：分別從一次方程無(wú)解和有一解的情況進(jìn)行分析，可知符合本題條件的直線有y=－2x+4與x=1兩條.

設(shè)計(jì)意圖 如果貿(mào)然讓學(xué)生求另一條直線，會(huì)讓學(xué)生感到突兀且棘手，而提出“若4－k2=0，一次方程有解”的條件，則更具啟發(fā)性.

分析 在啟發(fā)式問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生不僅親歷了數(shù)學(xué)推理過(guò)程，還有效錘煉了思維. 由此可見(jiàn)，啟發(fā)式提問(wèn)是教師分步設(shè)計(jì)、逐層鋪墊教學(xué)內(nèi)容的重要方式，學(xué)生在設(shè)疑、釋疑過(guò)程中加以表達(dá)，感知并提煉各種數(shù)學(xué)思想方法，為解題能力的提升奠定了基礎(chǔ).

質(zhì)疑式提問(wèn)，激發(fā)思維活動(dòng)

質(zhì)疑式提問(wèn)是IOQ/fMLe4RR7ivvyQamhG24y5hKC/gtd0WDBZo5JPOM=一種能將學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)調(diào)動(dòng)起來(lái)，及時(shí)反思與描述的一種提問(wèn)方式，即給學(xué)生一個(gè)啟示語(yǔ)，讓學(xué)生從認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，快速聯(lián)想到相關(guān)的解題方法. 在教學(xué)中，有些學(xué)生不愿意表達(dá)自己的觀點(diǎn)，怕自己說(shuō)錯(cuò)、說(shuō)漏. 而質(zhì)疑式提問(wèn)，則能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能，充分調(diào)動(dòng)他們的感知與覺(jué)知能力，引領(lǐng)學(xué)生不由自主地進(jìn)入反思狀態(tài). 因此，質(zhì)疑式提問(wèn)是一種幫助學(xué)生感知并應(yīng)用學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的提問(wèn)方式，對(duì)發(fā)展學(xué)生的口述習(xí)慣與能力具有重要價(jià)值與意義.

案例3 “導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué).

問(wèn)題1 已知函數(shù)f（x）=－x3+bx2+cx+bc，如果在x=1處存在極值－，則b，c的值分別為多少？

大部分學(xué)生根據(jù)自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，求得b=－1，c=3或b=1，c=－1. 其原因是學(xué)生將“存在極值”和“f′（x）=0成立”等同了，忽略了“函數(shù)f′（x）=0為可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x處取極值的必要非充分條件”，缺乏檢驗(yàn)［2］. 為此，教師通過(guò)質(zhì)疑式提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生反思.

問(wèn)題2 （1）函數(shù)f（x）=x3于x=0的導(dǎo)數(shù)f′（0）=0，f（0）是否是函數(shù)f（x）的極值？

（2）探討函數(shù)f（x）的極值，是為了考查哪種數(shù)學(xué)關(guān)系？

（3）關(guān)于函數(shù)極值問(wèn)題的求解，大家已經(jīng)掌握了相應(yīng)的方法，那么對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的極值問(wèn)題，該怎么處理呢？

設(shè)計(jì)意圖 上述問(wèn)題皆根植于學(xué)生的認(rèn)知之中，學(xué)生僅需激活并整合自身的知識(shí)體系，便能洞悉涉及零點(diǎn)、極值、含參等問(wèn)題的解決思路. 此設(shè)計(jì)旨在為學(xué)生的反思明確方向，同時(shí)為后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 通過(guò)深入思考與解答，學(xué)生可以重構(gòu)其知識(shí)體系與解題策略.

分析 質(zhì)疑式提問(wèn)可讓學(xué)生在質(zhì)疑反思中通過(guò)聯(lián)想、歸納，完善認(rèn)知體系. 同時(shí)，質(zhì)疑式提問(wèn)還能錘煉學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”的能力，讓學(xué)生從問(wèn)題條件中提煉出解題方法. 例如，先突破問(wèn)題的外圍難點(diǎn)，再主攻問(wèn)題的核心，從而順利揭露問(wèn)題的本質(zhì). 值得注意的是，在提問(wèn)環(huán)節(jié)中，教師要針對(duì)易于出錯(cuò)的問(wèn)題，及時(shí)提出相應(yīng)的質(zhì)疑性問(wèn)題，以引發(fā)學(xué)生反思. 例如，已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2，當(dāng)x=－1時(shí)，取極值0，求a，b的值. 關(guān)于此問(wèn)，若單純地從f′（－1）=0出發(fā)，解得a=2，b=9或a=1，b=3，顯然存在問(wèn)題. 事實(shí)上，f′（－1）=0是函數(shù)f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=－1處取極值的必要非充分條件，因此檢驗(yàn)環(huán)節(jié)不可或缺：當(dāng)a=1，b=3時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+3x2+3x+1，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2+6x+3. 當(dāng)x<－1時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x>－1時(shí)，f′（x）>0. 所以f（x）=x3+3x2+3x+1在x=－1處沒(méi)有極值.

在“說(shuō)數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師尤其要關(guān)注一些性格內(nèi)向且不愛(ài)表達(dá)的學(xué)生，盡可能為他們提供表達(dá)的機(jī)會(huì)，并及時(shí)給予肯定與鼓勵(lì)，幫助他們樹(shù)立學(xué)習(xí)信心. 當(dāng)然，教師的標(biāo)準(zhǔn)示范在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建間接經(jīng)驗(yàn)方面起著至關(guān)重要的作用，可為學(xué)生規(guī)范表達(dá)夯實(shí)基礎(chǔ).

總之，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下“說(shuō)數(shù)學(xué)”是一種以生為本、以問(wèn)題為核心的教學(xué)模式. 教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)樹(shù)立清晰的目標(biāo)導(dǎo)向，精心構(gòu)思問(wèn)題的層次與難度，確保問(wèn)題既能夠循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生深入思考，又符合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情. 這樣的設(shè)計(jì)旨在有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，促使學(xué)生緊密?chē)@問(wèn)題展開(kāi)積極的思維活動(dòng)，主動(dòng)探索解題策略，從而在解決問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)能力的全面提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鐘進(jìn)均，何重飛，陳亮. “說(shuō)數(shù)學(xué)”在高中試卷講評(píng)課上的應(yīng)用案例探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（11）：16-19.

［2］ 韓云橋. 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的“說(shuō)數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（Z2）：29-32.